圆锥曲线知识点+例题+练习含答案(整理).doc

1、1圆锥曲线一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点 的距离的和等于常数（大于 ）21,F|21F的点的轨迹。其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。注意： 表示椭圆； 表示线段 ； 没有轨迹；|21Fa|21Fa21|21Fa（2）椭圆的标准方程、图象及几何性质：中心在原点，焦点在 轴上x中心在原点，焦点在 轴上y标准方程)0(12bayx )0(12baxy图 形 xOF1 F2P yA2A1B1B2 xOF1F2PyA2B2B1顶 点 ),0(,(21ba ),0(,()21ab对称轴 轴， 轴；短轴为 ，长轴为xyb2焦 点 ),(,(21cF),(,0(21cF焦 距

2、)|1ac离心率 （离心率越大，椭圆越扁）0(ea通 径 （过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段）2ba3常用结论：（1）椭圆 的两个焦点为 ，过 的直线交椭圆于)0(12bayx 21,F1两点，则 的周长= BA,AF（2）设椭圆 左、右两个焦点为 ，过 且垂直于对称轴的直)(2byax 21,1线交椭圆于 两点，则 的坐标分别是 QP, |PQ二、双曲线：（1）双曲线的定义：平面内与两个定点 的距离的差的绝对值等于常数（小于 ）2,F|21FA12的点的轨迹。其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。注意： 与 （ ）表示双曲线的一支。aPF2|1aPF2|12|21F

3、表示两条射线； 没有轨迹；|22a|（2）双曲线的标准方程、图象及几何性质：中心在原点，焦点在 轴上x中心在原点，焦点在 轴上y标准方程)0,(12bayx )0,(12baxy图 形 xOF1 F2P yA2A1xOF1PB2B1F2顶 点 )0,(,21a ),0(,2a对称轴 轴， 轴；虚轴为 ，实轴为xyb2焦 点 ),(,21cF),(,21c焦 距 )0|12ac离心率 （离心率越大，开口越大）)(ea渐近线 xbyxby通 径 2ba（3）双曲线的渐近线：求双曲线 的渐近线，可令其右边的 1 为 0，即得 ，因式分解得到12byax 02byx。0xy与双曲线 共渐近线的双曲线系

4、方程是 ；12byax 2byax（4）等轴双曲线为 ，其离心率为2t（4）常用结论：（1）双曲线 的两个焦点为 ，过 的直线交双曲)0,(12byax 21,F1y3线的同一支于 两点，则 的周长= BA,2AF（2）设双曲线 左、右两个焦点为 ，过 且垂直于对称轴的)0,(12bayx 21,F1直线交双曲线于 两点，则 的坐标分别是 QP, |PQ三、抛物线：（1）抛物线的定义：平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹。其中：定点为抛物线的焦点，定直线叫做准线。（2）抛物线的标准方程、图象及几何性质： 0p焦点在 轴上，x开口向右焦点在 轴上，x开口向左焦点在 轴上，y开口

5、向上焦点在 轴上，y开口向下标准方程pxy2pxy2pyx2pyx2图 形 xOFPylOFP y lxOFPylxOFPylx顶 点 )0,(对称轴 轴x 轴y焦 点 )0,2(pF),2(pF)2,(pF)2,0(pF离心率 1e准 线 xxyy通 径 p2焦半径 |0pxPF2|0pyPF焦点弦焦准距 p四、弦长公式： |14)(1|1| 22212212 AkxxkxkAB 其中, 分别是联立直线方程和圆锥曲线方程,消去 y 后所得关于 x 的一元二次方程4的判别式和 的系数2x求弦长步骤：（1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2）联立两方程，消去 y,得关于 x 的一元二次方程 设

6、， ，由韦达定理求出 ，,02CBA),(1yxA),(2yxBABx21；（3）代入弦长公式计算。C21法（二）若是联立两方程，消去 x,得关于 y 的一元二次方程 则相应,02CByA的弦长公式是： |)1(4)()1|)1(| 22121222 AkykykAB 注意（1）上面用到了关系式 和|)(| 212121 Axxx|4)(212121 Ayyy注意（2）求与弦长有关的三角形面积，往往先求弦长，再求这边上的高（点到直线的距离），但若三角形被过顶点的一条线段分成两个三角形，且线段的长度为定值，求面积一般用分割法五、弦的中点坐标的求法法（一）：（1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2

7、）联立两方程，消去 y,得关于x 的一元二次方程 设 ， ，由韦达定理求出 ；,02CBxA),(1yxA),(2yxBABx21（3）设中点 ，由中点坐标公式得 ；再把 代入直线方程求出),(0yM00x。0y法（二）：用点差法，设 ， ，中点 ，由点在曲线上，线段),(1yxA),(2yxB),(0yxM的中点坐标公式，过 A、B 两点斜率公式，列出 5 个方程，通过相减，代入等变形，求出。0,yx六、求离心率的常用方法：法一，分别求出 a,c，再代入公式法二、建立 a,b,c 满足的关系，消去 b,再化为关于 e 的方程，最后解方程求 e (求 e时，要注意椭圆离心率取值范围是 0e1，

8、而双曲线离心率取值范围是 e1)例 1：设点 P 是圆 24xy上的任一点，定点 D 的坐标为（8，0），若点 M 满足52PMD当点 P 在圆上运动时，求点 M 的轨迹方程解 设点 M 的坐标为 ,xy，点 P 的坐标为 0,xy，由 2PMD，得 0,28xy，即 0316， 3因为点 P 在圆 24xy上，所以 204xy即 221634xy，即21639xy，这就是动点 M 的轨迹方程例 2：已知椭圆的两个焦点为（-2，0），（2,0）且过点 53(,)2，求椭圆的标准方程解法 1 因为椭圆的焦点在 x轴上，所以设它的标准方程为21(0)xyab，由椭圆的定义可知： 222253532

9、(0(a） （ ） ） （ ）10a又 22,6cbc所以所求的标准方程为 2106xy解法 2 22, 4a，所以可设所求的方程为24a，将点53(,)代人解得： 10 所以所求的标准方程为 2106xy例 3.例 4. 6高二圆锥曲线练习题 11、F 1，F 2是定点，且|F 1F2|=6，动点 M 满足|MF 1|+|MF2|=6，则 M 点的轨迹方程是( )(A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段2、已知 的周长是 16， ，B , 则动点的轨迹方程是( )ABC)0,3(A)(A) (B) (C) (D)1652yx1652yx 1256yx)0(1256yx3、已知椭圆的长轴长

10、是短轴长的 2 倍，则椭圆的离心率等于（ ）A B C D32324、设椭圆 的离心率为 ，焦点在 轴上且长轴长为 26若曲线 上的点到椭圆 的两1C51x2C1C个焦点的距离的差的绝对值等于 8，则曲线 的标准方程为（ ）2A B C D243xy2135xy2134xy213xy5、设双曲线 的渐近线方程为 ，则 的值为（ ）.209a0a（A）4 （B）3 （C）2 （D）16、双曲线 的实轴长是（ ）82yx（A）2 （B） 2 （C） 4 （D）4 27、双曲线 =1 的焦点到渐近线的距离为（ ）4x1yA B2 C D123 38、以双曲线 的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方

11、程是（ ）2196xyA B20 2106xyC D1xy 979、过椭圆 =1（ a b0）的左焦点 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P， 为右焦点，2xy1F2F若 ，则椭圆的离心率为（ ）1F2P60A B C D3121310. “ 0mn”是“方程 2mxny”表示焦点在 y 轴上的椭圆的 （ ）（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 11、写出满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)长轴与短轴的和为 18，焦距为 6; .(2)焦点坐标为 , ,并且经过点(2，1); .)03(3)椭圆的两个顶点坐标分别为 , ,且短轴是长轴的 ; )

12、03(31(4)离心率为 ，经过点(2，0); 212、与椭圆 轴长为 2 的椭圆方程是： 且 短有 相 同 的 焦 点yx14913、在平面直角坐标系 中，椭圆 的中心为原点，焦点 在 轴上，离心率xOC12,Fx为 过 的直线 交 于 两点，且 的周长为 16，那么 的方程为： 21Fl,AB2AC14、已知 为椭圆 的两个焦点，过 的直线交椭圆于 两点，若12，2159xy1FAB，则 2FABA15、 已知 、 是椭圆 C： （ ）的两个焦点， P 为椭圆 C 上一点，且12F21xyab0a，若 的面积是 9，则 12PF12P16、求心在原点，焦点在坐标轴上，且经过 P（ 4， ）

13、，Q （ ）两点的椭圆33,2方程。圆锥曲线练习题 281抛物线 的焦点到准线的距离是（ ）xy102A B C D525102若抛物线 上一点 到其焦点的距离为 ，则点 的坐标为（ ）。28P9PA B C D(7,14)(,4)(7,24)(7,214)3以椭圆 的顶点为顶点，离心率为 的双曲线方程（ ）269xyA B C 或 D以上都不对1482127yx14862yx2197x4以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆 的圆心的抛物线的方程是（ 02）A 或 B 23xy2x23xyC 或 D 或9yxy95若抛物线 上一点 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点 的坐标为（ ）x2PPA

14、 B C D1(,)412(,)8412(,)412(,)846椭圆 上一点 与椭圆的两个焦点 、 的连线互相垂直，则 的面积为（ 29yxP1F2 21FP）A B C D02847若点 的坐标为 ， 是抛物线 的焦点，点 在抛物线上移动时，使 取得(3,)Fxy2MMA最小值的 的坐标为（ ）MA B C D0,1,2,8与椭圆 共焦点且过点 的双曲线方程是（ ）42yx(2,1)QA B C D1242yx132yx12yx9若椭圆 的离心率为 ，则它的长半轴长为_.2xmy3910双曲线的渐近线方程为 ，焦距为 ，这双曲线的方程为_。20xy111抛物线 的准线方程为.y6212椭圆

15、的一个焦点是 ，那么 。5kx),(k13椭圆 的离心率为 ，则 的值为_。2189y214双曲线 的一个焦点为 ，则 的值为_。2kx(0,3)k15若直线 与抛物线 交于 、 两点，则线段 的中点坐标是_。yxy42ABAB16 为何值时，直线 和曲线 有两个公共点？有一个公共点？kk26y没有公共点？17在抛物线 上求一点，使这点到直线 的距离最短。24yx45yx18双曲线与椭圆 有相同焦点，且经过点 ，求其方程。13627yx(15,4)19设 是双曲线 的两个焦点，点 在双曲线上，且 ，12,F1692yxP0126FP求 的面积。P10高二圆锥曲线练习题1、F 1，F 2是定点，

16、且|F 1F2|=6，动点 M 满足|MF 1|+|MF2|=6，则 M 点的轨迹方程是( D )(A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段2、已知 的周长是 16， ，B , 则动点的轨迹方程是( B )ABC)0,3(A)(A) (B) (C) (D)1652yx1652yx 1256yx )0(1256yx3、已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍，则椭圆的离心率等于（ D ）A B C D3 324、设椭圆 的离心率为 ，焦点在 轴上且长轴长为 26若曲线 上的点到椭圆 的两1C51x2C1C个焦点的距离的差的绝对值等于 8，则曲线 的标准方程为（ A ）2A B C D243xy2135xy2134xy213xy5、设双曲线 的渐近线方程为 ，则 的值为（ C ）.209a0a（A）4 （B）3 （C）2 （D）16、双曲线 的实轴长是（C ）82yx（A）2 （B） 2 （C） 4 （D）4 27、双曲线 =1 的焦点到渐近线的距离为（ A ）4x1yA B2 C D123 38、以双曲线 的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（ A ）2196xyA B20 2106xyC D1xy 99、过椭圆 =1（ a b0）的左焦点 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P， 为右焦点，21F2F若 ，则椭圆的离心率为（ B ）1F2P60