1、11. 定积分的几何意义例 1. =_220xd解法 1 由定积分的几何意义知， 等于上半圆周 ( )220xd 2(1)xy0与 轴所围成的图形的面积故 = x 2. 利用积分不等式例 1.求 , 为自然数sinlimpnxd解法 利用积分不等式因为 ,sinsin1lnppnpxxpddx而 ,所以 limn0psinlim0pnxd例 2. 求 10linnxd解法 因为 ，故有01nx于是可得100nndx又由于10()nx因此= 10limnnxd3.利用被积函数的奇偶性求定积分例 1. 计算 21xd分析 由于积分区间关于原点对称，因此首先应考虑被积函数的奇偶性 解 = 由于 是偶
2、函数，而21xd2112xxdd21x是奇函数，有 , 于是21x120x2= = =21xd2104xd2210()4xdx112004xd由定积分的几何意义可知 , 故 120110244xdx例 2. 计算 .解 虽然 在 上即不是奇函数，也不是偶函数，更不能直接求出原函数，但我们可以利用 得原式.4.设 f(x)为周期函数且连续，周期为 T，则 .事实上由于 于是例 1.设 表示距离 x 最近整数的距离，计算解 由 且 为周期函数，周期为 1，于是5.利用积分中值定理例 1.求 , 为自然数sinlimpnxd3解法 利用积分中值定理设 , 显然 在 上连续, 由积分中值定理得sin(
3、)xf()f,np, ,siinnxdp,np当 时, , 而 , 故ni1sisilml0npxdp例 2. 求 10linnxd解法 由积分中值定理 可知()()bbaafgxdfgxd= ， 10n10n1又且 ，10limli1nxd2故0linnxd6.利用适当变量变换求定积分例 1. 设 f(x)在0，1上连续，计算解 设 于是得例 2.设函数 f(x)在 内满足 且 ，计算解法一 4解法二 当 时， 于是例 46 设解 原式7.利用定积分公式公式 1：设 f(x)在0,1上连续，则事实上移项两边同除以 2 得 .公式 2： 记5于是由于递推公式每次降 2 次，要讨论 n 为奇偶数的情形，由公式 3：证 由 ，知 的周期为 ，当然 也是它的周期，利周期函数定积分的性质，有 而由于 2n 是偶数，故公式 4 . 证 例 54 证明 .证 公式 5 设 f(x)在0,1上连续，则 .6证 由 是 为周期的函数，当然也是以 为周期的函数，知 也是以 为周期的函数，于是公式 6证 公式 7. 证 例 1. 计算 .解 利用方法（7）得原式
