导数专题(经典23题).doc

1、第 1 页23 个 函 数 与 导 函 数 类 型 专 题1、 函 数 第 1 题 已 知 函 数 ， 若 ， 且 ， ， 求ln()x1f0x1ln()xkf1的 取 值 范 围 .k解 析 ： 将 不 等 式 化 成 模 式()*k由 得 ： ， 化 简 得 ： ln()xf1lnlx1kxln2xk1 构 建 含 变 量 的 新 函 数 ()g构 建 函 数 ： （ ， 且 ）ln()2x10x1其 导 函 数 由 求 得 ：uv()(ln)2gxx1即 ： ()()()ln)22gxx1xl()221 确 定 的 增 减 性先 求 的 极 值 点 ， 由 得 ：()gx()0gxln2

2、00x1即 ： ln2001由 基 本 不 等 式 代 入 上 式 得 ：lx20x1故 ： 即 ： 201()0201x由 于 ， 即 ， 故 ： ， 即20x120x10x1即 ： 的 极 值 点()g1在 时 ， 由 于 有 界 ， 而 无 界0x12xlnx0第 2 页故 ： ln2x10即 ： 在 时 ， ， 单 调 递 减 ；()gx()那 么 ， 在 时 ， 单 调 递 增 .0x满 足 式 得 恰 好 是 1 在 由 增 减 性 化 成 不 等 式(,)1在 区 间 ， 由 于 为 单 调 递 减 函 数 ，x()hx故 ： ()lim()1glnli21应 用 不 等 式 ：

3、 得 ：lnx()lililim22x11x12即 ： ， 即 ： 的 最 大 值 是()g()g()g代 入 式 得 ： ， 即 ： ， 即 ： kxkk0 在 由 增 减 性 化 成 不 等 式(,)x01在 区 间 ， 由 于 为 单 调 递 增 函 数 ，()g故 ： ()limx0glnli2x01由 于 极 限 ， 故 ： ， 代 入 式 得 ： liln()gx0k1 总 结 结 论综 合 和 式 得 ： . 故 ： 的 取 值 范 围 是k0k(,0本 题 的 要 点 ： 求 出 的 最 小 值 或 最 小 极 限 值 . ln2x1特 刊 ： 数 值 解 析由 式 ， 设 函

4、 数ln2xk1ln()xK1第 3 页当 时 ， 用 洛 必 达 法 则 得 ：x1， 则ln(ln)(ln)limiim22xx121()K0用 数 值 解 如 下 ：x0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0()K0.2062 0.1273 0.0758 0.0422 0.0209 0.0083 0.0018 0.00001.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8()x0.0015 0.0055 0.0114 0.0186 0.0269 0.0359 0.0454 0.0553其 中 ， 的 最 小 值 是 ， 即 ， 所 以 本 题 结 果 是

5、 .K()K()xKk2、 函 数 第 2 题 已 知 函 数 ， ， ， 连 续 ， 若 存 在 均 属 于 区ln2fxa()fx间 的 ， 且 ， 使 ， 证 明 ：,13,1()flnln32a53解 析 ： 求 出 函 数 的 导 函 数()fx函 数 ： ln2a其 导 函 数 ： ()21axfx()()1ax2 给 出 函 数 的 单 调 区 间由 于 ， 由 式 知 ： 的 符 号 由 的 符 号 决 定 . x0()fx()12ax当 ， 即 ： 时 ， ， 函 数 单 调 递 增 ；12a12a)f0(f当 ， 即 ： 时 ， ， 函 数 单 调 递 减 ；x0x()fx

6、()fx当 ， 即 ： 时 ， ， 函 数 达 到 极 大 值 .12a12a()f0()f 由 区 间 的 增 减 性 给 出 不 等 式由 均 属 于 区 间 ， 且 ， 得 到 ： ，,131,12,3第 4 页若 ， 则 分 属 于 峰 值 点 的 两 侧()f, 1x2a即 ： ， .12a所 以 ： 所 在 的 区 间 为 单 调 递 增 区 间 ， 所 在 的 区 间 为 单 调 递 减 区 间 .故 ， 依 据 函 数 单 调 性 ， 在 单 调 递 增 区 间 有 ： ()()f1f2在 单 调 递 减 区 间 有 ： ()()f2f3 将 数 据 代 入 不 等 式由 式

7、得 ： ； ；()f1a()lnf4a()lnf39a代 入 得 ： ， 即 ： ， 即 ： l2l24ln23代 入 式 得 ： ， 即 ： ，ln()ln4af39alnla9即 ： 32a5 总 结 结 论结 合 和 式 得 ： . 证 毕 .lnln32a53本 题 的 要 点 ： 用 导 数 来 确 定 函 数 的 单 调 区 间 ， 利 用 单 调 性 来 证 明 本 题 .特 刊 ： 特 值 解 析由 已 得 ： ， ， 且 ： ，,12,3()ln2fa()ln2fa若 ： ， 则 ：()flnl2a即 ： ， 故 ：l2al2当 ： ， 时 ，1ln2a3当 ： ， 时 ，3

8、l5第 5 页故 ： 处 于 这 两 个 特 值 之 间 ， 即 ：alnln32a533、 函 数 第 3 题 已 知 函 数 .若 函 数 的 图 像 与 轴 交 于()l()2fxax()yfxx两 点 ， 线 段 中 点 的 横 坐 标 为 ， 试 证 明 ： .,ABAB001a解 析 ： 求 出 函 数 导 函 数()fx函 数 的 定 义 域 由 可 得 ： .lnx0导 函 数 为 ： ()()1fx2a()12ax 确 定 函 数 的 单 调 区 间当 ， 即 时 ， ， 函 数 单 调 递 增 ；1a0x(,)1xa()fx0()fx当 ， 即 时 ， ， 函 数 单 调

9、递 减 ；(,)()f()f当 ， 即 时 ， ， 函 数 达 到 极 大 值 .1a0x1xa()fx0()fx()1fa()ln()2fln1a 分 析 图 像 与 轴 的 交 点 ， 求 出 区 间x由 于 ，lim()f0li()xf0若 与 轴 交 于 两 点 ， 则 其 极 值 点 必 须 .()fx,AB()1f0a即 ： ， 即 ： ln10aln1a考 虑 到 基 本 不 等 式 及 式 得 ：lln11a即 ： ， 即 ： ， 即 ：1a2a第 6 页结 合 ， 即 ： 得 ： ln1a0(,)a1 求 出 点 以 及 关 于 极 值 点 的 对 称 点 ,ABC两 点 分

10、 居 于 极 值 点 两 侧 ， 即 ： ，, A1xaB设 ： ， ， 则 ， 且 （ 因 ）A1xaB2xa,1201xa0设 ： ， 则 与 处 于 相 同 得 单 调 递 减 区 间 .CC(,)于 是 ： ， 即 ：()()ABfxf0()1fx0a故 ： ()ln()()()21fal()()()2112axxxaln()l1a0将 替 换 成 代 入 就 得 到 ：1xAfx()Cfx()()ln()l2C111ffaaxa 比 较 点 的 函 数 值 ， 以 增 减 性 确 定 其 位 置,AB构 造 函 数 ： ()()()()()1CA11gxffxfxfa将 式 代 入

11、上 式 得 ： lnl12ax其 对 的 导 函 数 为 ：1x()1ag2ax21ax21x由 于 式 及 ， 所 以 .(,)0()g0第 7 页即 ： 是 随 的 增 函 数 ， 其 最 小 值 是 在 时 ， 即 ：()1gx 1x0()1gx0由 式 得 ： ， 故 ： .0()1gx0当 时 ， ， 即 ：1()1CAff()()()CABfff由 于 和 同 在 单 调 递 减 区 间 ， 所 以 由 得 ：CxBxCx即 ： ， 即 ： 或 12xaa1210 得 出 结 论那 么 ， 由 式 得 ：()0AB1xx2()12x2a()21xaa即 ： . 证 毕 .本 题 的

12、 关 键 ： 首 先 求 得 极 值 点 ， 以 为 对 称 轴 看 的 对 称 点 就 可 以 得m1xax,AB到 结 论 . 具 体 措 施 是 ： 设 点 ， 利 用 函 数 的 单 调 性 得 到CCx4、 函 数 第 4 题 已 知 函 数 .若 ， 求()()x12fef0()21faxb的 最 大 值 .()a1b解 析 ： 求 出 函 数 的 解 析 式()fx由 于 和 都 是 常 数 ， 所 以 设 ， ， 利 用 待 定 系 数 法10()f1A()f0B求 出 函 数 的 解 析 式 .()f设 ： ， 则 ：x12AeBx()f0e其 导 函 数 为 ： ， 则 ：

13、()1f1AB所 以 ： ， ， 函 数 的 解 析 式 为 ： 1e()fx()x21fe第 8 页 化 简 不 等 式 ()21fxab即 ： ， 故 ： ()fex()xea1b0 构 建 新 函 数 ， 并 求 其 极 值 点gx构 建 函 数 ()()ea1b其 导 函 数 ： x要 使 式 得 到 满 足 ， 必 须 .即 ： ， 或 的 最 小 值 等 于 0()g0()gx0()gx故 当 取 得 极 值 时 有 ： ， 由 式 得 极 值 点 ：()gxMxln()Ma1此 时 的 由 得 ： ()(ln()a1a1b 求 的 最 大 值()a1b由 式 得 ： ， 则 ：

14、()ln()1()()ln()2a1令 ： ， 则 式 右 边 为 ： （ ）yln2hy1y0其 导 函 数 为 ： ()l)()(l)hy21当 ， 即 ： 时 ， ， 单 调 递 增 ；ln120(,0ehy0y当 ， 即 ： 时 ， ， 单 调 递 减 ；y)y()()h当 ， 即 ： 时 ， ， 达 到 极 大 值 .leyy此 时 ， 的 极 大 值 为 ： ()hy()(ln)2eh12 得 出 结 论将 代 入 式 得 ： ， 故 ： 的 最 大 值 为()(ea1bhy2()a1be2本 题 的 关 键 ： 利 用 已 知 的 不 等 式 得 到 关 于 的 不 等 式()2

15、fx()a1b即 式 ， 然 后 求 不 等 式 式 的 极 值 .第 9 页5、 函 数 第 5 题 已 知 函 数 的 最 小 值 为 ， 其 中 .若 对 任 意 的()ln()fxa0a0， 有 成 立 ， 求 实 数 的 最 小 值 .,)x0()2fkk解 析 ： 利 用 基 本 不 等 式 求 出利 用 基 本 不 等 式 或 ， 得 ：xe1lny1ln()()xa1即 ： ， 即 ：ln()()xaalfa已 知 的 最 小 值 为 ， 故 ， 即 ：f00或 者 ， 将 的 端 点 值 代 入 ， 利 用 最 小 值 为 ， 求 得,)()fx01 用 导 数 法 求 出

16、a函 数 的 导 函 数 为 ： ()fx()1fxa当 ， 即 时 ， ， 函 数 单 调 递 减 ；a1a0()fx当 ， 即 时 ， ， 函 数 单 调 递 增 ；xx()fx当 ， 即 时 ， ， 函 数 达 到 极 小 值 .()f依 题 意 ， 的 最 小 值 为 ， 故 当 时 ，()f01a1a0即 ： ， 故 ：ln()1a1a0函 数 的 解 析 式 为 ： l(fx 构 建 新 函 数 ()g当 时 ， 有 ， 即 ：,x0()2fk()ln()2fx1kx构 建 函 数 ： ()ln2x1k则 函 数 ， 即 的 最 大 值 为 . g()g0实 数 的 最 小 值 对

17、 应 于 的 最 大 值 点 .k 确 定 的 单 调 区 间 和 极 值()x于 是 由 式 得 导 函 数 为 ：第 10 页()()11gx2kx2k当 时 ， 由 式 得 函 数 ；0g0则 是 极 值 点 ， 同 时 也 是 区 间 的 端 点 .xx当 时 ， 即 ：(,)当 ， 即 时 ， ， 函 数 单 调 递 增 ；12kx1x2k()gx0()gx当 ， 即 时 ， ， 函 数 单 调 递 减 ；()()当 ， 即 时 ， ， 函 数 达 到 极 大 值12kxm1x2k()mgx0()gx.()mg故 ： 从 开 始 单 调 递 增 ， 直 到 达 到 的 极 大 值 ， 再 单 调 递()g0x()gx减 ， 所 以 是 个 极 小 值 . 是 个 极 大 值 ， 也 是 最 大 值 .()mg 求 出 最 大 值 点 mx将 最 值 点 代 入 式 得 ： （ ）1x2k()ln()m11gxk2k2()()ln()12k()l()(l()2kln()12k2k4由 的 最 大 值 为 得 ：()gx0)()ln()m12kgx04即 ： ， 即 ： ，2k11k2