数学建模logistic人口增长模型.doc

1、Logistic 人口发展模型一、题目描述建立 Logistic 人口阻滞增长模型 ，利用表 1 中的数据分别根据从 1954 年、1963 年、1980 年到 2005 年三组总人口数据建立模型，进行预测我国未来 50 年的人口情况.并把预测结果与 国家人口发展战略研究报告中提供的预测值进行分析比较。分析那个时间段数据预测的效果好 ?并结合中国实情分析原因。年份 1954 1955 1956 1957 1958 1959 1960 1961 1962总人口 60.2 61.5 62.8 64.6 66.0 67.2 66.2 65.9 67.3年份 1963 1964 1965 1966 1

2、967 1968 1969 1970 1971总人口 69.1 70.4 72.5 74.5 76.3 78.5 80.7 83.0 85.2年份 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980总人口 87.1 89.2 90.9 92.4 93.7 95.0 96.259 97.5 98.705年份 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989总人口 100.1 101.654 103.008 104.357 105.851 107.5 109.3 111.026 112.704年份 1990 1991 1

3、992 1993 1994 1995 1996 1997 1998总人口 114.333 115.823 117.171 118.517 119.850 121.121 122.389 123.626 124.761年份 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005总人口 125.786 126.743 127.627 128.453 129.227 129.988 130.756表 1 各年份全国总人口数（单位：千万）二、建立模型阻滞增长模型（Logistic 模型）阻滞增长模型的原理：阻滞增长模型是考虑到自然资源、环境条件等因素对人口增长的阻滞作用，对指数增长模型的

4、基本假设进行修改后得到的。阻滞作用体现在对人口增长率 的影响上，使得 随着人口数量 的增加而下降。若将rrx表示为 的函数 。则它应是减函数。于是有：rx)(r0)(,)(xxrdt（1）对 的一个最简单的假定是，设 为 的线性函数，即)(xr )(xr)0,(srsx（2）设自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量 ，当 时人口不再增长，即mm增长率 ，代入（2）式得 ，于是（2 ）式为0)(mxr mxrs（3）)1()r将（3）代入方程（1）得：（4）0)(1xrdtm解得： （5）rtmext)1()0三、模型求解用 Matlab 求解，程序如下：t=1954:1:2005;x=60.

5、2,61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,1

6、29.227,129.988,130.756;x1=60.2,61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.

7、786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988;x2=61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.

8、626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988,130.756;dx=(x2-x1)./x2;a=polyfit(x2,dx,1);r=a(2),xm=-r/a(1)%求出 xm 和 rx0=61.5;f=inline(xm./(1+(xm/x0-1)*exp(-r*(t-1954),t,xm,r,x0);%定义函数plot(t,f(t,xm,r,x0),-r,t,x,+b);title(1954-2005 年实际人口与理论值的比较)x2010=f(2010,xm,r,x0)x2020=f(2020,xm,r,x0)x20

9、33=f(2033,xm,r,x0)解得：x(m)= 180.9516(千万)，r= 0.0327/(年),x(0)=61.5得到 1954-2005 实际人口与理论值的结果：根据国家人口发展战略研究报告 我国人口在未来 30 年还将净增 2 亿人左右。过去曾有专家预测（按照总和生育率 2.0） ，我国的人口峰值在 2045 年将达到 16 亿人。根据本课题专家研究，随着我国经济社会发展和计划生育工作加强，20 世纪 90 年代中后期，总和生育率已降到 1.8 左右，并稳定至今。实现全面建设小康社会人均 GDP 达到 3000 美元的目标，要求把总和生育率继续稳定在 1.8 左右。按此预测，总

10、人口将于 2010 年、2020 年分别达到 13.6 亿人和 14.5 亿人，2033 年前后达到峰值 15 亿人左右（见图 1） 。劳动年龄人口规模庞大。我国 15-64 岁的劳动年龄人口 2000 年为 8.6 亿人，2016 年将达到高峰 10.1 亿人，比发达国家劳动年龄人口的总和还要多。在相当长的时期内,中国不会缺少劳动力，但考虑到素质、技能等因素，劳动力结构性短缺还将长期存在。同时，人口与资源、环境的矛盾越来越突出。而据模型求解：2010 年人口：x(2010)= 137.0200（千万） 专家预测 13.6 亿 误差为 0.7%2020 年人口：x(2020)= 146.983

11、9（千万） 专家预测 14.5 亿 误差为 1.3%2033 年人口：x(2033)= 157.2143（千万） 专家预测 15 亿 误差为 4.8%2045 年人口：x(2045)= 164.6959（千万） 专家预测 16 亿 误差为 4.1%五、预测1. 1954-2005 总人口数据建立模型：r=0.0327 xm=180.95162010 年人口：x(2010)= 137.0200（千万） 专家预测 13.6 亿 误差为 0.7%2020 年人口：x(2020)= 146.9839（千万） 专家预测 14.5 亿 误差为 1.3%2033 年人口：x(2033)= 157.2143（

12、千万） 专家预测 15 亿 误差为 4.8%2045 年人口：x(2045)= 164.6959（千万） 专家预测 16 亿 误差为 4.1%2. 1963-2005 总人口数据建立模型：r=0.0493 xm=150.52612010 年人口：x(2010)= 134.1612（千万） 专家预测 13.6 亿 误差为 1.4%2020 年人口：x(2020)= 140.0873（千万） 专家预测 14.5 亿 误差为 3.4%2033 年人口：x(2033)= 144.8390（千万） 专家预测 15 亿 误差为 3.4%2045 年人口：x(2045)= 147.3240（千万） 专家预测

13、 16 亿 误差为 7.6%3.1980-2005 总人口数据建立模型：r=0.0441 xm=156.32972010 年人口：x(2010)= 135.2885（千万） 专家预测 13.6 亿 误差为 0.5%2020 年人口：x(2020)= 142.1083（千万） 专家预测 14.5 亿 误差为 2.0%2033 年人口：x(2033)= 147.9815（千万） 专家预测 15 亿 误差为 1.3%2045 年人口：x(2045)= 151.3011（千万） 专家预测 16 亿 误差为 5.4%总体来看，1980-2005 这一组数据拟合出的人口模型比较好，即与已有数据吻合，又与专家预测误差较小。从历史原因来分析：1954 年之后的 1959-1961 年间，有三年自然灾害故而使得实际人口数据与估计有所偏颇。1960 年之后为过渡时期。1983 年之后开始实施“计划生育政策” ，一直至今，所以 1980-2005 年间的数据与预测分析最好。