导数与微分单元总结.doc

1、学科：数学教学内容：导数与微分单元达纲检测【知识结构】【内容提要】1本章主要内容是导数与微分的概念，求导数与求微分的方法，以及导数的应用2导数的概念函数 y=f(x)的导数 f(x)，就是当x0 时，函数的增量y 与自变量x 的比的极限，即xyxffxyf )(limli)( 00函数 y=f(x)在点 处的导数的几何意义，就是曲线 y=f(x)在点 处的切)(,0xfP线的斜率3函数的微分函数 y=f(x)的微分，即 dy=f(x)dx微分和导数的关系：微分是由导数来定义的，导数也可用函数的微分与自变量的微分的商来表示，即 dxyf)(函数值的增量y 也可以用 y 的微分近似表示，即ydy

2、或yf(x)dx。4求导数的方法(1)常用的导数公式c=0(c 为常数)；)(1Qmxm(sinx)=cosx；(cosx)=sinx；，xe)(；aln，x1)(l。eaalog(2)两个函数四则运算的导数：(uv)=uv；(uv)=uv+uv。)0(2vuv(3)复合函数的导数设 y=f(u)， ，)(x则 ufyxux5导数的应用(1)切线的斜率根据导数的几何意义，函数 f(x)在点 处的导数就是曲线 f(x)在点 处0x )(,0xfP的切线斜率。因此，求函数在某点处的切线斜率，只要求函数在该点处的导数。(2)函数的单调性当函数 y=f(x)在某个区间内可导时，如果 f(x)0，则函数

3、 y=f(x)在这个区间上为增函数；如果 f(x)0，右侧 f(x)0，那么， 是极小值.可导函数 f(x)在极值点处的导数是 0；导数为 0 的点不一定是极值点例如，对于函数 ，x=0 点处的导数是 0，但它不是极值点3)(xf(4)函数的最值闭区间a，b上连续函数 f(x)必有最大值与最小值，其求法为：1求函数 f(x)在(a，b)内的极值；2将 f(x)的各极值与 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。【难题巧解点拨】例 1 已知函数 （a0 且 a1）在定义域 0，1上是减函数，求 a 的取)2lg()axf值范围。分析 因为 f(x)在0，1上是减函数，

4、所以在0，1上必有 f(x)1，又由12a，故 a29。点拨 对于有关恒成立问题，一般思维方式是：af(x)恒成立，则 af(x)的最大值；af(x)恒成立，则 af(x)的最小值。因此将问题归结为求函数的最大值或最小值。【课本习题解答】复习参考题三（P145）A 组1 （1） ；32xy（2） ；1（3） 23)1()()6( xxy（4） ；)3(4(2 （5） 126)3 2xxy；5(1(2（6） 。12)85(4)4 xxxy2 （1） ；2sectan2（2） ；)1(io)si(2xy（3） ；exsnc2（4） ；23)1(lxay（5） ；4)2(442 22 xxx（6）

5、。xysinco13 （1）提示：由 y=0，得所求点为 31,（2）提示：由 y=1，得所求点为 。47,64提示：由 y=0，得切点的横坐标为；又由 y=0，得 。2Px042P5提示：由 ，得 ；由 ，得 。12xyxy 31xy2xy（1）由 ，得 或 ；0320（2）由 ，得 。1)(21x36x6提示：割线斜率为 5，由 y=5，得所求点为（2，5） 。7 （1） ；ddy)(42（2）dy=2sinx cosxdx ；（3） ；xxln （4） 。ddycosi18质点的速度为 。6379 （1）由 S=0，得 ， ；01t82t（2）由 S=0 ，得 ， ， 。43t10 （1

6、）当 xR 时，y 是减函数。（2）当 x(，1)时，y 是减函数；当 x(1，0)时，y 是增函数；x(0 ，2)时，y 是减函数；当 x(2，+)时，y 是增函数。（3）当 x(，1)时，y 是增函数；当 时，y 是减函数；当3,时，y 是增函数。,1x11 （1） ， 。8)1(f极 大 值 26)3(fy极 小 值（2） ， 。924y极 大 值 1极 小 值（3） ， 。)(f极 大 值 4)(fy极 小 值（4） 。0y极 小 值12 （1）y 的最大值是 8，最小值是1；（2）y 的最大值是 2，最小值是10；13提示：如图 ABCD 是球内接圆柱的轴截面，BD=2R ，设圆柱的

7、高为 x，则圆柱底面半径 ，圆柱的体积 。令2xR41r )R20()R4(xr)(V22 ，解得 （负值舍去） 。0)3()xV23因为 V(x)只有一个极值，所以当圆柱的高为 时，球内接圆柱的体积最大。R32（2）提示：如图，ABC 是球内接圆锥的轴截面，设圆锥的高 AD 为 x，则圆锥底面半径 ，圆锥的体积 。)xR(r )R20)(xr1)x(V22 令 ，解得)34V2（负值舍去） 。3因为 V(x)只有一个极值，所以当圆锥的高为 时，球内接圆锥的体积最大。R3414提示：设靠墙的边长为 x，则垂直于墙的边 ，)x0(21a矩形的面积 。)40)(4021)(S令 S(x)=20 x

8、=0，解得 x=20。因为 S(x)只有一个极值，所以当靠墙的边长为 20m时，围成的场地面积最大。15提示：设圆半径为 x，如果矩形高记作 h，那么窗户面积 ，窗户周hx2s长 。xxshxl 2422)( 令 ，解得 （负值舍去） 。因为 l(x)只有一个极值，0s)(l2因此 为最小值点，相应地， ，所以4x 14x4s2sxh圆半径与矩形高的比为 1 时，窗户周长最小。B 组1 （1） ；x7cos4x3sin2y2（2） ；xe（3） ；al12（4） ；2)x(ny（5） ；)ax( 22（6） 。axy2 （1）当 x（，0）与 x(0，+ )时，y 是减函数。（2）当 x(，3

9、)，x(3，3) 与 x(3，+ )时，y 是减函数。（3）当 x(0，+)时，y 是增函数。3 （1） 67f,2316f极 小 值极 大 值。23156f（2） ， ，47fy极 小 值 14fy极 大 值， 。14f极 小 值4 （1）提示：y=f(x) 的定义域为（ ，+） 。令 ，解得 x=1，1。0)x(y2而 f(1)=2，f(1)=2 ，且 ，)(flimx所以 y 的最大值为 2，最小值为2。（2）提示：y=f(x) 的定义域为 1，1。令 ，解得 。0x122x而 ， ，21f21f端点的函数值为 f(1)=0，f(1)=0 ，所以 y 的最大值是 ，最小值是1。5（1）提

10、示：令 ，解得 x=1 。0)(2 x2而 ，21)(f 1f端点的函数值 f(0)=1， ，73)4(f所以 y 的最大值是 ，最小值是。2（2）提示：令 ，解得 x=1（负值舍去） 。0x1而 f(1)=2。端点的函数值为 f(0.01)=100.01，f(100)=100.01 ，所以 y 的最大值是 100.01，最小值是 2。（3）提示：当 x(0，4)时， ，0x1yy=f(x)是增函数。端点的函数值为 f(0)=0， f(4)=8，所以 y 的最大值是 8，最小值是 0。（4）提示：令 y=2cos2x1=0 解得 。6x而 ， 。623f23f端点的函数值为 ， ，ff所以 y

11、 的最大值是 ，最小值是 。226提示：汽车与气球之间的距离是。t105)t(S610)t(Slh 后它们彼此分离的速度为 。h/km2【同步达纲练习】一、选择题1函数 ，则（ ）)0(ln)(xfA在（0，10）上是减函数。B在（0，10）上是增函数。C在（0，e ）上是增函数，在（e，10）上是减函数。D在（0，e）上是减函数，在（e，10）上是增函数。2设 f(x)在 处可导，且 ，则 的值为（ 0x1)(2(lim00xffx )(0xf）A1 B0 C2 D 213函数 （ ）142xyA有极大值 2，无极小值。 B无极大值，有极小值2。C极大值 2，极小值 2 D无极值。4函数 （

12、 ）)|(3)(xfA有最大值，但无最小值。 B有最大值，也有最小值。C无最大值，也无最小值。 D无最大值，但有最小值。5函数 （ ）234)(xxfA有最大值 2，最小值 2。 B无最大值，有最小值2。C有最大值 2，无最小值 D既无最大值，也无最小值。6给出下面四个命题（ ）（1）函数 的最大值为 10，最小值为 。)1(45xxy 49（2）函数 的最大值为 17，最小值为 1。22（3）函数 的最大值为 16，最小值为16。)3(13xxy（4）函数 无最大值，也无最小值。其中正确的命题有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个7设 ，则 y=（ ）1xyA B321x21xC D

13、ln438设 y=f(cosx)是可导函数，则 dy=（ ）Af(sinx)dx Bf(cosx)dx Cf(sinx)sinxdx Df (cosx)sinxdx9过点（2，0）且与曲线 相切的直线方程是（ ）xy1Ax+4y 2=0 Bx4y2=0Cx+y2=0 Dxy2=010函数 在 内（ ）4sin3)(xf 2,0A只有一个最大值。 B只有一个最小值。C只有一个最大值或只有一个最小值。 D既有一个最大值又有一个最小值。11函数 y=(2k1)x+b 在 R 上是单调递减函数，则 k 的取值范围是（ ）A B21, ,21C D,12函数 的单调递增区间是（ ）)ln(2xyA B （0，+）,1C 和（0，+） D （，1）和2, 0,21二、填空题13曲线 在点_处切线的倾斜角为 。34xy414函数 的单调递增区间是_。ln8215过抛物线 上点_的切线和直线 3xy+1=0 构成 45角。xy16函数 的最大值是_。)40(2