1、 1.4 常用的分布及其分位数1. 卡平方分布卡平方分布、t 分布及 F 分布都是由正态分布所导出的分布，它们与正态分布一起，是试验统计中常用的分布。当 X1、 X2、 、 Xn 相互独立且都服从 N(0,1)时，Z= iX2的分布称为自由度等于 n 的 分布，记作 Z (n)，它2的分布密度 p( z)=,0,1其 他zex式中的 = ，称为 Gamma 函数，且 =1， 2nuden012 1= 。 分布是非对称分布，具有可加性，即当 Y 与 Z1 相互独立，且 Y (n)，Z (m)，则 Y+Z (n+m)。222证明: 先令 X1、 X2、 、 Xn、 Xn+1、 Xn+2、 、 Xn
2、+m 相互独立且都服从 N(0,1)，再根据 分布的定义以及上述随机变量的相互独立性，令Y=X +X +X ，Z=X +X +X ，212n21n22mnY+Z= X +X +X + X +X +X ，即可得到 Y+Z (n+m)。2. t 分布 若 X 与 Y 相互独立，且XN(0,1)，Y (n)，则 Z = 的分布称为自由2nY度等于 n 的 t 分布，记作 Z t (n)，它的分布密度P(z)= 。 )(21n21z请注意：t 分布的分布密度也是偶函数，且当 n30 时，t 分布与标准正态分布 N(0,1)的密度曲线几乎重叠为一。这时， t 分布的分布函数值查 N(0,1)的分布函数值
3、表便可以得到。3. F 分布 若 X 与 Y 相互独立，且 X (n)，Y (m)，22则 Z= 的分布称为第一自由度等于 n、第二自由度等mn于 m 的 F 分布，记作 ZF (n , m)，它的分布密度 p(z)= 。其 他,00,2)(12zzn请注意：F 分布也是非对称分布，它的分布密度与自由度的次序有关，当 ZF (n, m)时， F (m ,n)。Z14. t 分布与 F 分布的关系若 Xt( n)，则 Y=X F(1, n)。2证：Xt( n)，X 的分布密度 p(x)= 21n 21nx。Y=X 的分布函数 F (y) =PY0 时，F (y) =P- =1 - F()= 的数
4、 ，双侧 分位数是使 PX2=1 - F(2)=0.5 的数 2。因为 1- F()=，F( )=1 - ，所以上侧 分位数 就是 1- 分位数 x 1- ；F(1 )=0.5，1 - F(2)=0.5，所以双侧 分位数 1就是 0.5 分位数 x 0.5 ，双侧 分位数 2 就是 1-0.5 分位数 x 1- 0.5 。2）标准正态分布的 分位数记作 u ，0.5 分位数记作 u 0.5 ， 1- 0.5 分位数记作 u 1- 0.5 。 当 XN(0,1)时，PX u 1- =1- F 0,1 (u 1- )=，故根据标准正态分布密度曲线的对称性，u =- u 1- 。例如，u 0.10=
5、- u 0.90=- 1.282，u 0.05=- u 0.95=- 1.645，u 0.01=- u 0.99=- 2.326，u 0.025=- u 0.975=- 1.960，u 0.005=- u 0.995=- 2.576。又因为 P|X|0， 当 X (n)时，PX30 时，在比较简略的表中查不到 t (n)，可用 u 作为 t (n)的近似值。5）F 分布的 分位数记作 F (n , m)。 F (n , m)0， 当 XF (n , m)时，PX =1- ， P 1.44。i习题答案：1. 2.73，21.0。2. - 1.860，1.782。3. ，3.37。4. 1.960为上侧0.025分位数， - 1.960与148.1.960为双侧0.05分位数。5. 2.132为上侧0.05分位数， - 2.132与2.132为双侧0.1分位数。6. 0.711为上侧0.95分位数，9.49为上侧0.05分位数，0.711与19.49为双侧0.1分位数。7. 9.01为上侧0.05分位数，5.41为上侧0.05分位数， 与5.41为双侧0.1分位190.数， 与9.01为双侧0.1分位数。8. 0.1。154.
