高中数学概率统计专题.doc

1、专题二 概率统计专题 学科网【考点透析】概率统计的考点主要有：概率与统计包括随机事件，等可能性事件的概率，互斥事件有一个发生的概率，古典概型，几何概型，条件概率，独立重复试验与二项分布，超几何分布，离散型随机变量的分布列，离散型随机变量的期望和方差，抽样方法，总体分布的估计，正态分布，线性回归等 学科网【例题解析】 学科网题型 1 抽样方法 学科网【例 1】在 0个有机会中奖的号码（编号为 09）中，在公证部门监督下按照随机抽取的方法确定后两位数为的号码为中奖号码，该抽样运用的抽样方法是 （ ） 学科网A简单随机抽样 B系统抽样 C 分层抽样 D以上均不对 学科网分析：实际“间隔距离相等” 的

2、抽取，属于系统抽样 学科网解析：题中运用了系统抽样的方法采确定中奖号码，中奖号码依次为： 08， 1， 28， 3， 4， 58，68， 7， 8， 9答案 B 学科网点评：关于系统抽样要注意如下几个问题：（1）系统抽样是将总体分成均衡几个部分，然按照预先定出的规则从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本的一种抽样方法 （2） 系统抽样的步骤：将总体中的个体随机编号； 将编号分段； 在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号； 按事先研究的规则抽取样本 （3）适用范围：个体数较多的总体 学科网例 2（2008 年高考广东卷理 3）某校共有学生 20名，各年级男、女生人数如表已知在全校学生中随机

3、抽取1名，抽到二年级女生的概率是 0.19现用分层抽样的方法在全校抽取 64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（ ） 学科网A 4B 18C 6D学科网学科网学科网学科网学科网分析：根据给出的概率先求出 x的值，这样就可以知道三年级的学生人数，问题就解决了 学科网解析：C 二年级女生占全校学生总数的 19%，即 20.19380x，这样一年级和二年级学生的总数是37803715，三年级学生有 5人，用分层抽样抽取的三年级学生应是 645012答案 C 学科网点评：本题考查概率统计最基础的知识，还涉及到一点分析问题的能力和运算能力，题目以抽样的等可能性为出发点考查随机抽样和分层抽样的知识 学科

4、网例 3 （2009 江苏泰州期末第 2 题）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 10人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图） 为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这 10人中再用分层抽样方法抽出 10人作进一步调查，则在 250,3（元）月收入段应抽出 人 学科网学科网分析：实际上是每 10人抽取一人，只要把区间内的人数找出来即可 学科网一年级 二年级 三年级女生 37xy男生 370z解析：根据图可以看出月收入在 250,3的人数的频率是 学科网0.5.03.4，故月收入在 ,50人数是 10.40， 学科网故抽取 2人 学科网点评：本题把统计图表和抽样

5、方法结合起来，主要目的是考查识图和计算能力 学科网题型 2 统计图表问题 学科网例 4（安徽省皖南八校 2009 届高三第二次联考理科数学第 2 题）从某校高三年级随机抽取一个班，对该班 50名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如右图：若某高校 A专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报 A专业的人数为 学科网学科网A 10 B 20 C 8D 16学科网分析：根据图找出视力在 .9以上的人数的频率即可 学科网解析：B 视力住 以上的频率为 (10.752)0.4，人数为 0.52 学科网点评：在解决频率分别直方图问题时容易出现的错误是认为直方图中小矩形的高就

6、是各段的频率，实际上小矩形的高是频率除以组距 学科网例 5 （2009 年杭州市第一次高考科目教学质量检测理科第 13 题）某篮球运动员在一个赛季的 40场比赛中的得分的茎叶图如图所示，则这组数据的中位数是 ；众数是 学科网学科网分析：根据茎叶图和中位数、众数的概念解决 学科网解析：由于中位数是把样本数据按照由小到大的顺序排列起来，处在中间位置的一个（或是最中间两个数的平均数） ，故从茎叶图可以看出中位数是 23；而众数是样本数据中出现次数最多的数，故众数也是 23 学科网点评：一表（频率分布表） 、三图（频率分布直方图、频率折线图、茎叶图） 、三数（众数、中位数、众数）和标准差，是高考考查统

7、计的一个主要考点 学科网例 5（2008 高考广东文 11）为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了 0位工人某天生产该产品的数量产品数量的分组区间为 45,， ,65,75,8， 学科网8,9由此得到频率分布直方图如图，则这 20名工人中一天生产该产品数量在 5,7 的人数是 学科网学科网分析：找出频率即可 学科网解析： 20.4.02513 学科网点评：本题考查频率分布直方图，解题的关键是明确这个直方图上的纵坐标是频率/组距，得出生产数量在5,7的人数的频率 学科网题型 3 平均数、标准差（方差）的计算问题 学科网例 6 （2008 高考山东文 9）从某项综合能力测试中抽取 10人的

8、成绩，统计如表，则这 10 人成绩的标准差为（ ） 学科网学科网A 3B 2105C 3D 85学科网分析：根据标准差的计算公式直接计算即可 学科网解析： 平均数是 4021031， 学科网标准差是 学科网 2222205303130814815s 学科网答案 B 学科网点评：本题考查数据组的平均数和标准差的知识，考查数据处理能力和运算能力解题的关键是正确理解统计表的意义，会用平均数和标准差的公式，只要考生对此认识清楚，解答并不困难 学科网例 7 （中山市高三级 20082009 学年度第一学期期末统一考试理科第 9 题）若数据 123,nxx 的平均数5x，方差 2，则数据 1233,1,n

9、xx 的平均 数为 ，方差为 学科网分析：根据平均数与方差的性质解决 学科网解析： 16,8学科网例 8 （浙江宁波市 2008 学年度第一学期期末理科第 3 题）如图是 209年元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为 学科网A 4， .B 84， 1.6 C 85， 1.6D 85， 4学科网学科网解析：C 学科网题型 4 用样本估计总体 学科网例 8（2008 高考湖南文 12）从某地区 150位老人中随机抽取 50人，其生活能否自理的情况如下表所示： 学科网学科网学科网学科网学科网学科网学科网学科

10、网学科网学科网则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多_人 学科网解析： 60 由上表得 23115006.学科网点评：考查样本估计总体的思想 学科网题型 5线性回归分析 学科网例 9 （2007 高考广东）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x（吨）与相应的生产能耗 y（吨标准煤）的几组对照数据 学科网x3456y2.54.（1）请画出上表数据的散点图； 学科网（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程 ybxa； 学科网（3）已知该厂技术改造前 10吨甲产品能耗为 90吨标准煤；试根据（）求出的线性回归方程，预测生产0吨甲产品的生产能耗比技术改

11、造前降低多少吨标准煤？ 学科网分析：本题中散点图好作，本题的关键是求 y关于 x的线性回归方程 ybxa，它既可以由给出的回归系数公式直接计算，也可以遵循着最小二乘法的基本思想即所求的直线应使残差平方和最小，用求二元函数最值的方法解决 学科网解析： 学科网（1）散点图如右 ； 学科网（2）方法一：设线性回归方程为 ybxa，则 学科网22222(,)3.5)(43)(54)(64.5)418.fabbaba学科网 793.542ba时， (,)fab取得最小值 2222(1.5)(0.5)(0.5)(1.)bbb， 学科网即 250.()(1)72， 0.7,.3a时 ,f取得最小值 学科网所

12、以线性回归方程为 0.3yx 学科网方法二：由系数公式可知， 26.54.356.34.5,., 0.78yb学科网93.507.352a，所以线性回归方程为 0.7.x 学科网（3） 1x时， 0.7.350.yx，所以预测生产 1吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低 19.65吨标准煤 学科网点评：本题考查回归分析的基本思想求线性回归方程的方法一这实际上是重复了回归系数公式的推导过程，这里的另一个解决方法是对 ,fab我们再按 集项，即 22222,86(31).534.5fabaa，而这个时候，当 13672ab时有最小值，结合上面解法中 4.b时 ,f有最小值，组成方程组就可以解出 ，

13、的值；方法二前提是正确地使用回归系数的计算公式，一般考试中都会给出这个公式，但要注意各个量的计算；最后求出的 19.65是指的平均值或者是估计值，不是完全确定的值对于本题我们可以计算题目所给的数据组的相关系数08r，相关指数 20.98R这说明 x， y具有很强的线性相关性，说明解释变量对预报变量的贡献率是%，即耗煤量的 是来自生产量，只有约 2%来自其它因素，这与我们的直观感觉是十分符合的本题容易用错计算回归系数的公式，或是把回归系数和回归常数弄颠倒了 学科网例 10 （江苏扬州市 2008-2009 学年度第一学期期未调研测试第 17 题）为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习

14、提供指导性建议现对他前 7次考试的数学成绩 x、物理成绩 y进行分析下面是该生 7次考试的成绩 学科网数学 88 83 117 92 108 100 112物理 94 91 108 96 104 101 106（1）他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定？请给出你的证明； 学科网（2）已知该生的物理成绩 y与数学成绩 x是线性相关的，若该生的物理成绩达到 15分，请你估计他的数学成绩大约是多少？并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性，给出该生在学习数学、物理上的合理建议 学科网分析：成绩的稳定性用样本数据的方差判断，由物理成绩估计数学成绩由回归直线方程解决 学科网解析：（1） 12781200x； 学

15、科网69846y； 学科网2=17S数 学， 250=7S物 理 ， 学科网从而 2数 学 物 理 ，所以物理成绩更稳定 学科网（2）由于 x与 y之间具有线性相关关系，根据回归系数公式得到490.5,10.5ba， 线性回归方程为 0.5yx当 15y时， 30x建议：进一步加强对数学的学习，提高数学成绩的稳定性，将有助于物理成绩的进一步提高点评：考试大纲在必修部分的统计中明确指出“会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程”2007年广东就以解答题的方式考查了这个问题，在复习备考时不可掉一轻心题型

16、 6 古典概型与几何概型计算问题例 11 （2008 高考江苏 2）一个骰子连续投 2次，点数和为 4的概率 分析：枚举基本事件总数和随机事件所包含的基本事件的个数后，根据古典概型的计算公式计算解析：点数和为 4，即 1,3,1，基本事件的总数是 36，故这个概率是 3169或是数形结合处理点评：古典概型的计算是一个基础性的考点，高考中除了以解答题的方式重点考查概率的综合性问题外，也以选择题、填空题的方式考查古典概型的计算例 12 （2009 年福建省理科数学高考样卷第 4 题）如图，边长为 2的正方形内有一内切圆在图形上随机投掷一个点，则该点落到圆内的概率是 A 4 B 4 C D分析：就是

17、圆的面积和正方形面积的比值解析：根据几何概型的计算公式，这个概率值是 4，答案 A点评：高考对几何概型的考查一般有两个方面，一是以选择题、填空题的方式有针对性地考查，二是作为综合解答题的一部分和其他概率计算一起进行综合考查例 13 （2008 高考山东文 18）现有 8名奥运会志愿者，其中志愿者 123A， ， 通晓日语， 123B， ， 通晓俄语，12C，通晓韩语从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各 名，组 成一个小组（1）求 A被选中的概率；（2）求 1B和 不全被选中的概率分析：枚举的方法找出基本事件的总数，结合着随机事件、对立事件的概率，用古典概型的计算公式解决解析：（1）从 8人中

18、选出日语、俄语和韩语志愿者各 1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间 111212()()()ACBAC， ， ， ， ， ， ， ， ， 2131()()BAC， ， ， ， ， ，32B， ， 1， ， ， ， ， ， ， ， ， 2， ， ，21()， ， 32()， ， ， 313231()()()， ， ， ， ， ， ， ， ，3212ACABC， ， ， ， ， ， ， ，由 8个基本事件组成由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的用 M表示“ 1恰被选中” 这一事件，则 1112121()()()ABCABC， ， ， ， ， ， ， ， ，M23

19、3， ， ， ， ， ， ， ， 事件 由 6 个基本事件组成，因而 6()18PM（2）用 N表示“ 1BC， 不全被选中”这一事件，则其对立事件 N表示“ 1BC， 全被选中”这一事件，由于 2131()()()AABC， ， ， ， ， ， ， ， ，事件 有 3 个基本事件组成，所以 3)186P，由对立事件的概率公式得 5()6P点评：本题考查古典概率、对立事件等概率的基础知识，考查分类讨论、 “正难则反”等数学思想方法，考查分析问题解决问题的能力题型 7 排列组合（理科）例 14 （浙江宁波市 2008 学年度第一学期期末理科第 9 题）由 0,1234这五个数字组成的无重复数字的

20、四位偶数，按从小到大的顺序排成一个数列 na,则 1=A 2014 B 3C 432D分析：按照千位的数字寻找规律解析：千位是 的四位偶数有 1238A，故第 9和是千位数字为 2的四位偶数中最小的一个，即 2014，答案A例 15 （2009 年杭州市第一次高考科目教学质量检测理科第 17 题）有 3张都标着字母 A， 6张分别标着数字1,2345,6的卡片，若任取其中 6张卡片组成牌号，则可以组成的不同牌号的总数等于 （用数字作答）分析：由于字母 是一样的，没有区别，故可以按照含有字母 A的多少分类解决，如含有 2个字母 时，只要在 个位置上选两个位置安排字母 A即可，再在其余位置上安排数

21、字解析：不含字母 A的有 6720；含一个字母 的有 15672043C；含两个字母 A时，24650C；含三个字母 时， 3640C故总数为 520184点评：解决排列、组合问题的一个基本原则就是先对问题分类、再对每一类中的问题合理地分步，根据排列组合的有关计算公式和两个基本原理进行计算题型 8 二项式定理（理科）例 15 （浙江宁波市 2008 学年度第一学期期末理科第 12 题）已知 110(1)nnaxaxax*()nN,点列 (,)0,12,)iiAan 部分图象 如图所示，则实数 的值为_分析：根据点列的图可以知道 012,a的值，即可以通过列方程组解决解析：由图 123,4a，又

22、根据二项展开式 13naCa，2 3() 42nnaC ，解得 点评：本题以点列的部分图象设计了一个与二项式有关的问题，解决问题的基本出发点是方程的思想 例 16（安徽省皖南八校 2009 届高三第二次联考理科数学第 4 题）若 231() ()n nxaxxN ，且 13:7a，则 5a等于A 56 B 56 C 5 D 分析：根据展开式的系数之比求出 值解析： 23,nnC，由 23:17a，得 8n，故 586C，答案 B点评：解这类题目要注意展开式的系数和展开式中项的系数是区别，别把符号弄错了题型 9 离散型随机变量的分布、期望与方差（理科的重要考点）例 17 （浙江宁波市 2008

23、学年度第一学期期末理科第 19 题）在一个盒子中，放有标号分别为 1， 2， 3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为 x、 y，记 xy（1）求随机变量 的最大值，并求事件“ 取得最大值”的概率；（2）求随机变量 的分布列和数学期望分析：根据对随机变量 的规定，结合 ,xy的取值确定随机变量可以取那些值，然后根据其取这些值的意义，分别计算其概率解析：（1） x、 y可能的取值为 1、 2、 3， 12， 2xy，3，且当 3,1或 ,yx时， 因此，随机变量 的最大值为 3 有放回抽两张卡片的所有情况有 9种， 9)(P （2） 的所有取值为 ,20 0时，只有 y

24、x这一种情况，1时，有 1,或 1,或 3,2yx或 3,yx四种情况，2时，有 2yx或 3yx两种情况 9)0(P， 94)(， 9)(P 则随机变量 的分布列为： 0123P91492因此，数学期望 1430E 点评：有放回的“取卡片、取球”之类的问题，其基本事件的总数要由分步乘法计数原理解决，这是一类重要的概率模型例 18 （江苏扬州市 2008-2009 学年度第一学期期未调研测试加试第 4 题）某次乒乓球比赛的决赛在甲乙两名选手之间举行，比赛采用五局三胜制，按以往比赛经验，甲胜乙的概率为 23（1）求比赛三局甲获胜的概率；（2）求甲获胜的概率；（3）设甲比赛的次数为 X，求 的数学

25、期望分析：比赛三局甲即指甲连胜三局，可以按照相互独立事件同时发生的概率乘法公式计算，也可以将问题归结为三次独立重复试验，将问题归结为独立重复试验概型；甲最后获胜，可以分为甲三局获胜、四局获胜、五局获胜三个互斥事件的概率之和；甲比赛的次数也就是本次比赛的次数，注意当三局就结束时，可能是甲取胜也可能是乙取胜等解析：记甲 n局获胜的概率为 nP， 3,45，（1）比赛三局甲获胜的概率是： 28()7C； （2）比赛四局甲获胜的概率是： 341；比赛五局甲获胜的概率是： 2256()8P；甲获胜的概率是： 34681 （3）记乙 n局获胜的概率为 n， 3,4531()27PC， 243()7PC；

26、232418()PC；故甲比赛次数的分布列为： X3 4 5()P所以甲比赛次数的数学期望是： 18216807()34()5()2772E点评：这是一个以独立重复试验概型为基本考查点的概率试题，但这里又不是单纯的独立重复试验概型，是一个局部的独立重复试验概型和相互独立事件的结合这类比赛型的概率试题也是一个重要的概率模型题型 11 正态分布例 19.（2008 高考湖南理 4）设随机变量 服从正态分布 (2,9)N,若 (1)(1)Pcc,则 c= ( )A 1 B 2 C 3D 4分析：根据正态密度曲线的对称性解决解析：B 根据正态密度曲线的对称性，即直线 1xc与直线 xc关于直线 2x对称，故 12，即 2c点评：本质是通过正态密度曲线考查数形结合的思想意识 例 20（2008 高考安徽理 10）设两个正态分布 211()(0N， 和 2()(0N， 的密度函数图像如图所示则有A 1212,B 1212,C D分析：根据正态密度曲线的性质解决解析：A 根据正态分布 ),(2N函数的性质：正态分布曲线是一条关于 x对称，在 x处取得最大值的连续钟形曲线； 越大，曲线的最高点越底且弯曲较平缓；反过来， 越小，曲线的最高点越高且弯曲较陡峭，选 A点评：考试大纲对正态分布的要求是“利用实际问题直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义”，这个考点多次出现在高考试卷中