数学建模报告孟大志.ppt

1、数学建模的结构主义方法,孟大志北京工业大学Tel: 13701377108,一、数学建模为什么火起来？,数学建模确实火起来：数学建模成为大学普遍开设的课程；数学建模已经在社会生活与生产建设中普遍应用；数模竞赛参赛队每年增长20%，去年1.5万个队，近30万学生参加各级竞赛！吉尼斯纪录！,1、二十一世纪的特征,芯片和网络是二十一实际最广泛的物质特征；作用：数据信息的收集、存储、处理和传输。,计算与数学建模已经形成新世纪的最广泛的特征。海量数据源：Web与Internet数据、社会管理数据、全球化经济数据、环境与资源数据、个人信息数据、科学研究数据、多媒体型数据，等等。,下一个核心产业是什么？“奔

2、驰和车上的人哪个值钱？”IT to DI（data information）？,海量数据是最大的资源：数据信息产业！,数据处理法统称为：计算！,因此，计算将成为二十一世纪最普遍的时代特征！,海量数据首先需求：数据处理目的是获取信息与知识。,数据信息知识：数据+结构信息，信息+结构知识。,计算的变迁以应用问题为核心的计算传统的计算，应用问题求解：数学模型计算。多因素关系模型：线性方程组，线性拟合，线性逼近；非线性和随机分布等等。动态模型：微分方程组，离散动力系统，迭代格式和随机过程等等。多因素综合评估与分类模型：模糊数学，神经网络，层次分析、机器学习等等。优化问题模型：有约束与无约束数学规划，遗

3、传算法和蚁群算法，分类与聚类，随机模拟等等。,微软亚洲研究院“二十一世纪的计算”大型国际学术研讨会在一年一次的例会上，明确提出了二十一世纪的计算将从以应用为核心的计算理念转变为以数据为核心的计算。,从海量数据中发掘数据的应用价值和应用方法以数据为核心的计算，即没有或不清楚数据中隐含的信息与知识，通过计算与建模发现数据的应用数据挖掘。,计算应用建模计算,例子：IC卡数据有什么用？,2.1科学中心转换生物学方法的需求,2、二十一世纪的社会需求,生物学与所有其他学科，如物理学、化学、地理学，有完全不同的特质：编码的信息，因此，生物学以外的学科都只能通过类比的方式（analog）进行分析。而生物学特质

4、的核心是数字化的，因此生物学是可以通过破译而解读的。导致数学方法和数学模型化方法的不同。,二十世纪是物理学世纪：理论力学、电动力学（场论）、统计力学、量子力学与相对论。形成理论物理，同时推动了数学的发展。,流形上的函数及其场方程的模型：代数方程组和微分方程组。,理论力学的 Lagrange和Hamilton方程组；电动力学的 Maxwell方程组；统计物理的 热力学基本方程和统计分布函数；量子力学的 Shrdinger、Dirac、Heisenberg方程；相对论的 爱因斯坦的引力场方程。,二十一世纪形成以生物为核心的多中心：,二十一世纪的中心学科转变，生物学世纪：数学模型是什么？数学方法是什

5、么？计算方法是什么？是方程与方程的计算吗？,这种全新的模型、计算和数学需求刺激了数学家们重新关注：什么是数学模型？什么是生物的计算？什么是新的数学？,系统生物学将推动现代数学的发展！,陈省身：二十世纪的数学家要关注物理，二十一世纪的数学家要关注生物学。,杨振宁：我们应该关注生物学，生物学还没有理论，但是积累了大量的数据，期待理论的建立。,数据、信息、知识是解决问题的基础，解决问题的方法是数学建模和计算：应用数学。,经济模型：金融政策、股票、市场、价格策略与超市，等等。,社会模型：社会冲突与政策、预警、社会心理学、政策评估、犯罪学、发展与可持续问题，资源与环境，等等。,个人生活模型：婚姻评估与预

6、测、家庭理财、个人活动优化、人生规划评估、高考志愿填报、朋友圈子设计与评估、保险与个人风险，等等。,2.2 社会与经济的需求,科学研究中的模型化方法：物理学、化学、生物、工程技术、经济管理、考古与历史、人文与社会学、美学与艺术、心理学，数学本身的建模等等。一个成熟的科学标志：公理化体系与数学形式化。,管理问题模型：生产统筹、多因素评估（绩效评估等）、流程优化（物流与配送）、资金优化与效益评估、ERP模型等等。,网络建模：Web与Inter网的稳定性、路由策略、带宽分布、网络鲁棒性与安全、网络上节点的信息集成与分析等等。,3 结构主义的催化,美国科学周刊登载了系统生物学专集。该专集导论中的第一句

7、话这样写道：“如果对当前流行的、时髦的关键词进行一番分析，那么人们会发现，系统高居在排行榜上。”,3.1 系统成为最基本的研究对象,系统的结构：系统中所有元素之间关联的总和其数学模型是结构的数学表示网络。,利用皮亚杰的结构主义理论，可以对系统的结构进行可程序化的分析。,3.2结构主义与数学,定义：结构是一个由种种转换规律组成的体系，包括三个特性： 整体性、转换性和自身调整性。,结构应该是可以形式化（公式化）的。,布尔巴基学派法国年轻人的数学团体 数学原本基础数学的经典论著 结构主义布尔巴基数学思想三大结构：序结构、代数结构和拓扑结构,布尔巴基的数学结构主义 最早被研究的结构是在数学中，这就是伽

8、罗华（Calois）的群结构，此后数学结构的研究就逐步蔚然成风，产生了布尔巴基学派。,结构数学从本质上支持了数学建模的方法、能力与普适性。,二、数学建模的三个方面,1、科学研究建模应用研究：各个领域的问题建模和模型求解，当前最热的建模领域是经济和生物。金融与保险模型，股票模型，市场的博弈模型，经济趋势模型，等等。系统生物学是以建模为核心的生物学，成为生物学世纪的标志性学科。应用数学的基本方法：数学建模+计算。,建模理论研究：仿真、模拟和数学模型，类比的数学建模方法，结构主义数学建模的理论与实践。,仿真、模拟：既是建模的工具，也是模型检验的方法。,类比：最初等也是最常用的建模方法，但不是本质的方

9、法知其然方法。,结构主义数学建模：一种本质的方法，是基于数学结构的基本方法。,2、教学数学建模方法融入数学主干课程这是叶其效教授提出并倡导的数学教学改革重要方向。目前在微积分、高等代数、微分方程等课程中都取得大量的教学成果。数学来源于对于现实世界的抽象建模；数学的发展本身也是不断地抽象建模过程；数学的应用仍然是建模的过程。数学建模方法在：方法学、应用和数学体系的教学中，都可以“融入”！,功能数学与结构数学的思想与教学方法 传统的数学教学是功能数学，目的是解决三个问题：这个数学是什么？它有什么用？它如何应用？ 结构主义数学是回答：这个数学德本质是什么结构？它适用于什么结构的实际问题？如何表示这种

10、结构？,结构主义数学教学将有益于数学建模能力的培养。,3、竞赛与培训传统的数模培训：应用工具（统计软件和Matlep）、案例分析与写作方法、 合作性经验。,李大潜在7月7日数模组委会上提出：目前的培训是如何在竞赛中建模和写论文，缺少让学生和老师理解为什么建模？建模的应用与意义？没有对于建模的深入理解无法提高数模水平和质量，无法建立用数学思考世界的素质。,教给学生什么？数学建模的意义、内容和方法。,类比、引用和借鉴是很有效的方法：现状！,数学建模方法= 创造性的本质方法 + 模型类比方法,三、结构主义建模方法的引出：建模=引模？,例一、Web中的问题,网络已经成为现代人的一种生活方式。在网上，每

11、天有成千上万的多媒体文件在传输（例如，路透社每天收到网上文本文件达20万）。试建立数学模型，使得可以对这些文件进行自动分类，以便人们阅读和使用。,能引用的案例是什么？没有可用案例时怎么办？,例二、中国菜系研究,中国是一个美食及其文化非常丰富的国家，因为国土辽阔，人口众多。中国著名的菜系：苏菜、闽菜、川菜、鲁菜、粤菜、湘菜、浙菜、徽菜。 请用数学建模方法研究这些菜系的特点。,如何建模是方法的研究性问题：数学建模本质上是一个创造性的过程，如何“创造”是一个科学研究课题。,四、从定义引出的方法,从基本概念的理解出发：模型？+ 数学？ 数学模型？ 如何建模？,问题：如何从数学模型的概念出发构造方法 ？

12、,结构化数学建模方法： 基于创造的本质性的方法。,1）社会科学模型经济与管理科学模型、军事模型（越战）、政治模型、社会学模型等等。,1、概念：什么是模型,这是一个通过举例或指认回答的简单问题。,例 项目管理科学中的甘特图模型 反映了在项目管理中各个过程的受控运行状态，是项目各部分关联结构的动态表示。,例 选举模型多数选举法、累计选举法等等，是特种社会活动的模型。,这些模型共同特点是：表达方式易于理解，抽象度低。,例经济学模型：市场模型、竞争模型、企业战略模型、股票模型、金融模型，等等。,建筑模型 ，交通模型，电路模型，服装模型 等等。表达：建筑设计图、交通网络、电路图、服装模版等。,2）工程技

13、术模型,3）生命科学模型新陈代谢模型、光合作用模型、血液循环模型、DNA双螺旋模型 、蛋白质结构模型等等。,用专业理论抽象出的结构：并用专业语言表示的模型。,5）物理模型基本粒子、原子模型、晶体模型 、光学的衍射等等。,4）化学模型苯环 、化学健理论、反应平衡等等；,2、模型是什么？定义！,模型：以特定目的对事物原型抽象出结构并适当表示。,抽象出结构：不是一般概念的抽象，而是结 构的抽象；,适当的表示：使用不同知识与方法，需要不同 的语言表示。,特定目的：目的不同，关注的结构（事物的内部 联系）不同；,例. 飞机模型目标不同，模型不同,目的：空气动力学研究抽象结构：外型结构，除去内部构造；,目

14、的：机舱设计抽象结构：内部空间结构，除去外部结构；,不同目的关注的内容不同，抽象的结构不同。,3、核心是结构,理解原型的结构，抽象并表示结构是核心问题。,什么是结构？,抽象的数学语言：集合的结构是集合的子集族。,例 图书馆,字符集：中文字、英文字母、数字等等各种字符的全体。,书、文章、多媒体文本等形成子集族集合的文本结构。,文本按知识类型分类，形成不同层次的子集族国际图书分类法图书馆的藏书结构专业模型。,结构是核心：同一个集合，不同结构原型的意义不同。,例 语言,下雨天 留客天 留我不留,下雨天留客 天留我不留,语言的结构不同，含义不同（数据同）。,例.语言的不同结构产生不同的文学信息,唐诗清

15、明时节雨纷纷路上行人欲断魂借问酒家何处有牧童遥指杏花村,宋词清明时节雨纷纷路上行人欲断魂。借问酒家何处有牧童遥指杏花村。,剧本(元曲)清明时节雨纷纷路上行人（欲断魂）：借问酒家何处有？牧童（遥指）:杏花村。,时间环境地点人物语言另人物动作语言,抽象出结构:,七言唐诗 ,比较规整,适于言志“诗言志”,宋词 ,错落有序,用语活跃,适于抒情“词抒情”,元曲时间、地点、情景、人物、动作、言语等。用语白话，易懂。,百姓故事,结构的不同表示可以表现出文学基调不同：,用音高表示：,唏 唏 唏 唏,唏啦嫂发米来斗,嫂 啦 米 啦 嫂 米,规则,变化,4、模型抽象度与数学的普适性,1）、科学的依赖序关系与抽象度

16、,模型表示的抽象度依次递减，表现出数学的普适性。,结构主义学派（ Bourbaki ）：数学 = 集合 + 结构,2）、数学是什么？,这是一个困难的问题，并没有唯一的答案。,数学是普适的,原型=具体元素 的集合+ 具体的结构,数学 = 抽象元素 的集合 + 抽象的结构,五、结构主义数学建模,“定义”：模型原型结构的恰当表示；数学：集合+结构，数学是研究结构的，数学模型：原型结构的数学表示。“定义” ：如何建模？,1.结构化数学建模程序,数学语言表示的结构,数学模型,专业语言描述结构,专业模型,分析出原型的结构，并用数学语言表示的模型。,一般流程：,有些问题专业模型难，有些问题数学模型难。,对原

17、型确定目的,Web中的数学建模例子,网络已经成为现代人的一种生活方式。在网上，每天有成千上万的多媒体文件在传输（例如，路透社每天收到网上文本文件达20万）。试建立数学模型，使得可以对这些文件进行自动分类，以便人们阅读和使用。,2. 用结构主义思想分析赛题,在线文本自动分析,问题的目标： 在线电子文本的计算机自动分类与辅助理解。理解基于分类，分类是理解的主体，理解就是分类！,两类“分类模型”的目标：检索性分类国际图书分类法，目的是查询；,理解性分类基于语意、概念层、主题层的细分类，目的是分析和理解。,）建立专业模型,原型的结构分析,文本章节段落语意团句或短语词字符,文本的结构：,原型有两层结构：

18、文本的结构； 文本集合的结构。,分析：文本集合的结构依赖于文本的结构； 文本集合的结构是原型对于目的的主要结构； 因此文本的结构的表示依赖文本集合的结构。,原型的专业模型（源于关键词和摘要的作用的理解）,模型1. 以词频为特征的分类模型,词: 有语意的初级字符串单位语言的细胞；,词在文本中的频率与不同类文本间频率差别是分类的基本特征和基本的结构性差别。,模型2. 以语意团为特征，重在语意差别的分类。,模型3. 混合模型,语言能力模型：乔姆斯基的语法结构模型是另一类语言模型。,文本集的结构分析：,联想到数学中代数结构：集合中定义代数运算，加法和数乘，元素间的运算关系 结构相同！,两个文本的合并还

19、是文本一个文本的倍数仍然是文本,分析文本集的结构，首先是文本之间的相互关系：,）、同构分析（数学结构与原型结构的联系）,同构：此时问题的原型的结构直接和数学结构联系起来！,文本的集合应该有一个“线性空间”的结构；文本的分类是在线性空间中的“向量的分类”！,对于线性代数的结构有清楚的理解和关注，则容易发现：,因此，与每个文本对应定义一个文本向量，用于分类，分量如何定义？,显然，分量是“分类特征”的具体表示：从关键词和检索中，容易想到基于词频的，可用于区分文本的量化的表示！,数学模型：向量空间的结构+词频特征表示。,）、同构表示与数学建模,建立原型结构的数学表示则建立了数学模型。,文本集合同构于线

20、性空间，文本的分类是线性空间中向量的分类。,根据专业知识，词频及具有分类的特征信息的度量信息熵！因此可以仿照熵的定义：,这里熵的形式，一来用类似信息熵的定义，符合“分类”的特征信息的概念；二来，词频的作用大于词在文本集合中出现的作用。,假设TF(w(i),dj)是词w(i)在文本dj中出现的次数，|D|是D中文本总数，DF(w(i)是指在D中至少出现一次w(i)的文本数。则每一个文本djD，和一个特征词w(i）存在一量：,形式化：,记d(i)j =TFIDF(w(i),dj) ，则每一个文本djD，存在一个分量适当排序的文本向量。,文本向量空间模型与文本向量:,问题的目标：文本集的分类,建模过

21、程,高维问题；训练集的数据量大；理解性细分类的精度低。,主要数学问题和某些进一步研究课题：,1、SVM的微分几何方法；,2、词频分布特征的研究，用分布特征分类和理解；,3、添加语意的分类模型；,4、大规模数据挖掘方法寻找分类模式与规则。,许多方法可以用于求解，例如SVM分类器对于数据压缩很有效。,文本自动分类: 理解文本的类属性,子空间分类.文本自动聚类: 发现文本集合中的新模式,新概念.,文本向量: 由文本的实意词的特征值或特征模式为分量的向量. 以信息熵的形式构造.,特征子空间: 具有某种共同意义的分量组成的子空间.,文本向量空间: 全部文本向量的高维线性空间.,应用事例：思想史研究中，“

22、五四” 运动的讨论的主要思想是什么？,发现在“自由主义”的特征词所在的子空间中，文本的投影数量最大！,例题小结：本题在向学生展示时，几乎没有人有任何思路，主要是未见过类似的问题。这是因为“引模”成为习惯的思路。,只要有结构化建模的理念，而且熟悉线性代数，是可以通过一定的思考产生模型的。,原型的结构分析的关键：1、理解“关系”是结构的基础；2、文本集合的结构是问题的目标结构；3、文本的结构和文本集合的结构之间的关系是产生文本结构表示的要素。,2008年北京奥运会地区临时超市点网设计 （2004年全国大学生建模比赛A题）,2004大学生数学模型竞赛题,比赛题目：2008年北京奥运会主馆场周边临时商

23、亭网点设计,为了了解观众的购物需求和人流量的规律，假设我们在已经建设好的某运动场，举办了三次运动会，对观众发放问卷调查，采集相关数据，供解题者使用。,2008年北京奥运会的建设工作已经进入全面设计和实施阶段。奥运会期间，在比赛场馆的周边地区必须建设一个由小型商亭构建的临时商业网点。我们称之为迷你超市（MS）网，主要满足运动员，观众，游客，工作人员在奥运会期间购物需求，经营食品、旅游用品、奥运纪念品、文体用品和小日用品等等。在比赛场馆周边地区设置这种MS，在地点、大小类型和总量方面，必须满足三个基本要求：满足奥运会期间的购物需求、分布基本均衡和商业上赢利。显然，这是一个必须用科学的方法解决的问题

24、。,在本题卷中给出了奥运会主要比赛场馆的规划图，是解决上述问题的地理平台。作为真实地图的简化，在本页结构图中仅保留了与上述问题有关的地区，以及相关内容：道路、公交车站、出租车站、自驾车停车场、地铁、餐饮部门等。,并在答卷论文中明确回答以下必答问题： 假定每位观众出行平均两次，一次为进出场馆，一次为餐饮。并且出行均采取最短路径。请你依据附录中给出的问卷调查数据所反映的规律，测算图中20个商区内人流量分布（用百分比）。 2. 请你设计MS类型（可以分两种大小不同规模）， 在20个商区内的分布（每个商区内不同类型MS的个数），以满足“题目描述”中的三个基本要求。 3阐明你的方法的科学性和结果是贴近实

25、际的。,问题： 对结构图上标明的比赛场馆周边地区规定的商区（地图上标有A、B、C及编号的黄色填充的区域）内设计网点。,问题的目的：在奥运馆场优化设计临时小超市（MS）,分析结构并抽象出专业模型：,1）对于设计环境抽象出与目的有关的馆场结构图。,2）抽取影响设计MS的主要因素：人流量，因此在以上馆场结构图中，应该嵌入一个人流量分布结构。,3）理解设计的三条原则：满足购物需求、商业上赢利、分布均衡。则问题实质上求在以上两种结构之上设计新的结构：MS 分布结构，使得以上三原则优化。,以上，用自然语言表述了原型及目的涉及的结构以及结构之间的联系。这是专业模型最上一层的表述，明确了这是一个求附加结构的反

26、问题，而核心求解的结构是：人流量分布结构。,总体结构的理解：,调查数据 人流动的一般规律（数据结构）,规律发现,+,馆场平面结构（几何结构）,人流量在馆场结构图中的分布 （网络流结构）,三条原则的数学模型（约束条件）,+,有约束的整数规划问题,各个部分的结构建模,1）人流动的一般规律的数据模型：用数据挖掘方法，可以找出全部二维和三维关联规则，得到数据模型。,2）将馆场平面结构图和数据模型可以建立由连通道路组成的网络流模型，进而计算出每个商区的人流量分布。,3）建立三项原则的数学模型（约束）：满足需求和商业赢利都容易用数学表示。均衡性是十分灵活的特别体现“浅无边，深无底”的命题指导思想。这里，均

27、衡性结构的数学表述（模型），是一个难点！,4）最后给出整数规划问题。,本问题的解决过程基本上划分为三个部分：,A出行规律的数据模型的建立 这一部分的目的是通过对三次问卷调查给出的一万条记录的数据进行分析、汇总计算，给出出行与不同类型人流的分布关系，将这些关系数据组成尽可能全面反应相关规律的数据结构。对三次调查的规律一致性（结构的整体性）给予充分关注，认为一致性规律才是一般性规律，这是很重要的一步分析。,在分析不同的出行与不同类型的人流相关联时，最简单的是采用直观选择可能的相关性使用统计相关分析进行计算。主要的关系都能计算出，但往往不够完整，其中性别与年龄段对出行方式的考虑不足，由于性别对与出行

28、方式中存在着相关性（例如女性乘出租与私车比例较高），这一条比较容易忽略的规则对计算结果是有影响的。因为一般的统计方法需要确定统计相关性的对象，依赖于直观的相关属性的选择，是造成不够完善的一个原因。使用系统的数据挖掘方法，挖掘出所有二维属性相关值，计算出支持度与置性度，才给出完整的数据模型（发掘细节的结构）。,B、建立数学模型来确定人流量分布,在计算人流量（或购物量分布）结构的表示方法上，可以构造许多创造性的数学模型。例如画出路径的网络图，确定最短路径是最普遍使用的方法；对路口节点的分析是很贴近人们出行与购物习惯的；利用了矩阵表示商区节点与出行目标之间关系数据，从而使计算变得简便等等。特别是构造

29、电路模型或水流模型，用于计算人流分布，这种方法实际上就是网络流模型的一些变形和形象化，也可以取得很好的效果。还可以特色地引入购物心理学，适当地修正仅用商圈概念的简单模型，得到一些求人流量的公式，对于更广泛的应用是有意义的。人流量分布概率的方法也是普遍有用的，应当说是取得好效果的重要方法。使用直观的图形与表格进行分析也是很重要的方法等等。,这一部分的目标很明确，根据人流量分布，建立适当的数学规划模型，解出商店的最优分布。但是，建模的方法很多，思想也各不相同。可以用商业盈利的要求设计目标函数使其达到最大。也可以先计算出每个商区的最大消费额，然后在达到最大消费额条件下求成本最小作为优化目标。在目标函

30、数选择上，这两类方法各有千秋。在建立数学规划模型中，最困难的是如何为满足“均衡”性要求而表达约束条件，这是本题在设计时留下的难点，反映“深无底”的命题特色。在众多参赛论文中主要使用的是限制性约束条件，例如限制在每个商区的MS最多个数与最少个数之差达到极小的约束，这样的规划问题比较简单，也能得到比较符合实际的分布，但是对于商圈数量较大或情况比较复杂的问题，这类约束的想法显得过于简单。,C、建立数学规划模型,沙堆模型是一种人流量扩散的基本结构！,眼科病床的合理安排摘要,该医院眼科门诊每天开放，住院部共有病床79张。该医院眼科手术主要分四大类：白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。附录中给出了2008年

31、7月13日至2008年9月11日这段时间里各类病人的情况。 白内障手术较简单，而且没有急症。目前该院是每周一、三做白内障手术，此类病人的术前准备时间只需1、2天。做两只眼的病人比做一只眼的要多一些，大约占到60%。如果白内障要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。,外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。 其他眼科疾病比较复杂，有各种不同情况，但大致住院以后2-3天内就可以接受手术，主要是术后的观察时间较长。这类疾病手术时间可根据需要安排，一般不安排在周一、周三。由于急症数量较少，建模时这些眼科疾病可不考虑急症。,要点总结：1)四种病：BNZ(1),BNZ(2)

32、,QGY,SHWM,加WSH;2)手术日：周1，3 ，BNZ(1), BNZ(2)（13）；其他日，QGY, SHWM;WSH无限制。3）术前准备时间BNZ,1-2天，WSH1天，其他23天；,当前原则： FCFS（First come, First serve）规则安排住院，有数据表。,问题一：试分析确定合理的评价指标体系，用以评价该问题的病床安排模型的优劣。分析：对模型有区分作用的完整的指标集合，评价模型。问题二：试就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，以根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。并对你们的模型利用问题一中的指标体系作出评价。分析：模型 规则（算

33、法），初始条件计算，指标体系评价。注意“当前情况”不是给出的样本情况。,问题三：作为病人，自然希望尽早知道自己大约何时能住院。能否根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况，在病人门诊时即告知其大致入住时间区间。分析：建立预测区间模型，区间最小，精度最高。,问题四：若该住院部周六、周日不安排手术，请你们重新回答问题二，医院的手术时间安排是否应作出相应调整?分析：似乎是将问题2的模型进行数字修改，但是如果看到问题的复杂主要来源于手术日条件：周1，3 ，BNZ(1), BNZ(2)（13），则可以预见必然涉及“结构性改变”。,问题五：有人从便于管理的角度提出建议，在一般情形下，医院病床安排可采取使各

34、类病人占用病床的比例大致固定的方案，试就此方案，建立使得所有病人在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比例分配模型。分析：这是一个求比例关系的优化问题，固定比例是简化假设。,结构主义分析,1、本题显而易见是排队论，即随机服务系统的优化问题，优化其中的排队策略。因此这个问题的数学模型类是显然的。2、理解排队论结构：输入服务机构（服务过程）输出建立模型在于分析问题条件对于排队而言结构中的细致结构，通过细致结构设计(策略)实现优化目标。3、从问题条件中的细节复杂情况以及问题要求（具体策略）看，理论求解难度比较大，注意仿真方法的应用！,具体分析生成解题思路,问题1（评价指标体系）从排

35、队论结构参数要求分析本问题：1）输入过程：研究输入的统计结构：分布！无限客源，到达方式随机服从负指数分布（用样本检验！）；2）服务过程：无限队长的，系统内逗留时间的结构：排队等待时间+服务时间（术前准备时间+术后逗留时间）；3）排队规则：不一定FCFS（改变转换结构！），这正是优化策略！因此无法直接使用排队的理论计算解决问题。但是对于策略可以仿真和评价；4）服务机制：充分服务； 5）输出结构随意，不必考虑！,具体分析结论：,1）眼病分四类：BNZ(1),BNZ(2),WSH，QT(其他，由于两种病的排队模式相同)。2）由于要解决排队压力，客源按四类计算分布，可以用队长定义压力。评价中与顾客抱怨

36、有关，但是不是优化控制参数，可作为评价指标。3）系统内逗留时间显然是优化的目标：排队等待时间+术前住院时间+术后逗留时间。其中可以使用策略而改变的结构是：术前准备时间与排队等待时间。因此，这里的平均等待时间，平均逗留时间，平均术前住院时间，以及最大，可以作为评价指标。,作为管理系统的优化问题，还有系统主体的感觉：4）顾客满意度，分公平性与顾客利益。其中，公平性在于FCFS,正是绝对该原则导致“总队长”，因此这是一个可以评价的指标。此外，顾客利益表现在住院时间最短化（调控结构参数），显然总住院时间是优化参数。5）医院方面考虑经济效益与医疗水平的评估，这里显然有病床利用率和周转率成为优化参数。,主

37、要评价指标：1）平均的术前准备时间、排队等待时间显然是各方面衡量都重要的评价指标。由于术后住院不可控制，因此也决定了平均逗留时间这个排队论的主要指标以及导致住院时间最短和病床周转率，同时解决队长压力问题。,2）满意度只有FCFS达不到时才出现，称为出现逆序和逆序时长，因此这是又一个评价指标。3）病床利用率显然是评价指标，只是在拥挤情况下不表现，但是在优化以后可能表现。评阅要点上未作为主要指标的原因。,问题2（优化模型）,1）首先，FCFS的规则如果只对于每类眼病而言，则逆序问题已经解决，可以简化（也符合实际）。,2）由于是拥挤系统，可以优化的参数实际上只有：平均的术前住院时间和病床使用率。,3

38、）由于术前住院时间的理论值已经给出，BNZ（1-2），外科第二天，其他（2-3）。如何安排接近理论值，应该是好的方案。,事实上，虽然这是一个M/G/m排队模型，而且很难求解，相反，通过规则制定和仿真可以找到比较好的解。但是难以证明最优。利用给定数据建模是不好的，仿真也一样。,方法1：BNZ的入院日，理论上可以有少数最佳日：BNZ(1)为周日、二，BNZ(2)为周日。双眼白内障病人多时（占60%），于是有些病人要等到下周周日才能入住，等待时间过长，因此所有BNZ放宽一天。进行仿真实验，效果比较好；,方法2：根据最佳入院日，给三类病人规定优先级（每天！），并且根据队长压力实时调整优先级的床位分配。

39、例如，下图是一种方法：,周一：BNZ(1) , QT；周二：BNZ(1) , QT；周三、周四：QT ；周五：QT, BNZ(2) , BNZ(1)；周六：BNZ(2) , BNA(1)；周日：BNZ(2) , BNZ(1) , QT,各级对于该天床位分配，要计算压力比例，在压力近似时，优先BNZ以有利于病床周转率。,这些方法注重规则制定，以直观逻辑和数据分析结合，相对比较简单、实用，但是没有模型！仿真要设计算法，特别注意：随机样本仿真比确定样本仿真要正确得多。线性规划方法是模型化的，但是其中需要的参数较多，难以求解。使用现成数据求解是显然不好的，除非有随机仿真支持。,问题3 此问希望学生给出

40、一个满足一定置信度（例如：90%）的预约住院时间区间。 考虑通过同类病人术后住院时间的概率分布从理论上得到这一区间，但这样做的一个困难是已处于术后住院状态的该类病人的继续住院时间不服从同一分布，从而将该类病人（含已住院与未住院）的预计住院时间求和后的随机变量的分布不知道。如果能通过此种理论方法解决此问题，自然是最理想的。这是理论方法的局限。,仿真方法，统计各类病人的实际住院时间，从而得到一定置信度下的预计住院时间区间。这里有固定区间及自适应区间两种不同方法。,固定预约区间方法：根据以前某一段时间内的同类病人在系统内（含等待与住院）时间的统计，绘出直方图，找到包含90%病人且长度最短的一段为病人

41、住院预约区间，然后对所有该类病人均按此区间预约。 此方法的长处是操作简单，缺点是区间固定，未考虑当前排队人数情况。,自适应区间方法：根据当前系统内（含住院及等待）人数，利用该类病人每日出院人数的统计平均值，计算得到当前病人预计住院时间，然后再通过统计数据得到90%的置信区间。,实时控制方法： 由于医院可以知道第二天出院人数，同时从已经知道的过去一段时间的各种疾病的住院时间分布，可以在90%人群的数据区间得到最小的时段。然后根据几天的优先级和当天的门诊人数，计算出预约区间。 这种方法的有效评估同样应该通过随机数据的仿真确定。,问题四 在周六、周日不手术条件下，重新建立病床安排模型。 与问题二的分

42、析相同，仍采用“入院限制方案”，但简单沿用第二问方法仿真的结果不理想，主要原因是对视网膜与青光眼病人而言，周六、周日、周一连续三日不手术，则按照“入院限制方案”，周四、周五将不安排病人入院，于是造成病床使用效率降低，需改进手术时间安排。如果采取“二四方案”，即周二、周四为白内障病人手术时间，周一、三、五为其他病人手术时间，则只有周四不安排病人入院，病床使用效率有所提高，,3、结构化建模的研究课题,系统地提出结构化的建模方法是我们的首次尝试，因此方法实施的细节还远不成熟，有大量需要研究的问题。,1）分析原型结构的方法利用皮亚杰的结构定义的“三性”：整体性、转换性和自调节性对于不同专业或领域建立分

43、析方法；,2）建立在具有相同结构的不同集合（领域、专业、问题）之间的同构方法；,3）、研究数学方法的结构 三种数学母结构：序结构、代数结构和拓扑结构；其他数学方法的结构都是母结构的：组合或复合，形成复杂结构。,4）、研究一些应用广泛的实际模型的数学表达（同构），例如网络模型。,5）、模型化方法将从数学模型扩展到数据模型。因此，研究数据结构和实际问题的原型结构的同构关系是一个新的领域。,六、复杂系统建模与复杂网络,系统：集合（具体元素）+ 结构。一切系统的基本结构都是网络；一切系统的核心结构都是逻辑网络；一切系统的逻辑网络中都有高阶逻辑。,复杂系统的数学模型：复杂网络,1、为什么是复杂网络,2、

44、为什么二十一世纪研究复杂网络？,二十一世纪涌现的新现象：万维网是怎样“链”接的？计算机病毒是怎样传播的？传染病是怎样扩散或“消失”的？流言的传播速度有多快？城市交通涌堵的机理是什么？金融和股票市场是如何变化的？什么是“系统生物学”？等等、等等、？,复杂网络研究的简史,Scientific Collaboration Network,Pl Erds (1913-1996)Oliver Sacks: A mathematical genius of the first order, Paul Erds was totally obsessed with his subject - he thoug

45、ht and wrote mathematics for nineteen hours a day until the day he died. He traveled constantly, living out of a plastic bag, and had no interest in food, sex, companionship, art - all that is usually indispensable to a human life. - The Man Who Loved Only Numbers (Paul Hoffman, 1998),生物网络,神经网络,基因网络

46、,蛋白质相互作用网络,生态网络,新陈代谢网络,Complex Network Example: WWW,Complex Network Example: Biological Networks,Food Web,Nodes: trophic species Links: trophic interactions,R.J. Williams, N.D. Martinez Nature (2000),3、研究主要内容复杂网络理论的主要研究内容可以归纳为：,建模：建立适合问题的网络模型，作为系统的基本数学模型。 发现：揭示刻画网络结构的统计性质，以及度量这些性质的合适方法。分析：分析节点的特性和网络

47、组分的作用，整个网络的结构性质分析与预测网络的行为。控制：提出改善已有网络性能和设计新的网络的有效方法，特别是稳定性、同步和数据流通等方面。,复杂网络以及复杂逻辑网络将是二十一世纪最普遍的数学模型！,结构化数学建模的理论研究和实践教学具有极大研究空间！,结构化建模既是理念，也是思路，更是方法。,欢迎指正、批评和讨论！谢谢大家！,Watson andCrick,构造DNA双螺旋模型,结构主义建模三讲,第一讲. 概念: 模型、数学模型与数学建模问题的提出；模型、数学、数学模型和建模的概念；结构化数学建模的概念；例子,第二讲. 理论: 结构主义与数学建模方法深入结构化建模的理论；皮亚杰的结构主义方法；数学中的结构；结构化建模方法初探,