巧用旋转法解几何题.doc

1、1巧用旋转法解几何题将一个图形绕着某一点旋转一个角度的图形变换叫做旋转，由旋转的性质可知旋转前后的图形全等，对应点到旋转中心的连线所组成的夹角等于旋转角。旋转法是在图形具有公共端点的相等的线段特征时，可以把图形的某部分绕相等的线段的公共端点，旋转另一位置的引辅助线的方法，主要用途是把分散的元素通过旋转集中起来，从而为证题创造必要的条件。旋转方法常用于等腰三角形、等边三角形及正方形等图形中。现就旋转法在几何证题中的应用举例加以说明，供同学们参考。例 1如图,在 RtABC 中，C=90，D 是 AB 的中点，E，F 分别 AC 和 BC 上，且 DEDF，求证：EF 2=AE2+BF2分析：从所

2、证的结论来看，令人联想到勾股定理，但注意到 EF，AE，BF 三条线段不在同一个三角形中，由于 D 是中点，我们可以考虑以 D 为旋转中心，将 BF 旋转到和 AE 相邻的位置，构造一个直角三角形，问题便迎刃而解。证明：延长 FD 到 G，使 DG=DF，连接 AG，EGAD=DB，ADG=BDFADGBDF（SAS）DAG=DBF，BF=AG AGBC C=90EAG=90EG 2=AE2+AG2=AE2+BF2DEDFEG=EFEF 2=AE2+BF2例 2，如图 2，在ABC 中，ACB=90，AC=BC，P 是ABC 内一点，且 PA=3，PB=1，PC=2，求BPC 的度数.分析：题

3、目已知条件中给出了三条线段的长度和一个直角，但已知的三条线段不在同一三角形中，故可考虑通过旋转变换移至一个三角形中，由于ACB 是等腰直角三角形，宜以直角顶点 C 为旋转中心。解：作 MCCP，使 MC=CP，连接 PM，BMGFEDCBA2ACB=90，PCM=901=2AC=BC， CAPCBM（SAS）MB=AP=3PC=MC，PCM=90MPC=45由勾股定理 PM= = =2 ，2MCP2P在MPB 中，PB 2+PM2=（2 ） 2+12=9=BM2MPB 是直角三角形BPC=CPM+MPB=45+90=135例 3，如图 3，直角三角形 ABC 中，AB=AC，BAC=90,EA

4、F=45，求证：EF 2=BE2+CF2分析：本题求证的结论和例 1 十分相似，无法直接用勾股定理，可通过旋转变换将 BE，CF 转移到同一个直角三角形中，由于BAC 是等腰直角三角形，不妨以 A 为旋转中心，将BAE 和CAF合在一起，取零为整。证明：过 A 作 APAE 交 BC 的垂线 CP 于 P，连结 PFEAP=90，EAF=45PAF=45BAC=90 BAE=PACAB=AC， B=ACB=ACP=45ABEACP（ASA）PC=AE， ，AP=AEAEFAPF（SAS）EF=PF故在 RtPCF 中，PF 2=CF2+PC2,即 EF2=CF2+AE2例 4，如图 4，正方形

5、 ABCD 中，E，F 分别在 AD，DC 上，且EBF=45，BMEF 于 M，求证：BA=BM分析:本题与例 3 相同之处在于直角三角形家夹有 45角，可利用相同的方法，将ABE 和CBF“化散为整”来构造全等三角形。APMCBA3证明：延长 FC 到 N，使 CN=AE，连结 BN四边形 ABCD 是正方形AB=AC，BAC=90EBF=45ABE+CBF=45由ABECBN 知 BE=BN，CBN=ABECBN+CBF=45，即EBF=NBF又 BE=BN，BF=BFEBFNBF（SAS）BM=BCBM=BA例 5、如图 6，五边形 ABCDE 中，ABAE，BCDECD，ABCAED

6、180。求证：ADEADC。解析：条件中有共点且相等的边 AE 和 AB，可将ADE 以点 A 为中心，顺时针方向旋转BAE 的角度到AFB 的位置，如图 7。这就使已知条件ABCAED180和 BCDECD 通过转化得到集中，使解题思路进一步明朗。由ADEAFB，得AEDABF，ADEAFB，EDBF，AFAD。由ABCAED180，得ABCABF180。所以 C、B、F 三点共线。又 CDBCDEBCBFCF，故CFDCDF。由 AFAD，得到DFAFDA。ADE AFBCFDDFACDFFDAADC。例 6、如图，P 是等边三角形 ABC 内的一个点，PA=2，PB= ，PC=4，求AB

7、C 的边长。32分析：PA、PB、PC 比较分散，可利用旋转将 PA、PB、PC 放在一个三角形中，为此可将BPA 绕 B点逆时针方向旋转 60可得BHC。解：把BPA 绕 B 点逆时针方向旋转 60得到BHC。因为 BP=BH，PBH=60所以BPH 是等边三角形所以BPH=60，所以 BP=PH 32又因为 HC=PA=2，PC=4所以NDFECBA4所以HCP 是 Rt，所以CHP=90又因为 HC=2，PC=4所以HPC=30又因为BPH=60，所以CPB=90在 RtBPC 中，=12+16=28,，那么ABC 的边长为 。72BC72例 7、如图 2，O 是等边三角形 ABC 内一

8、点，已知：AOB=115，BOC=125，则以线段OA、OB、OC 为边构成三角形的各角度数是多少？解：可将BOC 绕 B 点按逆时针方向旋转 60可得BMA。因为 BO=BM，MBO=60所以BOM 是等边三角形，所以1=2=60又因为AOB=115，所以MOA=55又因为AMB=COB=125所以AMO=65又因为 AM=OC，MO=BO所以AMO 正好是以 AO、OC、BO 为边组成的三角形，所以MAO=180（55+65）=180120=60即：以线段 OA、OB、OC 为边构成三角形的各角的度数分别为 55、65、60。例 8、如图 4，P 是正方形 ABCD 内一点，将ABP 绕点

9、 B 顺时针方向旋转能与重合，若 PB=3，求 的长。CB分析：将ABP 绕点 B 顺时针方向旋转能与 重合，实际上就是把ABP 顺时CP针方向旋转 90可得 ，即 90。CP5解：因为 90。所以 。,BP P2322B例 9、如图 5，P 为正方形 ABCD 内一点，且 PA：PB：PC=1：2：3，求APB 的度数。分析：PA：PB：PC=1：2：3，不妨设 PA=1，PB=2，PC=3，而这些条件较分散，可设法把 PA、PB、PC 相对集中起来即把BCP 绕B 点顺时针方向旋转 90得到BAE。解：因为 BP=BE，PBE=90所以 ，所以22PE2PE又在APE 中， 2,3AECA

10、即 22)(1所以APE=90即APB=90+45=135所以APB=135。例 10、如图，正方形 ABCD 的边长为 1，AB、AD 上各存一点 P、Q，若APQ 的周长为 2，求PCQ的度数。解：把CDQ 绕点 C 旋转 90到CBF 的位置，CQ=CF。因为 AQ+AP+QP=2又 AQ+QD+AP+PB=2所以 QD+BP=QP又 DQ=BF，所以 PQ=PF所以 FCPQ所以QCP=FCP又因为QCF=90，所以PCQ=45。由上例可知，利用旋转的概念及性质，把图中的一部分图形通过旋转，可把题化难为易，它为题设和结论的沟通架起了桥梁，同学们在做题时多练，多观察，增强解答几何题的能力从以上几例来看，都巧妙地运用了旋转的方法构造全等三角形，或借助中点，或旋转一角，通过将相关线段和有关的角转移到一个直角三角形中，运用勾股定理及它的逆定理来达到解题的6目的。