1、1第三章 量子力学中的力学量1. 证明 厄米算符的平均值都是实数（在任意态）证 由厄米算符的定义*()Fdd厄米算符 的平均值*()Fd*()*Fd即厄米算符的平均值都是实数2. 判断下列等式是否正确（1） HTU（2）（3） E解：（1） （2）正确 （3）错误因为动能，势能不同时确定，而它们的平均值却是同时确定 。3. 设 归一化， 是 的本征函数，且 ()xkF()()kxcx（1）试推导 表示式kC（2）求征力学量 F 的 态平均值()x2kcF（3）说明 的物理意义。2kc解：（1）给 左乘 再对 积分()x*()mx*()mkdcd*()kmkcxd因 是 的本函，所以 具有正交归
2、一性xF()x2*()()mkmkkkxdcxdcm ()k()kc（2） 是 的本征函数，设其本征值为 则FkFkk*mmkdxcdx()kcF*mkxkc2kF即 kc（3） 的物理意义；表示体系处在 态，在该态中测量力学量 F，得到本征值2 的kF几率为 。2kc4. 一维谐振子处于基态 0（x） 态，求该态中（1） 势能的平均值 21U（2） 动能的平均值 pT（3） 动量的几率分布。解：(1) dxexU2221 2222 411413（ ）21035(2)naxneda(2) dxppT)(22*eexx22121)(dx2)(222eexx223441或 412UET(3) dx
3、pcp)()(*2121dxePixPxi21 depix22)(1 21xipp222)(1 212pe 2pe动量几率分布函数为421)(2pepc5. 氢原子处于 态，求03(,)rar（1） r 的平均值。（2） e 2/r 的平均值（3） 最可几半径.（4） 动能平均值.解：(1) drreadr a sin1),(022/32 0（ ） 0/2304r 10!naxne0403!aa020320/2/3202/30214 sin si1)()(0 0aeaedrdreae rrUarrar(3)电子出现在 r+dr 球壳内出现的几率为 022 sin),()( drrdr drea
4、r2/30042/3004)(ear0/203)(ardr5令 0321 , ,0 )( arrdr 与当 为几率最小位置)( ,0210/20302 )484areradr)(23020ear 是最可几半径。(4) 221pT22 211()(sin)isir 02 2/2/30 i)(00 dreaTarr 02 2/2/30 sin)(100 rdrra0/02302 )(140eaar202402)(6. 证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在极坐标系中的分量为， erJ 2 sinemJr证：电子的电流密度为)(2*mnmneiJ在球极坐标中为sin11rerer式中 为单位矢量r、
5、6)sin11( 2* *mnrmnre reeiJ )sin1sin1()1()(2 * mnmnmnn nnnr rreei 中的 和 部分是实数。r eiiieJ mnmne )(s222 ermn2si可见， 0er2sinmeJ7. 由上题知,氢原子中电流可看作许多圆周电流组成(1)求一圆周电流的磁矩 (2)求证氢原子磁矩为 zM 2e解：(1) 一圆周电流的磁矩为（ 为圆周电流，AdSJidei为圆周所围面积）A22)sin(sinrrmdSemn2irrn22si )(rdS(2)氢原子的磁矩为02 sirmedMn702 sin2drmemnn202 i2e)(SI原子磁矩与角
6、动量之比为)( IeLMzz8. 求一维无限势阱中粒子动量与位置的测不准关系 2()?xp解设宽为 a 的一维无限势阱的波函数为sin()2vx()x22()p2*2d1sin()axadx2coa321s()anxxadx22iadn221si()2sin()3axxda2co()andn2s()cos()3anxx d20an823anx21si()xadxcoas()2anxxadx1iadns()sin()xxa0*pd1sin()sin()22xaxadcoa2si()4ixd0p2*2x2sin()adxa2i()x231cos()/24nnxada2233()8x24nxa22(
7、)3an922()4npa22222()()334nxx9. 证明氢原子中电子 与 是守恒量2Lz证明氢原子的哈密顿算符 222()()LHrur因 与 是相互对易的 且 与 也是对易的。2Lr2L211(sin)isi 2,0LH， ， 与 t 无在，只与 有关。2xyzxLyz,xyz20t3t又 与 也是对易的，且3Lr20L0zH氢原子中电子 和 是守恒量。2z（判断守恒量的条件：与 t 无关，且与哈密顿算符对易）10. 设线性谐振子处于 描述状态，则在该态中，能量可能取哪些013()()()2xx值？几率各是多少？能量的平均值是多少？解线性谐振子能级 ，而 是振子的两个本征态。Ewn1,所以能量可能取 012132因 234nc所以 未归一化的波函数，则几率求法应为 ()x2ncW10对应几率 012Ew21nc21103w对应几率 13222nc229101312w平均值（即第 11 题）方法 I由平均值公式 2ncF19342wE80/75w方法（ 未归一化）*Fd*nHdEd*011033()()()221xxd*0111004443qddd由正交归一性可得
