线线角和线面角.doc

1、线线角和线面角重点 ：确定点、斜线在平面内的射影。知识要点：一、线线角1、定义：设 a、b 是异面直线，过空间一点 O 引 a/a,b/b,则 a 、b所成的锐角( 或直角),叫做异面直线 a、b 所成的角.2、范围:(0, 3. 向量知识：对异面直线 AB 和 CD(1) ；(2) 向量 和 的夹角(或者说其补角 )等于异面直线 AB和 CD 的夹角；(3)二、线面角1、定义：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，斜线和平面所成角的范围是(0, ). 2、直线在平面内或直线与平面平行，它们所成角是零角；直线垂直平面它们所成角为 ， 3、范围: 0, 。4、射影定理：斜线长定理：从平

2、面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：（1）射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；（2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；（3）垂线段比任何一条斜线段都短。5、最小角定理：平面的一条斜线与平面所成的角，是这条直线和平面内过斜足的直线所成的一切角中最小的角。6、向量知识（法向量法）与平面的斜线共线的向量 和这个平面的一个法向量 的夹角(或者说其补角)是这条斜线与该平面夹角的余角.例题分析与解答例 1如图所示，在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，求：异面直线 BA1 与 AC 所成的角.分析：利用 ，求出向量 的夹角,再根据异面直线 BA1，AC

3、 所成角的范围确定异面直线所成角.解： ， ， ABBC ，BB 1AB，BB 1BC， 又 所以异面直线 BA1 与 AC 所成的角为 60.点评：求异面直线所成角的关键是求异面直线上两向量的数量积，而要求两向量的数量积，必须会把所求向量用空间的一组基向量来表示.例 2如图(1)，ABCD 是一直角梯形，AD AB，AD/BC，AB=BC=a, AD=2a,且 PA平面 ABCD，PD 与平面 ABCD 成 30角.(1)若 AE PD，E 为垂足，求证：BEPD；(2)求异面直线 AE 与 CD 所成角的大小（用反三角函数表示）解法一：（1）证明：PA平面 ABCD， PAAB，ADAB，

4、 AB平面 PAD，ABPD ， 又 AEPD， PD平面 ABE， BEPD.(2)解：设 G、H 分别为 ED、AD 的中点，连 BH、HG 、GB（图（1）易知 ， BH/CD.G、H 分别为 ED、AD 的中点， HG/AE则BHG 或它的补角就是异面直线 AE、CD 所成的角，而 ， ， ，在 BHG中，由余弦定理，得 ， . 异面直线 AE、CD 所成角的大小为 .解法二：如图（2）所示建立空间直角坐标系 A-xyz，则 ， ， ， ，（1）证明： （2）解： 异面直线 AE、CD 所成角的大小为 例 3如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中， ，求 BE1 与 DF1 所

5、成角的余弦值.解：以 D 为坐标原点， 为 x,y,z 轴，建立空间直角坐标系 D-xyz，设正方体的棱长为 4，则D(0,0,0)，B(4,4,0),E 1(4,3,4), F1(0,1,4).则 ， ， . BE 1 与 DF1 所成角的余弦值为 点评：在计算和证明立体几何问题中，若能在原图中建立适当的空间直角坐标系，把图形中的点的坐标求出来，那么图形有关问题可用向量表示.利用空间向量的坐标运算来求解，这样可以避开较为复杂的空间想象。例 4在 120的二面角 P-a-Q 的两个面 P 和 Q 内，分别有点 A 和点 B.已知点 A 和点 B 到棱的距离分别为 2 和 4，且线段|AB|=1

6、0.(1) 求直线 AB 和棱 a 所成的角；(2) 求直线 AB 和平面 Q 所成的角解：如图，作 ACa，BDa，垂足分别为 C，D分别以 的单位向量为空间的基底 过 C，B 分别作 BD，a 的平行线，交于 E 点，CEa，从而，得：ACE 就是二面角 P-a-Q 的平面角， ,依题设： 设 (1) ,又 , 展开： , m 2+20+8=100，从而得 异面直线 与 a 所成的角为 .(2)作 AFEC ，交 EC 的延长线于 F， a平面 ACE， a 平面 Q，平面 ACE平面 Q，从而得：AF平面 Q，连结 FB，则ABF 就是 AB 与平面 Q 所成的角， 上的射影为 ， ，

7、，在 RtAFB中， ，直线 AB 和平面 Q 所成的角为： .反馈练习：1.过平面外两点和该平面垂直的平面的个数是（ ）A.1 个 B.无数个 C.一个或无数个 D.没有2.已知从一点 P 引三条射线 PA，PB，PC，且两两成 60 度角，则二面角 APBC 的二面角的余弦值是（ ）A. B. C. D.不能确定3正方体 AC1 中，E、F 分别是 AA1 与 CC1 的中点，则直线 ED 与 D1F 所成角的大小是（ ）A、 B、 C、 D、 4在正三棱锥 S-ABC 中，E 为 SA 的中点，F 为 ABC的中心，SA=BC=2 ，则异面直线EF 与 AB 所成的角是（ ）A、60 B

8、、90 C、45 D、305已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AB=AA 1，则直线 CB1 与平面 AA1B1B 所成角的正弦值是（ ）A、 B、 C、 D、 6、如图所示，M、N 分别是单位正方体 ABCD-A1B1C1D1 中 BB1、B 1C1 的中点.求 MN 与CD1 所成的角. 7、如图 1 所示，已知正三棱柱 ABC-A1B1C1，侧棱长为 2，底面边长为 1，M 是 BC 的中点.(1)求异面直线 AB1 与 BC1 的夹角；(2)在直线 CC1 上求一点 N，使 MNAB1. 参考答案：1.C. 2.B.3.A如图.： 依题意，可知： 设 由三角形法则， 直线 ED

9、与 D1F 的所成的角为 .4A如图设 依题意可得： ， 也就是：异面直线 EF 与 AB 所成的角是 60.5B如图取 AB 中点 E，连结 CE，由正三棱柱可知：CE平面 AA1B1B.连结 EB1， CB 1E 就是 B1C 与平面 AA1B1B 所成的角设棱长 AA1=1，设 ，依题意可得： ， 又 ， ， 直线 CB1 与平面 AA1B1B 所成角的正弦值是 .6、解： ， ，且 ， . MN 与 CD1 所成角为 60.7、分析：利用向量理论求异面直线所成的角.解：(1)求异面直线 AB1 与 BC1 所成的角，就是求向量 的夹角，如图 2正三棱柱 ABC-A1B1C1， ，依题意 ，从而得：