微分中值定理论文.doc

1、引言通过对数学分析的学习我们知道，微分学在数学分析中具有举足轻重的地位，它是组成数学分析的不可缺失的部分。对于整块微分学的学习，我们可以知道中值定理在它的所有定理里面是最基本的定理，也是构成它理论基础知识的一块非常重要的内容。由此可知，对于深入的了解微分中值定理，可以让我们更好的学好数学分析。通过对微分中值定理的研究，我们可以得到它不仅揭示了函数整体与局部的关系，而且也是微分学理论应用的基础。微分中值定理是一系列中值定理总称，但本文主要是以拉格朗日定理、罗尔定理和柯西定理三个定理之间的关系1-3以及它们的推广为研究对象，利用它们来讨论一些方程根（零点）的存在性, 和对极限的求解问题，以及一些不

2、等式的证明。中值定理的内容及联系基本内容45对于，微分中值定理的了解，我们了解到它包含了很多中值定理，可以说它是一系列定理的总称。而本文主要是以其中的三个定理为对象，进行探讨和发现它们之间的关系。它们分别是“罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）定理和柯西（Cauchy ）定理” 。这三个定理的具体内容如下：Rolle 定理 若 在 上连续，在 内可导，且 ，则至少存在一点 ，fx,ab,abfafb,ab使 。0Lagrange 定理 若 在 上连续，在 内可导，则至少存在一点 ，使fx,ab,ab,ab=fCauchy 定理设 ， 在 上连续，在 内可导，且 ，则至少存在一点

3、fxg,ab,ab0gx，使得,ab。ffgba三个中值定理之间的关系现在我们来看这三个定理，从这三个定理的内容我们不难看出它们之间具有一定的关系。那它们之间具体有什么样的关系呢？我们又如何来探讨呢？这是我们要关心的问题，我们将利用推广和收缩的观点来看这三个定理。首先我们先对这三个定理进行观察和类比，从中可以发现，如果把罗尔定理中的 这一条件给去掉的话，那么定理就会变成fafb为拉格朗日定理。相反，如果在拉格朗日定理中添加 这一条件的话，显然就fafb1该定理就会成为了罗尔定理。通过这一发现，可以得到这样的一个结论：拉格朗日定理是罗尔定理的推广，而罗尔定理是拉格朗日定理的收缩，或是它的特例。继

4、续用这一思路来看拉格朗日定理和柯西定理，看看这两者之间又是如何的联系？我们先对柯西定理进行观察，从观察中会是我们作出这样的假设，如果令定理中的 的话，发现定理成为gx了拉格朗日定理。这使得我们发现他们二者之间的联系， 拉格朗日定理是柯西定理收缩，而柯西定理则是拉格朗日定理的推广。我们利用这一方法可以得到它们之间的关系。总的来说，这三个定理既单独存在，相互之间又存在着联系。我们从上面的讨论中可以总结得到，罗尔定理是这一块内容的基石，而拉格朗日定理则是这一块内容的核心，那么柯西定理是这一块内容的推广应用。如果我们从几何的意义上来看这三个中值定理的话，那它们之间又是如何的呢？在这里我们不具体的给予研

5、究，而是直接给予结果。若用几何解释：“若一条连续的曲线，曲线上端点除外的每一点都有切线存在，且存在的切线于 轴相交的夹角不为直角；那么像这一x类曲线具有共同的属性曲线上有一点，它的切线与曲线端点的连线平行” 。定理的推广67前面我们已经讨论了定理之间的关系，接下来我们来看它们的推广。从前面的内容我们知道，这三个定理都要求函数 在 上是连续，在 内是可导。那么我们如果把fx,ab,ab定理中的闭区间 ，把它推广到无限区间 或 ，再把开区间 推广,ab,ab到无限区间 或 的话，则这些定理是否还能满足条件，或者我们能得出哪,些相应的定理呢？通过讨论研究我们知道，按照以上的想法把中值定理的区间，推广

6、到无限区间上可以得到几个相应的定理，本文在此只提到其中的三个，下面给出定理以及证明。定理 1 若 在 上连续，在 内可导，且 ，则至少存fx,a,alimxfa在一点 ，使 成立。,0证明：令 ，则 ，即可得到关于 参数函数1txa1xatt1ta当 时，则,0,即 ， ，再令10limtfxtg0lili1ttxgfaft1在 上连续，在 内可导，且 ，由 Rolle 定理可得到 gt0,0,10g2，使 成立至 少 存 在 一 点 0,10g令 ，有 ，而 .f21，使 成立至 少 存 在 一 点 ,af证毕定理 2 若 在 上连续，在 内可导，并且 ，至少fx,limlixxff存在一点

7、 ，使 成立。,0f定理 2 的证明可以参照定理 1。定理 3 若 在 上连续，在 内可导，并且 ，则至少存在fx,a,alixfM一点 ，使,成立。21Mffa证明：设 ，则 ，即可得到关于 参数函数tx1xatt1ta当 时，则,0,t即 ， ，再令1a0limtfxtg0lilittxgMt在 上连续，在 内可导，由 Lagrange 定理得 ,10,1，使 成立至 少 存 在 一 点 ,0g即 gfaM令 ，有 ，而 ，f221a，使至 少 存 在 一 点 ,成立.21faf证毕定理的应用3通过上面对定理的研究和探讨，加深了我们的理解。我们知道中值定理在解题中具有十分广泛的应用，现在我

8、们来看看这三个定理的具体运用。我们学知识，不仅仅是为了让我们知道，更主要的是学了要会用，这才是最关键的。利用定理证明方程根（零点）的存在性例 1 若 在 上连续，在 内可导 ，证明在 内方程fx,ab,ab0,ab。22xfbaf至 少 存 在 一 根分析：由于题目是要求方程 是否有根存在，所以可以先2xffx对方程进行变形，把方程变为 。那么方程20ba有根的话，则原方程也有根。变形之后的方程有2xfbabfx存在，所以可以利用不定积分把方程 ，转变为 2fbafx。现在我们返回来看题目，由题目中我们可以知道220fxfx在区间 上连续，在区间 内可导 ，由函数的连续性和求导的概念，x,ab

9、,ab0可以得到函数 在 上连续,在 内可导 ，22fxfxab,ab0那么我们不难想到利用罗尔中值定理就可以证明该题了。证明:令 ，22Fxfbabf显然 在 上连续,在 内可导，,而 .2affF根据 Rolle 定理, 至少存在一点 ，使 .22fbafx证毕本文主要在于辅助函数 的构造，我们从结论出发，22Ffbaxbfx构造辅助函数，使得该题可以利用中值定理来证明，接下来是考虑利用微分中值定理中的哪一个即可。对于构造辅助函数我们可以得到 ，所以选在利用罗尔定理证明。F这是对解该类问题的总结，也是自己对该类问题解题提出的一个解题思路模式，大家可以借鉴。下来我们继续看两道例题：设 在 ，

10、在 ，证明：在 内存在一点 ，fx,ab上 连 续 ,ab可 导 0ab,ab使 成立。fff4分析：对于等式 ，则可以两边同除以 ，即bfafbffba等式左端为 ，这个商式可看为函数 在 上的改变量与自变量的改变x,ab量之商，则会考虑利用 Lagrange 定理，那么可构造辅助函数 。Fxf证明: ，则 在 ，在 ，FxfFx,ab上 连 续 ,ab可 导由 Lagrange 定理，存在一点 ，使 ，,F即 ，bfaffx即 baff证毕设 在 ，在 ，证明 :在 内存在一点 ，fx,上 连 续 ,ab可 导 0ab,ab使 成立。lnbaf分析:等式 两边同除以 ，即该等式的左端为lf

11、falnla，这个商式可看为函数 与 在闭区间 上的改变量之商，则我们会想lnfbaxl,b到利用柯西定理来证明，那么构造辅助函数 。lgx证明：令 ，对 ， 在 上运用 Cauchy 定理，lngxfx,a得 ，1lffba即 ，ffgbga即 .lnff证毕用定理求极限在求极限的题目里，有些题目如果运用通常的一些方法来求解的话，则会使我们在解题过程中出现很大的计算量，或者比较繁琐的解题过程。但是应用中值定理的话，会为这一类题目提供一种简单有效的方法。而用中值定理来解题，最关键在于辅助函数的构造，然后在运用中值定理解题，即可求出极限。例 1 求 ，其中 。12limna0a5分析：由于题目中

12、有 和 ，则可以试着构造辅助函数 ，那么就可以得到1na xfa在 连续，在 可导，即可以利用 Lagrange 定理解题了。fx,解：根据题意，由 Lagrangge 定理，有12limna2li1nxnal其中， 1,n已知 ，试求 。12nan limnxa解： 令 ，则对于函数 在 上满足 Lagrangge 定理可fxfx,1k得： ，2121nknk,nkk当 时，把得到的上述 个不等式相加得：0,1n n2112n1nn即 12aa故 02nlimn证明不等式对于数学体系来说不等式是一块很重要的内容。故不等式的证明对数学是很重要的。当我们学习了中值定理，知道了它在不等式的证明中起

13、着巨大的作用。 “我们可以根据不等式两边的代数式选取一个来构造辅助函数，再应用中值定理得出一个等式后，对这个等式根据6自变量的取值范围的不同进行讨论，得到不等式” 。下面我们来通过例子来说明定理在证明中的运用。例 1 设 ，对 的情况，求证 。0x11x分析：证明不等式最常用的方法有做差，做商，对于该题目如果直接应用做差或者做商的话显然是不行的。那我们是否能通过变形是，他们可以应用做差或是做商呢？我们来看下不等式，不难发现当 时，等式两边就相等了，所以接下来排除 ，分两步讨论。 1x在观察不等式两边的代数式，不难看出左边的代数式比较复杂，则是否可以把左边的代数式构造辅助函数，是题目可以运用中值

14、定理解题呢？不妨设 ， 。利用fFxCauchy 定理即可证明。证明：当 时结论显然成立，当 时，取 或 ，在该区间设1x1x,x1,， ，由 Cauchy 定理得：fFx或1xfF,1,x即 1当 时， ，x,x即 1又 0x故 ，即1x当 时， ，1,则 0x故 ，即1x由此，不等式得证例 2 已知 在 满足 ，且在 内取最大值，试证：f0,afxM0,a。0ffaM分析：若能找到点 ，使 ，则要证的结论便转化为变量的形式：0,x0fx，ffa则根据 Lagrangge 定理证之即可。然而对于 的寻找，应该从题目中条件的 在开区0xfx间 内取到最大值入手。0,a7定理推广的应用对于中值定

15、理推广到无限区间上，在于求解一些题目，如果应用了中值定理的该推广会比较方便的得到解题，下面我们来看一个例子：例 1 如果函数 ，求证： ，使得 。2xfe0,0f分析：对于该题目我们通常会采用这样一种证法，令 ，有x22xfe，即可得证。这种证明的方法，可以说是利用极限方法来200,x证明的，我们现在考虑是否还可以运用其它的方法来证明。若要运用中值定理来证明是否可以呢？下面给出该方法。证明： 由题得 在 连续，在 可导，且可得：fx,0,210xe2lim0xe那么，由推广定理的定理 1，得到：，使得,0f证毕例 2 设 在 上可得，且 ，证明： ，使得fx,201xf0。21f证明 问题相当

16、于要找 ，使 ，因函数 在0210xf21xFxf内可导，故 ，即,2limlixxflimxf又 ，即20li 01xf0f所以 lixf由定理 2 知 ，使得 ，即题目得证。F证毕中值定理的应用广泛，本文从几个方面介绍了该定理的运用。通过以上的例题让大家知道，应用这几定理的关键和解题的难点，是在于对辅助函数的构造。在论文中通过一些题目的解题过程让大家了解到对于一道题目来说，他的解题的方法具有多样性，对于方法的选择是解题过程繁简的关键，选择一种简便的方法可以使我们快速有效的作答。也希望通过这几道例子能让大家对定理加深理解和应用。结论本课题的研究成果是通过大学阶段的有关数学分析知识的学习，和一

17、些相关学科内容的知识的学习，并结合一些相关的参考图书资料，以及通过网络收集期刊、报刊和杂志上的相8关内容，其中还包括自己对这些内容的理解，还通过多方面的了解和研究，且在和老师和同学们的一起探讨下，我们了解到微分中值定理的内在联系，也对微分中值定理的推广做了探讨，接着对微分中值定理的应用做了归纳总结。对微分中值定理本课题主要是以罗尔定理、拉格朗日定理和柯西定理，三个定理之间的联系为主要的研究对象，希望通过本课题能让大家加深了对的这三个定理的理解和应用，也希望通过例题的解析，能使得大家在应用微分中值定理上更加的娴熟。参考文献：1盛晓兰.例谈微分中值定理的证题技巧J.技术监督教育学刊,2009，1：16-19.2党艳霞.浅谈微分中值定理及其应用J.廊坊师范学院学报(自然科学版),2010,1:28-31.3刘章辉.微分中值定理及其应用J.山西大同大学学报(自然科学版),2007,23(2): 79-81.4欧阳光中 朱学炎.复旦大学数学系.数学分析第三版上册M.北京:高等教育出版社,2007.184-225.5阿黑波夫 萨多夫尼奇 丘巴里阔夫.数学分析讲义第 3 版M.北京:高等教育出版社,2006.94-95.6纪华霞.微分中值定理的几个推广结论J.高等函授学报（自然科学版） ，2006,19(6):33-38.7杨万必 龙鸣.微分中值定理的推广J.2005,23(1):31-33.