微积分-经管类-第四版-吴赣昌-习题全解-第六章定积分的应用.doc

1、第六章定积分的应用内容概要名称主要内容定积分的元素法定积分的元素法是一种简单记忆定积分（ ）三步骤的方法：badxfA)(1、将 记为iiixfA)(xfd)(2、将 写为ni10lmbaX-型 Y-型直角坐标系 )()(:21xfyxfbaDAbad12)()(:21ygxydcDAdc12平面图形的面积极坐标系 )(0:rDA rA)(21旋转体体积 已知平行截面面积的立体体积绕 x 轴旋转： dxfVba)(2)(0:fyxaDA绕 y 轴旋转： fba)(体积 )(0:ygxdcDA绕 y 轴旋转： dygVdc)(2已知垂直于 x轴的平面截立体所得截面面积为,立体又被夹)(A于 和a

2、两平面间，bx则： adxV)(已知垂直于 y 轴的平面截立体所得截面面积为 ,)(A立体又被夹于和c两平面间，y则： dcyV)(直角坐标 参数方程 极坐标平面曲线的弧长L： ，)(fy,bax；dxys21ba ：L)()tyxdttds22)(： ， ；L)(r；ds22r)(物理应用：1、变力沿直线作功 2、水压力 3、引力x0y1图 6-2-1yxDx0y/2图 6-2-2sinyx1D课后习题全解习题 6-2 1求由曲线 与直线 所围图形的面积。 xyxy知识点：平面图形的面积思路：由于所围图形无论表达为 X-型还是 Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可解： 见图 6-2-1所围

3、区域 D 表达为 X-型： ， （或 D 表达为 Y-型： ）xy10yx210 10)(dxS6)23(10（ ） 102yD 2求在区间0， /2上，曲线 与直线 、 所围图形的面积xsin1y知识点：平面图形面积思路：由于所围图形无论表达为 X-型还是 Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可解：见图 6-2-2x0y4图 6-2-32yx2224yxD所围区域 D 表达为 X-型： ， （或 D 表达为 Y-型： ）1sin20yxyxarcsin01 )cos()1(2020 dS（ ）1arsin0yD3求由曲线 与 所围图形的面积xy242知识点：平面图形面积思路：由于所围图形表达

4、为 Y-型时解法较简单，所以用 Y-型做解：见图 6-2-3两条曲线的交点： ，24yxy所围区域 D 表达为 Y-型： ，22x 2316)4()4( 2322ydyS（由于图形关于 X 轴对称，所以也可以解为：）)(2)(20302yyD4求由曲线 、 、及直线 所围图形的面积2x41知识点：平面图形面积思路：所围图形关于 Y 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为 Y-型时，解法较简单解：见图 6-2-4x0y1图 6-2-5yx1/21D第一象限所围区域 表达为 Y-型： ，1Dyx210 34)2(1001 dySD（若用 X-型做，则第一象限内所围区域 ，其中 ： ，1DbaaD22

5、410xy： ； ）b142yx12201()()43xSdd5求由曲线 与直线 及 所围图形的面积xy知识点：平面图形面积思路：由于所围图形表达为 X-型,解法较简单，所以用 X-型做解：见图 6-2-5两条曲线 和 的交点为（1，1）、（-1，-1），又这两条线和 分别交于xy 2xx0y1图 6-2-422 4xy12D1x0y图 6-2-62yx0 21D、)21,( ,(所围区域 表达为 X-型： ，Dxy122221 13()(ln)lSxd6抛物线 分圆 的面积为两部分，求这两部分的面积y282y知识点：平面图形面积思路：所围图形关于 X 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为 Y

6、-型时，解法较简单解：见图 6-2-6，设阴影部分的面积为 ，剩余面积为1DS2DS两条曲线 、 的交于 （舍去 的解），xy282y(,2)4x所围区域 表达为 Y-型： ；又图形关于 x 轴对称，1D22yx 342)()68()28(2 0320201 dySD（其中 ）cos18coss40 40sin20 dttdtyt 3682 DS7求由曲线 、 与直线 所围图形的面积xeyx1知识点：平面图形面积思路：由于所围图形表达为 X-型时，解法较简单，所以用 X-型做xyxylnalnbl0 l1 bln图 6-2-8解：见图 6-2-7两条曲线 和 的交点为（0，1），又这两条线和

7、分别交于xeyx 1x和),1() ,1所围区域 表达为 X-型： ，Dxxey 2)()( 11010 deSx8求由曲线 与直线 及 所围图形的面积ylnaylnbl )0(ab知识点：平面图形面积思路：由于所围图形表达为 Y-型时，解法较简单，所以用 Y-型做解：见图 6-2-8在 的定义域范围内所围区域 ： ，xlnDyexba0lnl bedySabaDlnln9求通过（0，0），（1，2）的抛物线，要求它具有以下性质：（1）它的对称轴平行于 y 轴，x0y1图 6-2-7xye1xeDxyxe0图 6-2-1012 Dy且向下弯；（2）它与 x 轴所围图形面积最小知识点：平面图形面

8、积和求最值思路：首先根据给出的条件建立含参变量的抛物线方程，再求最值时的参变量解：由于抛物线的对称轴平行于 y 轴，又过（0，0），所以可设抛物线方程为 ，（由于bxay2下弯，所以 ），将（1，2）代入 ，得到 ，因此abxa2xy)(2该抛物线和 X 轴的交点为 和 ，0a所围区域 ：D2()xyx 2320320 6)()( aadaxSaD )4(1()2(361)( 3322 得到唯一极值点： ，4所求抛物线为： xy6210求位于曲线 下方，该曲线过原点的切线的左方以及 x 轴上方之间的图形的面积xe知识点：切线方程和平面图形面积思路：先求切线方程，再作出所求区域图形，然后根据图形

9、特点，选择积分区域表达类型解： ，在任一点 处的切线方程为xeyx 0x)(000xeyx而过（0，0）的切线方程就为： ，即)1(ey所求图形区域为 ,见图 6-2-10210ra图 6-1-112图 6-2-123sinar0r6/1DX-型下的 ： ， ：1Dxey02Dxey10 2)(102100ddxeSxx 11求由曲线 所围图形的面积cos2ar知识点：平面图形面积思路：作图可知该曲线是半径为 、圆心（ ）的圆在极坐标系下的表达式，可直接求得面积为 ,a，2a也可选择极坐标求面积的方法做。解：作图 6-1-11知所求图形区域 ：Dcos20ar 22 )in21()cs(1 a

10、dSD 12求三叶玫瑰线 的面积3inarS知识点：平面图形面积思路： 三叶玫瑰由三瓣面积相等的叶片组成图 6-2-12 中所画是三叶玫瑰中的一叶，而一叶图形又关于 对称，6因此选择其中一叶的一半区域 求其面积1D解： ：1D3cos06ar图 6-2-13)cos2(ar0 r6a43图 6-2-14aerr2/aeaeD0 2602602 41)sin1(3)cos(11 aadaSD 13求由曲线 所围图形的面积2r知识点：平面图形面积思路：作图可知该曲线围成的图形关于极轴对称，因此选择其中一半区域 求其面积1D解： ：1D)cos2(0ar 1 22 20 0412(s3)(sin3s

11、in6)182DSda a 14求对数螺线 及射线 所围图形的面积ae知识点：平面图形面积思路：作图可知该曲线围成的图形是由 ， 从 到 一段曲线及射线 所围，由此可ae确定 、 的范围图 6-2-15cos3r0rcos1r3/21D3/图 6-2-16sin2r0r2cosr1D4/6解：所围区域 ：Dae0 )(421)(21 22 eadS15求由曲线 及 所围图形的面积cos3rcosr知识点：平面图形面积思路：作图可知两条闭围线围成的图形由三部分组成，其中一部分为两图形重叠部分 ，而 又关于D极轴对称，设 在（0， ）内的曲线和极轴围成的半个 为 区域21解：两条曲线 、 交于 处，cos3rcos1r3因此分割区域 ，其中 ： ， ：baD1acos10rbDcos302r1 22320320 32(cos)()915(sini)(sin)4644DSdd16求由曲线 及 所围图形的面积i2r2cosr知识点：平面图形面积思路：作图可知两条闭围线围成的图形由三部分组成，其中一部分为两图形重叠部分 ，而D又关于射线 对称，设两条曲线D2在（0， ）围成的半个 为 区域1