1、1线面垂直的证明中的找线技巧通过计算，运用勾股定理寻求线线垂直1 如图 1，在正方体 中， 为 的中点，AC 交 BD 于点 O， （）求证：1ABCDM1C平面 MBD （）求 的体积O练习 1：如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， ， 是等边三PABCDPABCDA PAD角形，已知 ， 28BD245（）设 是 上的一点，证明：平面 平面 ；MM（）求四棱锥 的体积练习 2、已知 是矩形， 平面 ， ，ABCDPABCD2A， 为 的中点4PE求证： 平面 ； A BCMPD2利用面面垂直寻求线面垂直例 2 如图 2， 是ABC 所在平面外的一点，且 PA平面 ABC，平面 PAC平面 P
2、BC求证：PBC平面 PAC 练习 3 如图所示， ABCD 为正方形， 平面 ABCD，过 且垂直于 的平面分别交SAASC于 求证： ， SBCD，EFG，EBGD应用等腰(等边)三角形三线合一性质所谓三线合一的性质是等腰三角形底边的中线同时是高和角分线,可以很轻松的得到线线垂直,从而为证明线面垂直做了很好的准备工作.例 3：如图 2 所示，已知 垂直于 所在平面， 是 的直径，PAOABO是 的圆周上异于 、 的任意一点，且 ，点 是线段COABPCE的中点.求证： 平面 .PECACBPEOA图 23应用两条平行线的性质大家知道两条平行线中如果有一条与一个面中的直线垂直,则两条平行线都
3、与平面中的直线垂直. 在三角形中位线与底边平行,可以得到线线平行的关系,平行四边形对边平行也可以得到线线平行,这样的结论很多,我们可以欣赏体会这样的方法.例 3:如图 3 所示, 为 所在平面外一点, 平面 , 为 的中点, 为PABCBCPAGBM的中点, 在 上, ,求证: 平面 .PCNN3MN应用平面图形的几何性质我们都发现在立体几何问题的解决中,平面图形的性质产生了很重要的地位,在学习立体几何的过程中,平面几何的诸多知识点不能推广到三维空间,但同学们要注意平面图形的性质在解决立体几何的时候会发挥很重要的作用.例 4:如图 4 所示,四边形 是边长为 1 的菱形,点 是菱形 所在平面外
4、一点，ABCDPABCD , 是 的中点, 平面 ,求证: 平面 . 60BCDEPABCEABCHN图 3ABCED图 444 如图，在三棱锥 BCD 中， BC AC， AD BD，作 BE CD， 为垂足，作 AH BE 于 求证： AH平面 BCD证明：取 AB 的中点 ，连结 CF， DF ， ACBFAB ， D又 ， 平面 CDF 平面 CDF， 又 ， ， CBEAB 平面 ABE， DH ， ， ，AHCDE 平面 BCD评注：本题在运用判定定理证明线面垂直时，将 问题转化 为证明线线垂直；而证明线线垂直时，又转化为证明线面垂直如此反复，直到证得结论5 如图， 是圆 的直径，
5、 是圆周上一点， 平面 ABC若 AE PC ， 为垂足， 是BPAPB 上任意一点，求证：平面 AEF平面 PBC证明： AB 是圆 的直径， ACB 平面 ABC， 平面 ABC，PA 平面 APCC 平面 PBC， B平面 APC平面 PBC AE PC，平面 APC平面 PBC PC， AE平面 PBC 平面 AEF，平面 AEF平面 PBCAE评注：证明两个平面垂直时，一般可先从 现有的直线中寻找平 面的垂线，即证线面垂直，而 证线面垂直 则需从已知条件出发寻找线线 垂直的关系（2） 【解】平面 PAC平面 ABCD；平面 PAC平面 PBC；平面 PAD平面 PBD；平面PAB平面
6、 ABCD；平面 PAD平面 ABCD2ABCA BC是正三棱柱，底面边长为 a，D，E 分别是 BB，CC 上的一点，BD1a，EC a（1）求证：平面 ADE平面 ACCA ；（2）求截面ADE 的面积5（1） 【证明】分别取 AC、AC 的中点 M、N，连结 MN，则 MNAABB ，B、M 、N、B 共面，M 为 AC中点，BC =B A ，B MA C ，又BMAA且 AAAC =ABM平面 AACC 设 MN 交 AE 于 P，CEAC，PN NA 2a又 DB 21a，PNBDPNBD ， PNBD 是矩形，于是 PDBN，BNBM，PDBMBM平面 ACCA，PD平面 ACCA
7、，而 PD平面 ADE，平面 ADE 平面 ACCA（2） 【解】PD平面 ACCA，PDAE，而 PDBM 23a，AE aS ADE 21AEPD 2463a1、S 是ABC 所在平面外一点，SA平面 ABC,平面 SAB平面 SBC,求证 ABBC.SA CB62、在四棱锥中，底面 ABCD 是正方形，侧面 VAD 是正三角形，平面 VAD底面 ABCD证明:AB平面 VADVD CBA3、如图，棱柱 的侧面 是菱形， ，证明：平面 平面1ABC1BC1BA1ABC17如图，在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，ABAD，ACCD， ABC60，PAABBC，E 是PC 的中点(1)求证：CDAE；(2)求证：PD面 ABE. 4、如图，四棱锥 PABCD中，底面ABCD为平行四边形。 60,2,底面 ABC ，证明：
