必修二立体几何较难题.doc

1、1.四面体 ABCD 四个面的重心分别为 E、F、G 、H，则四面体 EFGH 的表面积与四面体 ABCD 的表面积的比值是（ ）A) B) C) D)271169181如图，连接 AF、AG 并延长与 BC、CD 相交于 M、N ，由于 F、G 分别是三角形的重心，所以 M、N 分别是 BC、CD 的中点，且 AF：AM=AG：AN=2 ：3 ，所以 FG：MN=2 ：3 ，又 MN：BD=1：2，所以 FG：BD=1：3，即两个四面体的相似比是 1：3，所以两个四面体的表面积的比是 1：9；故选 C如图，平面 平面 平面 ，两条直线 l，m 分别与平面 ， 相交于点 A，B，C和点 D，E

2、，F已知 AC15cm，DE5cm ，AB BC13，求 AB，BC，EF 的长设平面 ,A、C,B、D 直线 AB 与 CD 交于 S，若 AS=18,BS=9,CD=34,则CS=?68/3 或 68与空间四边形 ABCD 四个顶点距离相等的平面共有多少个?七个你可以把它想象成一个三棱锥四个顶点各对应一个 有四个，两条相对棱对应一个 共三组相对棱 因此有三个总共有七个如图，在四棱锥 P-ABCD 中，平面 PAD平面 ABCD，ABDC，PAD 是等边三角形，已知 BD=2AD=8， AB=2DC= 。（1）设 M 是 PC 上的一点，证明：平面 MBD平面 PAD；（2）求四棱锥 P-A

3、BCD 的体积解：（1）证明：在 中，由于 ， ， ，所以故又平面 平面 ，平面 平面 ，平面 ，所以 平面 ，又 平面 ，故平面 平面 。C1D1CA1A BDB1（2）过 作 交 于 O，由于平面 平面 ，所以 平面因此 为四棱锥 的高，又 是边长为 4 的等边三角形因此在底面四边形 中， ， ，所以四边形 是梯形，在 中，斜边 边上的高为 ，此即为梯形 的高，所以四边形 的面积为故 。（2008 福建）(6)如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB=BC=2, AA1=1,则 BC1 与平面BB1D1D 所成角的正弦值为 A. B. 63265C. D. 1510AB.（15

4、）如图，二面角 的大小是 60，线段 . ，lABl与 所成的角为 30.则 与平面 所成的角的正弦值是 .ABlAB3419 （本小题满分 12 分）如图，直三棱柱 ABC A1B1C1 中，AC=BC= AA1，D 是棱 AA1 的中点，DC 1BD。2（1）证明：DC 1BC；（2）求二面角 A1BDC 1 的大小。【解析】 （1）在 中， ，RtD得： ，45同理： ，1190DC得： 。又 DC1BD， ，B所以 平面 。DC而 平面 ，所以 。B1（2 ）解法一：（几何法）由 面11,BC1A。A取 的中点 ，连接 ， 。1BO1D因为 ，所以 ，1C1因为面 面 ，所以 面 ，从

5、而 ，O1AB1COBD又 DC1BD，所以 面 ，因为 平面 ，所以 。1C由 ，BDDC 1，所以 为二面角 A1BDC 1 的平面角。BD设 ， ，则 ， ，12AaBa12a2a在直角 ， ， ，1CO1D11CO所以 。 因此二面角 的大小为 。30BA30DA1 B1CA BC1OC1D1CA1A BDB1(2007)2、(北京市西城区 2012 年 4 月高三抽样测试)下列四个正方体图形中， 为正方、体的两个顶点， 分别为其所在棱的中点，能得出 MNP、 、平面 的图形的序号是（ ）/ABA. 、 B. 、 C. 、 D. 、 答案：B3、(吉林省吉林市 2012 届上期末 )三

6、棱锥 PABC 的高 PO=8，AC=BC=3，ACB=30 ，M、N 分别在 BC 和 PO 上，且 CM=x，PN=2CM，试问下面的四个图像中哪个图像大致描绘了三棱锥 NAMC 的体积 V 与 x 的变化关系（ ） （ ）)3,0(x答案：AABCD 是平行四边形,点 P 是平面 ABCD 外一点,M 是 PC 的中点,在 DM 上取一点 G,过 G 和 AP 作平面交平面 BDM 于 GH.求证:APGH.平面 过正方形 ABCD- A1B1C1D1的三个顶点 B,D, A1, 与底面 A1B1C1D1的交线为 L,则 L 与 B1D1的位置关系？如图，正方形 ABCD 与正方形 AB

7、EF 所在平面相交于 AB，在 AE，BD 上各有一点 P，Q，且 AP=DQ。求证：PQ面 BCE4 下列各图是正方体或正四面体，P，Q，R，S 分别是所在棱的中点，则四个点不共面的一个图是( )空间三条直线，其中一条和其他两条都相交，那这三条直线中的两条能确定的平面个数是多少1、 若三条直线只有一个交点，则可以确定一个或三个平面；2、 若这三条直线有两个不同的交点，则可以确定一个或三个平面。3、 若这三条直线有三个不同的交点，则可确定以一个平面。答案：一个或三个线面平行的判定定理证明线面平行的判定定理是：若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。线面平行的定义是

8、：若直线与平面没有公共点，则称此直线与该平面平行。证明：设直线 a直线 b，a 不在平面 内，b 在平面 内。用反证法证明 a。假设直线 a 与平面 不平行，则由于 a 不在平面 内，有 a 与 相交，设a=A。则点 A 不在直线 b 上，否则 ab=A 与 ab 矛盾。过点 A 在平面 内作直线 cb，由 ab 得 ac。而 Aa，且 Ac，即 ac=A，这与 ac 相矛盾。于是假设错误，故原命题正确。 （反证法）例题 2 从正方体的棱和各个面上的对角线中选出 k 条，使得其中任意两条线段所在直线都是异面直线，求 k 的最大值解答 考察如图所示的正方体上的四条线段AC，BC 1，D 1B1，

9、A 1D，它们所在直线两两都是异面直线又若有 5 条或 5 条以上两两异面的直线，则它们的端点相异且个数不少于 10，与正方体只有8 个顶点矛盾故 K 的最大值是 4DB1BD1 C1A1CA练习 1 在正方体的 8 个顶点、12 条棱的中点、6 个面的中心及正方体的中心共计 27 个点中，问共线的三点组的个数是多少解答 两端点都为顶点的共线三点组共有 个；两端点都为面的中心共872线三点组共有 个；两端点都为各棱中点的共线三点组共有 个，6132 1238且没有别的类型的共线三点组，所以总共有 个3149例题 3 在单位正方体 ABCD-A1B1C1D1 的面对角线 A1B 上存在一点 P

10、使得AP+D1P 最短，求 AP+D1P 的最小值解答 将等腰直角三角形 AA1B 沿 A1B 折起至 ，使三角形 与四边形1 1ABA1BCD1 共面，联结 ，则 的长即为 AP+ D1P 的最小值，所以，201cos352A练习 3 已知单位正方体 ABCD-A1B1C1D1 的对棱 BB1、D 1 上有两个动点E、F， BE=D1F= （ ） 设 EF 与 AB 所成的角为 ，与 BC 所成的角0为 ，求 的最小值解答 当 时， 不难证明 是单调减函数因此22()f的最小值为 例十七、 （2000 年全国联赛一试）一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为 ，则这个球的体积是 a

11、分析：由正四面体的图象的对称性可知，内切球的球心必为正四面体的中心，球与各棱相切，其切点必为各棱中点，考查三组对棱中点的连线交于一点，即为内切球的球心，所以每组对棱间的距离即为内切球的直径，于是有：2ra 33424Va练习：同样可用体积法求出棱长为 的正四面体的外接球和内切球的半径分析可知，正四面体的内切球 ROE DCAPrB与外接球球心相同，将球心与正四面体的个顶点相连，可将正四面体划分为四个全等的正三棱锥，于是可知内切球的半径即为正四面体高度的四分之一，外接球半径即为高度的四分之三故只要求出正四面体的高度即可又： ，所以， 222363haa 6,412Rar例二十三、 （1991 年

12、全国联赛一试）设正三棱锥 PABC 的高为 PO，M 为PO 的中点，过 AM 作与棱 BC 平行的平面，将三棱锥截为上、下两个部分，试求此两部分的体积比分析：取 BC 的中点 D，连接 PD 交 AM 于 G，设所作的平行于 BC 的平面交平面 PBC 于 EF，由直线与平面平行的性质定理得：EFBC ，连接AE，AF，则平面 AEF 为合乎要求的截面作 OHPG，交 AG 于点 H，则：OH=PG ；5112BCPDGDGADEFPO故： ；于是： 245APEFBCVS41PEFABCV FEOM DCBA PH G8、如果空间三条直线a ， b， c两两成异面直线，那么与a ， b， c都相交的直线有(A) 0 条 (B) 1 条 (C)多于 1 的有限条 (D) 无穷多条