成考高等数学(二)重点及解析(详细版).doc

1、高等数学（二）重点1成考专升本高等数学（二）重点知识及解析（占 130 分左右）第一章、函数、极限和连续（22 分左右）第一节、函数 （不单独考，了解即可）一、复合函数：要会判断一个复合函数是由哪几个简单函数复合而成的。例如： 是由 ， 和 这三个简单函数复合而成.2lnsiyxlnyu2vsinx例如： 是由 ， 和 这三个简单函数复合而成.3arctearcte3该部分是后面求导的关键！二、基本初等函数：（1）常值函数： （2）幂函数： （3）指数函数： ( 0,ycyxxya)a且（4）对数函数： ( 0,logayx1)且（5）三角函数： ， ， ， ， ，sincstanyxcots

2、ecyxs（6）反三角函数： ， ， ，aryxrorotar其中： （正割函数） ， （余割函数） 1sec 1csinx三、初等函数：由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算，并能用一个解析式表示的函数称为初等函数。他是高等数学的主要研究对象！第二节、无穷小与无穷大 （有时选择题会单独考到，也是后面求极限的基础）一、无穷小1、定义：以 0 为极限的量称 无穷小量。为注意：（1）一个变量否是无穷小量与他的自变量的变化趋势紧密相关。（2）只有 0 能能作为无穷小的唯一常量，千万不能将无穷小与很小的常量混为一谈。例 1： 极限 ，即当 时，变量 是无穷小；21limx1x21x但是当 时，

3、就不是无穷小，因为此时他的极限值不为零。所以表述无穷小时0高等数学（二）重点2必须指明自变量的变化趋势。例 2： 例变量在给定的变化过程中为无穷小的是（ ）.下A、 B、 C、 D、1sinx(0)1xe(0)2ln1x(0)239x3E、 F、 G、 H、1cosx(0)21x(0)21x()sinx(0)答案：选 C、E、F、H ，因为上述选项的极限值均为零！二、无穷大1、定义：当 （或 ）时， 无限地增大或无限减小，则称 是当oxx()fx()fx（或 ）的无穷大。ox注意：（1）无穷大是变量，不能与 的常量混为一谈。很 大（2）无限增大是正无穷大（ ） ，无限减小是负无穷大（ ） 。三

4、、无穷小和无穷大的关系：若 为无穷大，则 为无穷小；若 为无穷()fx1()fx()fx小（ 0） ，则 为无穷大()fx1()fx例如： 当 时， 为无穷小，则 为无穷大。224214x当 时， 为无穷大，则 为无穷小。x1x第三节、极限的运算方法 （重中之重！选择、填空和解答题都会考到） 一、直接代入法：对于一般的极限式（即非未定式） ，只要将 代入到函数表达式中，函数值即是极限值。0x注意：（1）常数极限等于他本身，与自变量的变化趋势无关.即 ， 为任意常limC数（2）求极限时首先考虑用代入法，但是该方法只能针对 的时候，而0x时则不能用代入法，因为 是变量，并非实数！ x例 1： ，

5、 ， ， ，lim41li3xlimglx6lix10lix高等数学（二）重点3例 2： = = =321lim5x321li5x27lim3x例 3： = =0li(sin)xe0lsinxe0例 4： = =23li1x3lix4二、未定式极限的运算法 （重点，每年必考一题！）1、未定式定义：我们把 、 ， ， ， 等极限式称为未定式，因为它们的极限01值是不确定的，可能是无穷小，可能是不为零的常数，也可能是无穷大。注意：确定式是指极限值是确定的一个值，不用通过计算就可以推断出。2、四则运算中常见的几个未定式和确定式（1） ， ， ， 为未定式0000（2） 为未定式， 为未定式， ， 为

6、未定式上述和下述的 都代表无穷小，即极限值为零的量。3、几个重要未定式的计算方法（1）对于 未定式：分子、分母提取公因式，然后消去公因式后，将 代入后函数值即是0 0x极限值。 （对于分子、分母有根号的特殊情况，要先消去根号，然后提取公因式）（2）对于 未定式：分子、分母同时除以未知量的最高次幂，然后利用无穷大的倒数是无穷小的这一关系进行计算。（3）对于 未定式：先通分将 转化成 或 的形式，然后再用上述 或 的00计算方法进行计算。例 1： 计算 . 未定式，提取公因式21limx0解：原式= = = 21lix 1lix2例 2： 计算 . 未定式，提取公因式328lix0解：原式= =

7、22()4)limxx2lim(4)12x高等数学（二）重点4例 3： 计算 . 未定式，先去根号再提取公因式2013limx0解：原式= = = =220()(1)lix x203lim(1)xx203lim1x例 4： 计算 . 未定式，分子分母同除以23li5x3解：原式= = 无穷大倒数是无穷小，因此分子是 0 分母是231limxx02例 5： 计算 . 未定式，先求极限再开三次方32li1n解：原式= = = =32limn32li1n18例 6： 计算 . 未定式，先通分，后计算2214lixx解：原式= = = = =2limx2lix2limxx21lix4注意常用的几个代数

8、转换公式： abab322abab322三、利用两个重要的极限 （重点掌握公式 ，一般考选择、填空）1、公式 ： =1 （把结论记住即可，重点掌握后面的等价无穷小的替换）0sinlmx2、公式 ： = 或 = 1lixxe10limxxe（1）适用范围：一般用于“ ” 未定式的极限式（2）解题方法： 通常用换元法，先将复杂的变量换元成新变量 t，再将原极限式中的变量 新变量 t 的进行代换，然后转化为公式 的形式，最后进行计算。x用 高等数学（二）重点5注意： 于换元时引入了新变量，要求出新变量的变化趋势。由例 1： 计算 . 未定式，先换元然后用公式 求10lim3xx1解解：令 ，得 ，即

9、 将复杂的变量 换元成新变量 tt3txt3x当 时， 求出新变量的变化趋势0x所以原式= = = 转换成新变量的极限式后再用公式求0lim1tt310lite例 2： 计算 . 未定式，先换元然后用公式 求1li2xx1解解：令 ，得 ，即 先换元tt12xt当 时， 求出新变量的变化趋势x0t所以原式= = = =120limtt11200lilim()tt120litte四、利用等价无穷小的代换求极限 （重点、每年必考一题！）1、等价无穷小的定义：设 和 是同一变化过程中的两个无穷小，即limli0如果 =1，称 与 是等价无穷小，记作 .lim例 1： 由公式 可知极限 =1 ，所以当

10、 时， 与 是等价无穷小.0sinlx0xsinx例 2： 当 时，函数 与 是等价无穷小，则 = .x()fta0()l2taxf12、用等价无穷小的代换求极限（1）定理：设 、 、 、 均为无穷小，又 ， ，且 存在 lim则 = 或 limli lili注意：利用等价无穷小的代换求极限能起到简化运算的作用，但是等价无穷小的代换只能对分子、分母的乘除因子进行代换，不能对分子、分母的加减式子进行代换。（2）常用的等价无穷小代换（7 个）：当 时， ， ，0x1cosx2ln(1)x高等数学（二）重点6 ， , , , , , 1xesinxtaxrcsinxarctnx注意：这 7 个等价无

11、穷小务必熟记，是我们做一些极限题目的必备“工具” 。在使用时要注意这 7 个等价无穷小的代换前提是 的时候，代换时也要根据题意要灵活运用！0例 1： 当 时， 2 ， , , 0xsinxtan(3)xarcsin()x2arctn4x,24 ， ， ， cosx21cosx2l(1)x251xe例 2： 极限 = = = 用 2 等价代换0sinlm5x0lix0li5xsin极限 = = 用 等价代换ta3i 3ta3x例 3： 计算 .01cos2linx解：当 时， ， 等价代换x2sinx所以原式= = = 计算20limx0lix例 4： 计算 .0n(13)lisx解：当 时，

12、， 等价代换xsin2x所以原式= = 计算0lim2x0lix例 5： 计算 .01litanx解：当 时， 等价代换x所以原式= = = =01lim2x011li2xx0lim21x= 先去根号，再计算0li1x4第四节、函数的连续性 （每年考一题，都以选择或填空形式出现）一、函数的连续性 （往往考已知函数在某点 处连续，求一个未知量常数）0x高等数学（二）重点71、函数在点 处的连续0x定义：设函数 在 的某范围内有定义，如果函数 满足()f ()fx， 则称 在点 处连续00lim()xfx02、函数在点 处连续的充要条件 00li()lim()xxffx即函数在 既满足左连续又满足

13、右连续（左连续对应左极限，右连续对应右极限）0x，93x0例 1： 设函数 = 在 处连续，求 . （分段函数）()f xk， k解：因为函数 在 处连续，即满足()fx00lim()xf因为 = = = =0limxf093lix0(93li)x0li(93)x16且 = ，所以 = .()fk16， x02e例 2： 设函数 = 在 处连续，求 . （分段函数）()fxk，1cos解：因为函数 在 处连续，()f000lim()li()xxff因为 = ， = ，且 =0limx20lixxke1cos2 (0)f所以 .2k， x0sin例 3： 设函数 = 在 处连续，求 .()fxa

14、，23ax解：因为函数 在 处连续，()fx000lim()li()xxff高等数学（二）重点8因为 = = = ， =0lim()xf0sin2lx0limx20li()xf20lim3)xa且 = ， 所以a注：以上三题均为分段函数，由于数学编辑器问题，大括号打不出来，请同学们自己填加！第二章、一元函数微分学（45 分左右）第一节、导数与微分一、导数的概念 （知道导数的符号如何表示即可）1、导数的表示符号（1）函数 在点 处的导数记作：()fx0， ， 或 0f0xy0xd0()xfd（2）函数 在区间（a,b）内的导数记作：()f， ， 或 (fxydx()f二、求导公式 （重点，是解题

15、的关键，必须记住！）（1） （C 为常数） （2）()0c1()x（3） ， （4） ，lnxa()xeloglna1(l)x（5） （6）(si)cos (cs)ix（7） （8）221taexx22tcsix（9） （10） 2(rcsin) 21(aros)x（11） （12）21atx 2ct例： 1、 = 2、 3、 =3 12xsin60高等数学（二）重点94、 5、 6、 = =(2)lnxlg20lgx10lo1ln0三、导数的四则运算 （必考题型，选择、填空、解答题均有可能出现）1、运算公式（设 U，V 是关于 X 的函数，求解时把已知题目中的函数代入公式中的 U 和V 即可

16、，代入后用导数公式求解.）（1） （2）()uv()uv（3） （ 为常数） （4） C2例 1： 已知函数 ，求 .43cos2yxy解： = = = 43in0x34sinx例 2： 已知函数 ，求 .2()lfx()fe解： = = =()f 2ln21lxxlx所以 =e3ee例 3： 已知函数 ，求 .2()1fx(1)f解： = = =()f 2x2x21所以 = =(1)f20四、复合函数的求导法则 （必考题型，选择、填空、解答题均有可能出现）1、方 法 一：例如 求复合函数 的导数.2sinyx（1）首先判断该复合函数是由哪几个简单函数复合而成的.如 由 和 这两个简单函数复合

17、而成2siyxiu2（2）用导数公式求出每个简单函数的导数.高等数学（二）重点10即 = ， =2dyucosx（3）每个简单函数导数的乘积即为复合函数的导数；注意中间变量要用原变量 替代回去.x所以 =2 =2cosux22、方 法 二（直接求导法）：如果对导数公式很熟悉，对复合函数的过程十分清楚，可以不必写出中间变量而直接对复合函数从外往里求导. 例如 = =22(sin)x2cos()x2cosx例 1： 设函数 ，求 . （用方法一求解）21yy解：该函数是由 和 复合而成，u2且 = = ， = .dyu12dx所以 = = =xu2u21x例 2： 设函数 ，求 . （用方法二求解

18、）1sinxyey解： = = = =sixsix()1sinxeco2x1sinxeco注意：同学们在解题是要结合自己的基础以及对公式的熟练程度选择其中的一种求解方法.五、导数的几何意义 （可能会考到选择、填空）1、导数的几何意义： 在点 处的导数 就是曲线在点 处切线的斜率，()yfx00()fx0x即 = k切 2、切线方程的求法：用点斜式（即已知点和斜率）去求切线方程设函数 ，则该函数在点 处的切线方程为： ()yfx0,xy000yfx例 1： 求函数 在点 处的切线方程.2e(,1)M解：因为 = = = 先求导yxx2xe即 = = = 再求切线斜率，即把 代入导数k切 0x20xe 0x中所以切线方程为： ，即 . 用点斜式求出切线方程1y21yx