成考专升本高等数学(二)重点及解析(精简版).doc

1、1高等数学（二）重点知识及解析（占 80 分左右）、函数、极限一、基本初等函数(又称简单函数)：（1）常值函数： （2）幂函数： （3）指数函数： ( 0,ycayxxya)a且（4）对数函数： ( 0, logayx1)且（5）三角函数： ， ， ，sincstanyxcot（6）反三角函数： ， ， ，aryxrorcotyarx二、复合函数：要会判断一个复合函数是由哪几个简单函数复合而成的。例如： 是由 ， 这两个个简单函数复合而成.lncosyxlnucs例如： 是由 ， 和 这三个简单函数复合而成.3arteartyve3x该部分是后面求导的关键！三、极限的计算1、利用函数连续性求极

2、限（代入法）：对于一般的极限式（即非未定式） ，只要将代入到函数表达式中，函数值即是极限值，即 。0x 00lim()xfx注意：（1）常数极限等于他本身，与自变量的变化趋势无关，即 。 liC（2）该方法的使用前提是当 的时候，而 时则不能用此方法。0xx例 1： ， ， ， ， lim4x1li3xlig2l6ix例 2：220li 10x例 3： （非特殊角的三角函数值不用计算出来）2tan(1)ta()li tnx2、未定式极限的运算法（1）对于 未定式 ：分子、分母提取公因式，然后消去公因式后，将 代入后函数值即是0 0x极限值。2例 1： 计算 . 未定式，提取公因式239limx

3、0解：原式= 33()lili()6xx例 2： 计算 . 未定式，提取公因式21lix0解：原式= = = 21limx1lix2（2）对于 未定式：分子、分母同时除以未知量的最高次幂，然后利用无穷大的倒数是无穷小的这一关系进行计算。例 1： 计算 未定式，分子分母同时除以 n23li1n解：原式 无穷大倒数是无穷小02lim3n例 2： 计算 . 未定式，分子分母同除以231li5x3x解：原式= = 无穷大倒数是无穷小，因此分子是 0 分母是23lim1xx023、利用等价无穷小的代换求极限（1）定义：设 和 是同一变化过程中的两个无穷小，如果 =1，称 与 是等价lim无穷小，记作 .

4、（2）定理：设 、 、 、 均为无穷小，又 ， ，且 存在 li则 = 或 limli lili（3）常用的等价无穷小代换：当 时， , 0xsnxtax例 1： 当 时， 2 ， 0xsinta(3)例 2： 极限 = = = 用 2 等价代换0li5x0lx0li5x sin例 3： 极限 = = 用 等价代换ta3mita3x3、一元函数的微分学一、导数的表示符号（1）函数 在点 处的导数记作：()fx0， 或 0f0xy0xdy（2）函数 在区间（a,b）内的导数记作：()f， 或 fxydx二、求导公式 （必须熟记）（1） （C 为常数） （2）()0c1()x（3） （4）xe l

5、n（5） （6）(sin)cos (cos)ix（7） （8） 21arix21artn例： 1、 = 2、 3、 =3212xsin604、 5、 6、 0232x 1x三、导数的四则运算运算公式（设 U，V 是关于 X 的函数，求解时把已知题目中的函数代入公式中的 U 和 V 即可，代入后用导数公式求解.）（1） ()uv（2） 特别地 （ 为常数） ()Cu（3） 2()v例 1： 已知函数 ，求 .43cos2yxy4解： = = = y 43cos2xx34sin0x34sinx例 2： 已知函数 ，求 和 .()lf()f(fe解： = = =()fx 22lnx21lxlx所以

6、= （注意：lne=1,ln1=0） e3ee例 3： 已知函数 ，求 .2()1fx()fx解： = = =()f 2x21x21四、复合函数的求导1、方 法 一：例如 求复合函数 的导数.2sinyx（1）首先判断该复合函数是由哪几个简单函数复合而成的.如 由 和 这两个简单函数复合而成2siyxiu2（2）用导数公式求出每个简单函数的导数.即 = ， =2duco（3）每个简单函数导数的乘积即为复合函数的导数；注意中间变量要用原变量 替代回去.x =2 =2yxxcosu2x2、方 法 二（直接求导法）：复合函数的导数 等于 构成该复合函数的简单函数导数的乘积。如果对导数公式熟悉，对复合

7、函数的过程清楚，可以不必写出中间变量而直接对复合函数从外往里求导.例 1： 设函数 ，求 .cos(3)yxy解： = = = =xin(3)xsin()x3sin()x例 2： 设函数 ，求 . lxyey解： = = =lnxl()1lnxe注意： 一个复合函数求几次导，取决于它由几个简单函数复合而成。五、高阶导数51、二阶导数记作： ， 或 y()fx2dy我们把二阶和二阶以上的导数称为高阶导数.2、求法：（1）二阶导数就是对一阶导数再求一次导（2）三阶导数就是对一阶导数求两次导，对二阶导求一次导例 1： 已知 ，求 .5sinyxy解： = ， =cosix例 2： 已知 ，求 .2x

8、ye0xy解： = = ， =2 =422xe2xe即 =0xy4六、微分的求法：（1）求出函数 的导数 .()yfx()fx（2）再乘以 即可.即 .dd例 1： 已知 ，求 .2lnyxy解： = = = = 212x =dyx例 2： 设函数 ，求 .4cosxdy解： = =y 34cosinx =d34csinxx6、二元函数的微分学一、多元函数的定义：由两个或两个以上的自变量所构成的函数，称为多元函数。其自变量的变化范围称为定义域，通常记作 。D例如：二元函数通常记作： ， (,)zfxy,二、二元函数的偏导数1、偏导数的表示方法：（1）设二元函数 ，则函数 在区域 D 内对 和对

9、 的偏导数记为：(,)zfxyzxy， ， ； ， ，zx(,)fyx y(,)fyz（2）设二元函数 ，则函数 在点 处对 和对 的偏导数记为：(,)zfyz0,x， ， ； ， ， ； 0,xyz0,xf0,xy0,xy0,yf0,yxz2、偏导数的求法（1）对 求偏导时，只要将 看成是常量，将 看成是变量，直接对 求导即可.（2）对 求偏导时，只要将 看成是常量，将 看成是变量，直接对 求导即可.yxyy如果要求函数在点 处的偏导数，只要求出上述偏导函数后将 和 代入即可.0,y 0x例 1： 已知函数 ，求 和 .32zzxy解： = ， =zx23yz34例 2： 已知函数 ， 求

10、和 .2sinzxyxzy解： = ， =xi2cos三、全微分71、全微分公式：函数 在点 处全微分公式为：(,)zfxy(,)zdxdy2、全微分求法：（1） 、先求出两个一阶偏导数 和 . （2） 、然后代入上述公式即zxy可.例 1： 设函数 ，求 .2sin()31zxydz解： = ， = xco6zcos()xy s()s()1zddydxdy 例 2： 设函数 ，求 .2xyez解： = ， = zxy2xy 22xyxyzdxded四、二阶偏导的表示方法和求法：（1） = = = 两次都对 求偏导()zx2(,)xfyxzx（2） = = = 先对 求偏导，再对 求偏导()y

11、2(,)xyfxy y（3） = = = 先对 求偏导，再对 求偏导()zx2(,)yxfyxzyx（4） = = = 两次都对 求偏导()y2(,)yfy可见二元函数的二阶偏导共四种，它们都是 的函数。在求二阶偏导的时候一定要注意,x对变量的求导次序（写在符号前面的变量先求偏导）.例 1： 设函数 ，求 ， ， 和 .3231zxyy2z2y2zx2y解： = ， =23z329x得 = ， = ， = ， =2zx26yzx261y2zyx261y2z318xy8例 2： 设函数 ，求 ， .coszyx2z2xy解： = 得 = ， =xin2cos2zsinx、一元函数的积分学一、原函

12、数的定义：设 是区间 I 上的一个可导函数，对于区间 I 上的任意一点 ，()Fx x都有 ，则称 是 在区间 I 上的一个原函数.()Fxff例 1： ，因此 是 的一个原函数， 是 的导数.sincosinxcoscosxin由于 ，可见只要函数有一个原函数，那么他的原函数就有无穷多个.()例 2： 设 的一个原函数为 ，求 .fx1x()f解：因为 是 的一个原函数，即 = ，所以 = = = .1()f F1x()fFx12x得 = = （注： ）()fx23x1二、不定积分（一） 、定义：我们把 的所有原函数称为 在区间 I 上的不定积分，记作：()fx()fx（其中 ）()()fx

13、dFCFf注意：不定积分是原函数的的全体，因此计算结果常数 C 勿忘！（二） 、不定积分的性质1 ()()()fxgdfxgdx2 （其中 为常数）kk（三） 、基本积分公式 （和导数公式一样，必须熟记）1 2 （k 为常数）0dxC kdxC3 4 1(1)1ln95 6 xxedC cosinxdC7 8 sincos2arcsi1x9 2art1dxx例 1： 3C2sin-cosxdxC4xd 21例 2： （利用换元法，设 ）3322tantantuxdC tanxu又如： 1coslncosxx 32lldC（四） 、不定积分的计算1、直接积分法：对被积函数进行恒等变形，并用积分性

14、质和积分公式进行积分的方法。例 1： = = =2xd421xdx42xd532x例 2： 31(sin)sin3coslnC2、凑微分法（1）适用前提：如果被积函数是两个函数相乘（或相除）或者被积函数是复合函数（通常为较为简单的复合函数）的情况，此时可以考虑用凑微分法。（2）凑微分法解法步骤1凑微分 2换 元 3直接积分法 4反换元例 1： 求不定积分 2cosxd解：原式= = （1.凑微分）将 凑成212x xd21x= （2.换 元）将 换元成csu 2u= （3.直接积分法）求出 的不定积in2C分= （4.反换元） 再用 反换元 1six u2x10例 2： 求不定积分2lnxd解

15、：原式= （1.凑微分）将 凑成2l() 1dxln= （2.换 元）将 换元成ud lu= （3.直接积分法）求出 的不定积分3C= （4.反换元） 再用 反换元3lnx ulnx例 3： 求不定积分 32xed解：原式= （1.凑微分）将 凑成1() dx1(32)= （2.换 元）将 换元成3ue u= （3.直接积分法）求出 的不定积分C= （4.反换元） 再用 反换元321xe u32x注意：凑微分 时要注意凑完微分后前后变量要统一！如果能熟练掌握换元过程，此时就可以不必写出中间变量，而直接进行积分。例 4： = = （将 凑成 ）3sincoxd3sinx4sinxCdx132x例 5： = = （将 凑成 ）21x221()x321xx21x3、分部积分法 （考到概率为 40 左右，要了解的可参考重点解析 “详细版 ”）三、不定积分（一） 、定积分的定义：由曲边梯形的面积引出定义公式A= （A 为曲边梯形的面积）()bafxd其中 为被积函数， 为积分区间， 为积分下限， 为积分上限。()fx,ab用定积分所要注意的事项：