换元法在中学数学解题中的应用及推广.docx

1、目 录1. 引言 .2一、换元法研究的背景 .2二、换元法研究的意义 .2三、换元法研究的方法 .32. 换元法的发展脉络 .33. 换元法的概念 .44. 换元法在中学解题中的应用 .5一、换元法在方程中的应用 .5二、换元法在方程组中的应用 .7三、换元法在不等式中的应用 .7四、换元法在数列中的应用 .8五、换元法在复数中的应用 .9六、换元法在函数和三角函数中的应用 .105. 换元法在中学解题中的常见错误 .13一、“元”与“新元”选择不合理； .13二、将复合函数与原函数混淆； .14三、换元后没有确定新元的取值范围或者错误的确定新元的范围； .156. 结论 .15参考文献 17

2、致谢 181换元法在中学数学解题中的应用及推广王秀芳（闽江学院 数学系；福建 福州 350108）1. 引言近年来，随着数学思想越来越受到重视，关于换元法研究也取得了新的进展. 本文研究换元法在中学解题中的应用及其推广.首先给出了换元法的概念整理了换元法的发展脉络，然后着重讲换元法在中学解题中的具体应用以及在应用的过程中常见的错误分析，最后阐述换元法在生活中的推广.一、换元法研究的背景数学课程标准中谈及数学的学习要使学生能够熟练把握当代生活所必要的数学的常识与技能，思想与活动的经历.对数学问题的理解认识与思考，学会须要的数学思维方式是数学解题必不可少的.对生活也是有需要的.中学中常用的数学解决

3、问题的方法有很多，例如:待定系数法，数学的不完全归纳法，类比的方法，配方法，换元法等，每一种方法都是必不可少的，其中换元法更是起着举足轻重的地位，采用换元法能够化繁为简使得看似不能解决的问题变得可以操作.二、换元法研究的意义学会换元法的使用是素质教育的一项内容.我们都知道素质教学是针对全体的学生，并且是促进学生全方面成长的一种教育，而不是传统教育下的死记硬背、复制、模仿，不是为了应试教育而学习数学，数学不是只存在数学课堂.推行和实施素质教育是要在愉快教育的教学环境下突破过于强调分数，应试教2育的围墙学习数学，做到学懂会用、学以致用，更重要的是将数学课堂学习到的数学方法迁移到其他学科，社会生活和

4、解决实际问题当中去.换元法是培养学生能力的需求.换元法不仅是一种方法更渗透的是一种数学思想.在心理学知识的理论内，思想活动是存在于元认知领域.它对整个认知活动起着计划、监督控制、适当的调整的作用.让人们能够意识到在学习活动中我们缺乏什么然后就去提高什么，对学生能力的培养起着指导引领的作用.三、换元法研究的方法文献研究法：查找国内外有文献，通过对不同专家学者文献的分析比较不同国家、不同领域对换元法的不同观点，作为本文的理论基础.2. 换元法的发展脉络1944年美国国籍，匈牙利的伟大教育家乔治波利亚怎样解题.被翻译成16中文字，销售量爆表.著名的瓦尔登是一位伟大的数学家，他曾经在瑞士的苏黎世大学主

5、办的会议中说到：“每个大学生，每个学者，特别是每个老师都应该读一读这本引人入胜的数.”读后发现波利亚关于怎样解题深入的研究想法非常棒，特别是书中提及的解题思想对于广大的中学生都是非常有实用价值的.1969年，日本著名数学家米山国藏的数学的精神、思想与方法.以启发性的实例为主要依据，系统地阐述了换元法在解题，探究“元”的数学思考.1975年，希拉里普特南(H.Hilary Putnam，1926)，美国逻辑学家、科学哲学家发表的数学、物质与方法美国教育部、美国数学会和全美数学教师联合会等组织举办的美国数学邀请赛，美国中学生数学竞赛.加拿大、瑞士、前苏联各国举办的数学奥林匹克竞赛.奥林匹克数学竞赛

6、，把中学生的数学竞赛命名为“数学奥林匹克“的是前苏联，采用这一名称的原因是数学竞赛与体育竞技有着许多相似之处，两者都崇尚奥林匹克运动精神.竞赛的成果使人们意外地发现，数学竞赛的强国往往也是体育竞技的强国，这给了人们一定的启示.1994年，厦门海沧实验中学校长、党总支书记肖学平.从事数学教学与研究工作，荣获“苏步青数学教育奖” ，从事教育科学研究，出版了中学数学的基3本思想和方法等四部专著，发表了30余篇论文.被评为福建省优秀校长，使学校实现了跨越式发展，快速成为省一级达标学校.联系我国中学数学教育给出许多优秀的例子.汪祖亨在1996年编写的数学常用解题方法与技巧不仅总结出一系列的换元方法，并探

7、讨了结合中学数学教学如何进行应用.解恩泽、徐本顺主编的数学思想方法 ，欧阳维诚、肖果能及张矗 合写的初等数学思想方法选讲中，则对换元法这一思想方法进行了较为系 统的归纳阐述，为中学数学教学校本教研提供了很好的课例研究.李明振在2000年发表的数学方法与解题研究 ，也是把换元法与数学教育紧密结合在 一起的论著.有关换元法解题的专题文章(如用换元法证明不等式，求函数的值 域，因式分解等等)也相继发表在“中学生数学” 、 “数学通报” 、 “高中数 学教与学”等各种数学杂志、报纸、期刊上.随着全国仞、高中数学竞赛的开展，换元思想方法的应用越来越多，一些竞赛试题也被纳入了中学生课外辅导的材料.3. 换

8、元法的概念表示未知数、变数的字母统称为“元”.广义地说，表示研究对象(如常数、代数式、函数、命题、集合、向量等)的文字符号都可以称为“元”.解数学问题，碰到直接解原问题很困难不易下手的，或者由原问题的条件难以直接得出结论的时候，往往需要引入一个或几个“新元”代换问题中原来的“元” ，使得以“新元”为基础的问题的求解比原来的问题容易，解决“新元”问题以后将结果倒回去恢复原来的“元” ，便可得原有问题的结果.这种解决问题的方法称为换元法，又称辅助元素法、变量代换法.换元法的基本思想是通过变量代换，化繁为简，化难为易，使问题发生有利的转化，从而更为简单快速的解决原来的问题.故换元的实质就是转化与化归

9、. 在中学数学教学活动过程中，教师要有意识的培养学生解决问题的时候灵活的使用换元法.要针对不同的题型，不同的问题来确定原题中的“元” ，然后适当的选择最有效的“新元” ，两者之间建立联系.由于“元”的存在形式有很4多，故在“新元”的选择上是灵活多变和相对复杂的.但是在转换的这个过程中，有三个特点是很明显与确定的.第一， “新元”的存在使得新问题会比原要解决的疑问来的容易，是我们经常在用的并且能够借助旧的知识解决新的实际问题的.第二， “新元”得到的新问题是在旧问题的基础上一般化或者是特殊化得来的，而不是凭空产生于原有问题没有关联的.第三，为了找到这样的“新元” ，我们要对原有的问题进行转换，当

10、然也可以对条件换元或者是对结论换元（这主要是应用在逻辑命题的相关知识上）.4. 换元法在中学解答问题中的应用一、换元法在方程中的应用例题1.（第一届国际数学竞赛题第2题）x取何值时满足以下方程：（1） ；+21+21= 2（2） ；+21+21=1（3） ；+21+21=2解： （1）将 看成“元” ，用“新元”y代替它，即 则原21 21=方程转化为： |+1|+|1|=2需要引起重视的是换元后的得到新方程的变化范围是： ，11又 ， =210， 0211解得这个不等式的解为：121故，当 时，方程 成立121 +21+21= 2（2）将 看成“元” ，用“新元”y代替它，21即 则原方程转

11、化为： ，21= |+1|+|1|= 2得到的关于“新元”的方程是无解的，故原来方程也是无解.（3）将 看成“元” ，用“新元”y代替它，即 则原方程转化21 21=为：|+1|+|1|=225当 时，新元方程可以化为 ，即 ；1 =4 =4当 时，新元方程可以化为 ，即 ；1 =4 =4当 时，新元方程化为 ，明显无解10 （ 21） 2(1)2（ 2+8）72故， ；即原不等式解得：01+272 12458例题6.如果 ，且满足 ，请证明：+=1 0， ， 1.+3分析：例题4是代数之间的换元，这一题由于 ，即符合了三0， ， 1角函数值域取值的范围，故可以尝试做三角代换.证明：令 ，其中

12、有=2， =22， =22， 0， 2；则有： +=2+22+22=+=+(+)=+ 2(+4)+ 2= 3sin(+)3故，原命题得证.四、换元法在数列方面的应用例题7.已知数列 由循环公式构成，其中 求 的1=1， +1=116(1+4+ 1+24) =1， 2， 3， ， 通项公式是什么？解： 将 看成“元” ，用 为“新元”替换，既有 ；1+24 1+24=则有 =124（ 21）由此可得： 1=1， 2=58， 3=1532， 4=51128， ，8既有： 1=5， 2=4， 3=312， 4=314， ，根据前面几组的数据可以猜测含有“新元”数列 为： 的通 项 公式=3+(12)

13、2接下来用数学归纳的方法去证明，之后还要还原成原数列（证明略）.例题8.已知在数列 中，求数列 的通1=1， 1+22+33+44+=+12+1() 项公式 .解： 将 看成“元” ，用 “新元” 替换，设 ； =则有 的前n项和为：=1+2+3+4+=12(+1)+1=12+1由 =1=12+112故，32=12+1既有， ，且 ；+1=3 1=1=1所以 ；=3(2)故，当 ，=232 (2) 1=1五、换元法在复数中的应用复数及其运算不仅具有三角函数的式样、代数的形式而且还有几何意义，因此运用复数能够处理很多看似复杂的数学难题与偏题.灵活转化为恰当有效的复数，把一些实数看成某些复数的虚数

14、部分或者是实数部分，然后就可以用复数的相关知识与运算去解决问题.例题9.已知a，b，c均为大于0的数，求函数的最小取值为多少？y=2+2+ ()2+2解： 可以设 1=+， 2=（ ） +b， 且 ， ， 均大于 0 1+2=+(+)， 且 1， 20；9又 ； |1| = 2+2， |2| = ()2+2， |1+2| = (+)2+2根据性质 |1|+|2|1+2|， （ 1， 2同向 时 等号成立 ） + ；2+2 ()2+2(+)2+2所以，当 同向时，即有 ， ；1， 2= (+)2+2例题10.设复数 满足 ，其中A是不等于零的复数，1和 2 12+1+2=0请证明：（1） |1+

15、|2+|=|2；（2）1+2+=|1+2+|；分析：如果这一题按照常规方法设：1=1+1， 2=2+2， =+， （ 1， 1， 2， 2， ， ） ；转化为实数上的问题，那么会因为出现的字母太多运算复杂书写不变等种种原因最终放弃.但是如果学生很好的掌握了换元的方法，用整体代换的方法，设则：=1+， =2+，已知条件便转化为： =|2；要证明的结论也相应的转化为：（1） ，|=|2=|那么此时的计算量就小多了（往下步骤省略） ；六、换元法在三角函数和函数中的应用利用换元的方法可以将复杂的三角函数的问题转换成二次函数的问题.接着利用熟悉的二次函数的相关性质和方法处理，最后记得将所得的结果代回到原有问题中.这类方法在高中考试中被经常用到.例题11.已知函数 ，求 的值.f()=25+3324+12 f(1 2)解： 方法一：将“元”x用“新元” 替换，则有：1 2；f(1 2)=2(1 2)5+3(1 2)3(1 2)24(1 2)+12