1、排列组合基础知识1、两大原理1.加法原理（1）定义：做一件事，完成它有 类方法，在第一类方法中有 中不同的方法，n1n第二类方法中有 种不同的方法.第 类方法中 种不同的方法，那么完成这件2nn事共有 种不同的方法。nN.1（2）本质：每一类方法均能独立完成该任务。（3）特点：分成几类，就有几项相加。例 1. 从甲地到乙地，可以乘动车，也可以乘汽车；一天中动车有 3 班，汽车有 2班，那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种方法？如上图，从甲地到乙地共有 3+2 种方法。2.乘法原理（1）定义做一件事，完成它需要 个步骤，做第一个步骤有 中不同的方法，做n1m第二个步骤有 种不同的方
2、法.做第 个步骤有 种不同的方法，那么完成这件2mn事共有 种不同的方法。nN.1（2）本质：缺少任何一步均无法完成任务，每一步是不可缺少的环节。（3）特点：分成几步，就有几项相乘。例 2. 从甲地到乙地，要先从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地，一天中火车 2 班，汽车 3 班。那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的方法？解：由上图可知共有的可能路线为：火车 1汽车 1，火车 2汽车 1火车 1汽车 2，火车 2汽车 2火车 1汽车 3，火车 2汽车 3所以共有 种方式。8422、排列组合1.排列（1）排列的定义：从 个不同的元素中，任取 个（ ）元素，按照一定的顺nmn序排成
3、一列，叫做从 个不同的元素中取出 个元素的一个排列。（2）使用排列的三条件 个不同元素；n任取 个；m讲究顺序。2.组合（1）组合的定义：从 个不同的元素中，任取 个（ ）元素并为一组，叫做nmn从 个不同的元素中取出 个元素的一个组合。n（2）使用三条件 个不同元素；任取 个；m并为一组，不讲顺序。排列与组合的共同点：都是“从 个不同元素中任取 个元素”；nm排列与组合的不同点：排列与元素的顺序有关系，而组合与元素的顺序无关。也就是说：组合是选择的结果，而排列是选择后再排列的结果。3 排列数的定义：从 个不同的元素中，任取 个（ ）元素所有排列的个数，n叫做从 个不同的元素中取出 个元素的排
4、列数，记为 。nmmA例 1. 从甲、乙、丙三个中任取 2 个人分别参加明天上午和下午的比赛。问共有多少种方式？解：由上图可知，共有 6 种方式。需要注意：此题相当于从 3 个不同的元素中任取 2 个元素，并按一定的顺序排列，所有共有的排列数为 ，即 ，其中上标 2 是相乘的项数，下标是相2A2乘中的最大那一项 3，而且之后的每项总是比前一项少 1。例 2. 从 a, b, c, d 四个元素中任取 2 个排成一列共有多少种可能？解 所以的可能排列为： ab, ba, ac, ca, ad, da,bc, cb, bd, db, cd,dc. 共有 12 种，即，其中上标 2 是相乘的项数，下
5、标是相乘中的最大那一项 4，而且之4124A后的每项总是比前一项少 1。例 3. 从 a, b, c, d 四个元素中任取 3 个排成一列共有多少种可能？解 所以的可能排列为：abc, acb,bac,bca,cab, cba,abd, adb, bad, bda, dab,dba,acd, adc, cad, cda, dac,dca. bcd,bdc,cbd,cdb,dbc,dcb共有 24 种，即 ，其中上标 3 是相乘的项数，下标是相乘中的最23434A大那一项 4，而且之后的每项总是比前一项少 1由上面的规律可以得出下面排列数的计算公式，其中上标 表示相乘的项数，)!()1).(2(
6、1mnnAmn 其中 。!尤其： 。!,10Ann5 组合数的定义：从 个不同的元素中，任取 个（ ）元素所有组合的个数，n叫做从 个不同的元素中取出 个元素的组合数，记为 。mC例 4. 从甲、乙、丙三个中任取 2 个人参加某项比赛。问共有多少种方式？解：可能的组合为：甲乙，甲丙，乙丙。所以共有 3 种需要注意：此题相当于从 3 个不同的元素中任取 2 个元素并成一组，所有共有的组合数为 ，即 。这个结果与例 1 比较发现23C23。21A例 2. 从 a, b, c, d 四个元素中任取 2 个并成一组，共有多少种可能？解 所以的可能排列为：ab, ac, ad, bc, bd, cd.
7、共有 6 种，即 。这个结果与例624C2 比较发现。244136AC例 6. 从 a, b, c, d 四个元素中任取 3 个并成一组，共有多少种可能？解 所以的可能排列为：abc, abd, acd, bcd。共有 4 种，即 。这个结果与43C例 3 比较发现。34412AC由上面的规律可以得出下面组合数的计算公式 ).(1mnnm尤其： mnnC,10我们这本书用 表示 。m下面 3 题要求学解题过程1.甲、乙、丙、丁 4 支足球队举行单循环赛，(1) 列出所有各场比赛的上方；（2）列出所有冠军的可能情况。2.由 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字的五位奇数？A.226 B.246 C.264 D.2883.旅行社有豪华游 5 种和普通游 4 种，某单位欲从中选择 4 种，其中至少有豪华游和普通游各一种的选择有（）种。A.60 B.100 C.120 D140
