补充构造异面直线所成角的几种方法.doc

1、第 1 页一. 异面直线所成角的求法1、正确理解概念（1）在异面直线所成角的定义中，空间中的点 O 是任意选取的，异面直线 和 b 所成角的大小，与点 Oa的位置无关。（2）异面直线所成角的取值范围是（0， 902、熟 练掌握求法（1）求异面直线所成角的思路是：通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的相交直线，进而利用平面几何知识求解，整个求解 过程可概括 为：一作二证三计算。（2）求异面直线所成角的步骤：选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条成 为相交直线， 这里的点通常选择特殊点。求相交直线所成的角，通常是在相 应的三角形中进行计算。因为异面直线所成的角 的范围是 0 90，所以在三角

2、形中求的角为钝角时， 应取它的补角作为异面直线所成的角。3、“补形法”是立体几何中一种常 见 的方法，通过补形，可将问题转化 为易于研究的几何体来处理，利用“补形法 ”找两异面直 线所成的角也是常用的方法之一。例 1 如图，长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AA 1=AB=2，AD=1，点 E、F、G 分别是 DD1、AB、CC1 的中点， 则异面直线 B1E 与 GF 所成角的余弦是 。EF1A1ABCDGEF1A1BCABDG第 2 页例 2 已知 S 是正三角形 ABC 所在平面外的一点，如图 SASBSC，且 ASB BSC CSA 2，M、N 分别是 AB 和 SC 的中点求异面

3、直线 SM 与 BN 所成的角的余弦 值例 3 长方体 ABCDA1B1C1D1 中，若 AB=BC=3，AA1=4，求异面直线 B1D 与 BC1 所成角的大小。BMANCSBMANCSBMANCS第 3 页例 4 如图， 平面 ， 且 ，则异面直线 PB 与 AC 所成角PABC90APACBa的正切值等于_ 练习：1.在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M 和 N 分别为 A1B1 和 BB1 的中点，那么直 线 AM 与 CN 所成角的余弦值是( )3032)()()255A2.如图， A1B1C1ABC 是直三棱柱(三侧面为矩形)，BCA=90 ，点 D1、F1 分

4、别是 A1B1、A1C1 的中点 若BC=CA=CC1，则 BD1 与 AF1 所成角的余弦值是( ) 30305()()21510BC3.正方体 ABCDA1B1C1D1 中，直线 BC1 与 AC (A)相交且垂直 (B)相交但不垂直 (C)异面且垂直 (D)异面但不垂直4.设 a、b、c 是空间中的三条直线，下面给出四个命题： 如果 ab、bc，则 ac； 如果 a 和 b 相交，b 和 c 相交，则 a 和 c 也相交；如果 a、b 是异面直线，c、b 是异面直 线， 则 a、c 也是异面直线；如果 a 和 b 共面，b 和 c 共面，则 a 和 c 也共面(第 2 题)F1ABCD1

5、C1A1B1B1(第 1 题)A1A BC1D1CDMN第 4 页NMFED CBA在上述四个命题中，真命 题的个数是 ( ) (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 (E)05.如果直线 l 和 n 是异面直线，那么和直线 l、n 都垂直的直线 (A)不一定存在 (B)总共只有一条 (C)总共可能有一条，也可能有两条 (D)有无穷多条6.如图，四面体 SABC 的各棱长都相等，如果 E、F 分别为 SC、AB的中点，那么异面直线 EF 与 SA 所成的角等于(A)90 (B)60 (C)45 (D)307右 图是正方体的平面展开图，在这个正方体中， BM 与 ED 平行； CN 与 BE 是

6、异面直线；CN 与 BM 成 角；DM 与 BN 垂直60以上四个命题中，正确命 题的序号是 （ ）（A） （B） （C） （D） 8如 图，四面体 ABCD 中，AC BD,且 AC4， BD3， M、N 分别是 AB、CD 的中点， 则求 MN 和 BD 所成角的正切值为 。9异面直线 a、b 成 60，过空间一点 P 的直线 c 与 a、b 成角都为 60，则这样的直线 c 有 条。10异面直线 a、b 成 60，直 线 ca，则直线 b 与 c 所成的角的范围为 （ ）（A）30，90 （B）60，90 （C）30，60 （D）60，12011.如图，正三棱柱的九条棱都相等，三个侧面都

7、是正方形， M、N 分别是 BC 和 A1C1 的中点 求 MN 与 AB1所成角的余弦值。12.如图，四面体 ABCD 中，E 为 AD 中点，若 ACCDDA 8， ABBD 5， BC7，求 BE 与 AC 所成角的余弦值。FABCES(第 6 题)AB CDM(第 8 题)N438ABC DE(第 12 题)785445(第 11 题)MABCN C1A1B1第 5 页二.共面、共线、共点问题共点问题:证明线共点，就是要 证明这些直线 都过其中两条直线的交点解决此类问题的一般方法是：先证其中两条直线交于一点，再 证该点也在其他直 线上共线问题:证明点共线，常常采用以下两种方法： 转化为

8、证明这些点是某两个平面的公共点，然后根据公理 3证得这些点都在这两个平面的交线上；证明多点共线问题时，通常是 过其中两点作一直线，然后 证明其他的点都在这条直线上共面问题:证明空间的点、 线 共面问题，通常采用以下两种方法：根据已知条件先确定一个平面，再证明其他点或直线也在这个平面内；分别过某些点或直线作两个平面，证明这 两个平面重合1.如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中， E 为 AB 中点，F 为 A1A 的中点.求证：（1）E、 C、D1、F 四点共面；（2）CE、D 1F、DA 三线共点。2. 如 图 ， ， ， ， ， 求 证 ： 、 、ABCDDACEBD 三点共线。

9、练习：1. 共点的四条直线最多能确定 个平面。2. 空间四点中，若任意三点不共线 ，那么 经过三点的平面有 个。3. 已知平面 平 面 ， 点 、 ， 点 且 ，lABClABlR，设过 A、B、C 三点的平面为 ，则 是（ ）A. 直线 AC B. 直线 BC C. 直线 CR D. 以上全错4. 已知ABC 三 边 AB、BC、CA 分别交平面 于 P、Q、R，求证：P、 Q、R 共线。5. 如果ABC 和A 1B1C1 不在同一平面内，且 AA1、BB1、CC1 两两相交，求证：三直线 AA1、BB1、CC1 交于第 6 页A BCDA1 B1C1D1A BCDPQOA BCDA1 B1

10、C1D1MBNA BCDA1 B1C1D1MBNEBFEBA BCDPQOA BCDA1 B1C1D1EFG一点。三.平行问题1、“线 线”的证明：/(1)平行四边形法：如图,在正方体 中, 由 ,1ABCD1ABDC 得四边形 为平行四边形,于是 ；11/(2)中位线法：如图,四棱锥的底面 ABCD 为平行四边形,点 Q 是 PC 的中点 ,则由 OQ 是 PAC 的中位线,得到 OQ/PA；(3)“线 面” 平行法：如图,若 平面 ABCD,/1/BC过 的平面交平面 ABCD 于 MN,则 MN；1BC1/(4)“面 面” 法：如图,若平面 平面 ABCD,/1/ABCD平面 与平面 、

11、平面 ABCD 分别交于 EF、MN,1则有 EF MN;/(5)“平行线分线段成比例定理的推论”：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。如图，在正方体 中， E，F 分别为面对角1ABCD线 D1B1，A1B 上的动点，且 D1E= A1F，则 1,B，故 ，所以1EG又1EF/GB。 E第 7 页A BCDA1 B1C1D1MBNA BCDA1 B1C1D1MBNA BCDABCDEFA BCDABCDEF2、“线 面”的证明：/(1)“线 线” 法：如图,Q 为 PC 的中点，则 ,所以 平面 PAD；/OQAP/(2)“面 面” 法：/如图,若 平面

12、 ABCD,直线 MN 在平面 ,1/ABCD1BCD则 MN 平面 ABCD；/3、“面 面”的证明：“线 面 ”法：如图 ,在平面 上找到两条相交直线/1MN、 均平行于平面 ABCD,则有平面 平面 ABCD；1MC1ABCD/例题分析：1 ，则 与 的位置关系（ ）/,baaA平行 B异面 C相交 D以上情况均有可能2 ， 是两条不相交的直 线，则过直线 且平行于 的平面（ ）baA有且只有一个 B至少有一个 C至多有一个 D以上答案都不对3、已知正方体 ABCD-ABCD中，E， F 分别是 AB，BC的中点。求证：EF 面 ADC。 4、如 图，已知矩形 ABCD 所在平面外一点

13、P，E、F 分别是 AB, PC 的中点 ，求证：EF平面 PAD；CBDAPEFCBDAPEF第 8 页A11ED1C1B1DCBA_P_B_A_N_M_E_D_CA11ED1C1B1DCBA_P_B_A_N_M_E_D_C_P_B_A_N_M_E_D_C5. 如图，四棱 锥 PABCD 的底面是正方形，点 E、F 分别为棱 AB、PD 的中点。求证：AF平面 PCE； 6、如 图，在正方体 中， 是 的中点，求证： 平面 。1BE/B7. 如图，在底面为 平行四边形的四棱 锥 中，点 是 的中点 求证： 平面 PAEPPBAE8已知正四棱锥 PABCD，M、N 分别是 PA、BD 上的点，

14、且 PMMA=BNND=58，求证：直线 MN平面 PBC； EFBACDPEFBACDP第 9 页B1A1D1 C1BAD CPQB1A1D1 C1BAD CPQ9、正方体 ABCD-A1B1C1D1，P、Q 分别是正方形 AA1D1D 和 A1B1C1D1 的中心。求证 PQ平面 DD1C1C；10已知正三棱柱 ABCA 1B1C1，D 为 AC 中点。求 证：直线 AB1平面 C1DB；11如 图 :已知 A1B1C1ABC 是正三棱柱,D 是 AC 中点.证明:AB 1平面 DBC1; 12如 图 ，在斜三棱柱 中， E、F 分别是棱 的中点， 证明 平面1CBAACB1、 E1FCB

15、1A1 C1CBA B1D FEC1B1A1CBABCA DA1B1C1A1 C1CBAB1DBCA DA1B1C1FEC1B1A1CBA第 10 页GFPAEBCH13如 图 ，在四棱锥 中，四边形 ABCD 是平行四边形，E 是 PC 的三等分点，F 是 PB 的中点，ABCDP求证：AF面 BDE；14、如 图 PA平面 ABCD，四边形 ABCD 是矩形，E、F 分别是 AB，PD 的中点。求 证：AF/ 平面 PCE；15.如图，平面 分别平行于 ， 分别在 上，且EFGABCD,HGFE, ADCB,， ， （1）求证： 是矩形；（2）求当点 在什么位置时，aCDbABE的面积最大F EPD CBAF EPD CBA