数学中找规律题的解法.doc

1、浅谈初中数学中找规律题的解法例 1，观察下列各式数：0，3，8，15，24，。试按此规律写出的第 100 个数是。 ”分析：解答这一题，可以先找一般规律，然后使用这个规律，计算出第 100 个数。 我们把有关的量放在一起加以比较：给出的数：0，3，8，15，24，。序列号： 1，2，3， 4， 5，。容易发现，已知数的每一项，都等于它的序列号的平方减 1。因此，第 n 项是 n -1，第 100 项是 100 -1。如果题目比较复杂，或者包含的变量比较多。解题的时候，不但考虑已知数的序列号，还要考虑其他因素。例 2 （1）观察下列运算并填空123412412552345112011211123

2、4561360119245671 1 2789101 1 2（2）根据（1）猜想（n+1）(n+2)(n+3)(n+4)+1=( )2并用你所学的知识说明你的猜想。分析：第（1）题是具体数据的计算，第（2）题在计算的基础上仔细观察。已知四个数乘积加上 1 的和与结果中完全平方数的数的关系是猜想的正确性的解释，只要用完全平方数四个数的首尾两数乘积与 1 的和正好是完全平方数的底数，由此探索其存在的规律，解决猜想公式逆用就可解决解：（1）456718401841292789101504015041712（2） （n+1）(n+2)(n+3)(n+4)+1(n+1)(n+4)+12（n2+5n+1）

3、2一、基本方法看增幅（一）如增幅相等（实为等差数列）：对每个数和它的前一个数进行比较，如增幅相等，则第 n 个数可以表示为：a1+(n-1)b，其中 a 为数列的第一位数，b 为增幅，(n-1)b 为第一位数到第 n 位的总增幅。然后再简化代数式 a+(n-1)b。例：4、10、16、22、28，求第 n 位数。分析：第二位数起，每位数都比前一位数增加 6，增幅都是 6，所以，第 n 位数是：4+(n-1) 66n2（二）如增幅不相等，但是增幅以同等幅度增加（即增幅的增幅相等，也即增幅为等差数列） 。如增幅分别为3、5、7、9，说明增幅以同等幅度增加。此种数列第 n 位的数也有一种通用求法。基

4、本思路是：1、求出数列的第 n-1 位到第 n 位的增幅；2、求出第 1 位到第第 n 位的总增幅；3、数列的第 1 位数加上总增幅即是第 n 位数。此解法虽然较烦，但是此类题的通用解法，当然此题也可用其它技巧，或用分析观察的方法求出，方法就简单的多了。（三）增幅不相等，但是增幅同比增加，即增幅为等比数列，如：2、3、5、9,17 增幅为 1、2、4、8.（四）增幅不相等，且增幅也不以同等幅度增加（即增幅的增幅也不相等） 。此类题大概没有通用解法，只用分析观察的方法，但是，此类题包括第二类的题，如用分析观察法，也有一些技巧。二、基本技巧（一）标出序列号：找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系

5、列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。找出的规律，通常包序列号。所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。例如，观察下列各式数：0，3，8，15，24，。试按此规律写出的第 100 个数是 100 21 ，第 n 个数是 n12。解答这一题，可以先找一般规律，然后使用这个规律，计算出第 100 个数。我们把有关的量放在一起加以比较：给出的数：0，3，8，15，24，。序列号： 1，2，3， 4， 5，。容易发现，已知数的每一项，都等于它的序列号的平方减 1。因此，第 n 项是 2-1，第 100 项是 2101（二）公因式法：每位数分成最小公因式相乘，然后再找规律，

6、看是不是与 n,或 2n、3n 有关。例如：1，9，25，49， （81） ， （121） ，的第 n 项为（ 2)(） ，1，2，3，4，5 。 。 。 。 。 。 ，从中可以看出 n=2 时，正好是 22-1 的平方,n=3 时，正好是 23-1 的平方，以此类推。（三）看例题：A： 2、9、28、65.增幅是 7、19、37.，增幅的增幅是 12、18答案与 3 有关且是 n 的 3 次幂，即： n 3+1B：2、4、8、16.增幅是 2、4、8. .答案与 2 的乘方有关即： n2（四）有的可对每位数同时减去第一位数，成为第二位开始的新数列，然后用（一） 、 （二） 、 （三）技巧找出

7、每位数与位置的关系。再在找出的规律上加上第一位数，恢复到原来。例：2、5、10、17、26，同时减去 2 后得到新数列： 0、3、8、15、24，序列号：1、2、3、4、5，从顺序号中可以看出当 n=1 时，得 1*1-1 得 0，当 n=2 时，2*2-1 得 3，3*3-1=8，以此类推，得到第 n 个数为 12。再看原数列是同时减 2 得到的新数列，则在 12n的基础上加 2，得到原数列第 n 项 12 （五）有的可对每位数同时加上，或乘以，或除以第一位数，成为新数列，然后，在再找出规律，并恢复到原来。例 ： 4，16，36，64，？，144，196， ？（第一百个数）同除以 4 后可得

8、新数列：1、4、9、16，很显然是位置数的平方，得到新数列第 n 项即 n 2，原数列是同除以 4 得到的新数列，所以求出新数列 n 的公式后再乘以 4 即，4 n 2，则求出第一百个数为 4*100 =40000（六）同技巧（四） 、 （五）一样，有的可对每位数同加、或减、或乘、或除同一数（一般为 1、2、3） 。当然，同时加、或减的可能性大一些，同时乘、或除的不太常见。（七）观察一下，能否把一个数列的奇数位置与偶数位置分开成为两个数列，再分别找规律。三、基本步骤1、 先看增幅是否相等，如相等，用基本方法（一）解题。2、 如不相等，综合运用技巧（一） 、 （二） 、 （三）找规律3、 如不行

9、，就运用技巧（四） 、 （五） 、 （六） ，变换成新数列，然后运用技巧（一） 、 （二） 、 （三）找出新数列的规律4、 最后，如增幅以同等幅度增加，则用用基本方法（二）解题二、 平面图形中的规律图形变化也是经常出现的。作这种数学规律的题目，都会涉及到一个或者几个变化的量。所谓找规律，多数情况下，是指变量的变化规律。所以，抓住了变量，就等于抓住了解决问题的关键。例 3、 “观察下列球的排列规律(其中是实心球，是空心球) ：例从第 1 个球起到第 2004 个球止，共有实心球多少个？”分析：这些球，从左到右，按照固定的顺序排列，每隔 10 个球循环一次，循环节是。每个循环节里有 3 个实心球。

10、我们只要知道 2004 包含有多少个循环节，就容易计算出实心球的个数。因为 200410 =200（余 4） 。所以，2004 个球里有 200 个循环节，还余 4 个球。200 个循环节里有 2003=600 个实心球，剩下的 4个球里有 2 个实心球。所以，一共有 602 个实心球。例 4、平面内的一条直线可以将平面分成两个部分，两条直线最多可以将平面分成四个部分，三条直线最多可以将平面分成七个部分根据以上这些直线划分平面最初的具体的情况总结规律，探究十条直线最多可以将平面分成多少个部分。分析:1 条直线将平面分成 2 个部分；2 条直线最多可以将平面分成 4（2+2）个部分；3 条直线最

11、多可以将平面分成 7（4+3）个部分；4 条直线最多可以将平面分成 11（7+4）个部分。可以从中发现每增加 1 条直线，分平面的部分数就增加，其规律是若原有(n-1)条直线，现增加 1 条直线，最多将平面分成的平面数就增加 n，平面上的 10 条直线最多将平面分成：2+2+3+4+5+6+7+8+9+10 56 个部分。一般的平面上的 n 条中线最多可将平面分成（2+2+3+4+n）个部分。1、设计类【例 1】在数学活动中，小明为了求 的值（结果用 n 表示） ，设计如图 a 所示的图形。（1）请你利用这个几何图形求 的值为 。（2）请你利用图 b，再设计一个能求 的值的几何图形。因此,读者

12、在遇到数学问题时应身临其境，从不同的角度去观察,去分析,用最简单的方法去解决.【例 2】（1） ，对应的图形是（2） 。此类试题除要求考生写出规律性的答案外，还要求设计出一套对应的方案，本题魅力四射，光彩夺目，极富挑战性，要求考生大胆的尝试，力求用图形说话。考察学生的动手实践能力与创新能力，体现了“课改改到哪，中考就考到哪！”的命题思想。 3、数字类【例 5】瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据 ， ， ， ，中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门。请你按这种规律写出第七个数据是 。解析：【例 5】这列数的分子分别为 3，4，5 的平方数，而分母比分子分别小 4，则第 7 个数的分子为 81，分母为 77，故这列数的第 7 个为 。【例 6】按下列规律排列的一列数对（1，2）（4，5）（7，8），第 5 个数对是 。解析：【例 6】有序数对的 前一个数比后一个数小 1，而每一个有序数对的第一个数形成等差数数列，1，4，7，故第 5 个数为13，故第 5 个有序数对为（13，14）。【例 7】一组按规律排列的数： ， ， ， ， ，请你推断第 9 个数是 解析：【例 7】中这列数的分母为 2，3，4，5，6的平方数，分子形成而二阶等差数列，依次相差 2，4，6，8故第 9 个数为 1+2+4+6+8+10+12+14+1673，分母为 100，故答案为 。