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数值分析最佳习题(含答案).doc

1、2008 信息与计算科学专业计算方法习题参考解答 江世宏编1第一章 绪论姓名 学号 班级 习题主要考察点:有效数字的计算、 计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。1 若误差限为 ,那么近似数 0.003400 有几位有效数字?(有效数字的计算)510.解: ,2*34x 325*101x故具有 3 位有效数字。2 具有 4 位有效数字的近似值是多少?(有效数字的计算)159.解: ,欲使其近似值 具有 4 位有效数字,必需100 *, ,即4*2 331022 14209.34109.*3 已知 , 是经过四舍五入后得到的近似值,问 , 有几位3.a978.b ba有效数字?(有效数字的计算

2、)解: , ,而 ,3*1022*1018.2ba176.2130)()( baba故 至少具有 2 位有效数字。 2123* 065.102978.)( 故 至少具有 2 位有效数字。ba4 设 , 的相对误差为 ,求 的误差和相对误差?(误差的计算)0xxln解:已知 ,则误差为 * *x则相对误差为 * lnln1lnxx5 测得某圆柱体高度 的值为 ,底面半径 的值为 ,已知hcm20rcm5*, ,求圆柱体体积 的绝对误差限与相对误差cmh2.0|*r1.|*hv2限。(误差限的计算)解: *2*2),(),( rrhrhvr 绝对误差限为 25.051.055,0( 22008 信

3、息与计算科学专业计算方法习题参考解答 江世宏编2相对误差限为 %42015)5,20(, 2vrh6 设 的相对误差为 ,求 的相对误差。(函数误差的计算)x%anxy解: ,* )(* naxn7 计算球的体积,为了使体积的相对误差限为 ,问度量半径 时允许的相对误差限为多%1r大?(函数误差的计算)解:球体积为 ,34)(rrv3*4)(rv欲使 ,必须 。13)( *2* rrr %31*r8 设 ,求证:10dxeInn(1) )2,(1I(2)利用(1)中的公式正向递推计算时误差逐步增大;反向递推计算时误差逐步减小。(计算方法的比较选择)解: 11010110 nxnxnxnxnn

4、IdedeedeI 1110)(Ix如果初始误差为 ,若是向前递推,有*00I 022111* !)1()1()()( nnnnInn 可见,初始误差 的绝对值被逐步地扩大了。0如果是向后递推 ,其误差为nnII1 n !)1(21)()()( 1*110 可见,初始误差 的绝对值被逐步减少了。n2008 信息与计算科学专业计算方法习题参考解答 江世宏编3第二章 插值法姓名 学号 班级 习题主要考察点:拉格朗日插值法的构造,均差的 计算,牛顿插值和埃尔米特插值构造,插值余项的计算和应用。1 已知 ,求 的拉氏插值多项式。(拉格朗日插值)1)2(,)1,2)(fff )(xf解法一(待定系数法)

5、:设 ,由插值条件,有cbaxL124cba解得: 。3/4,/,6/故 。2)(xxL解法二(基函数法):由插值条件,有 1)2(1)2(1)(1)( xx323x4622 已知 ,用线性插值求 的近似值。(拉格朗日线性插值)9,10xy 7解:由插值节点与被插函数,可知, , ,其线性插值函数为240y391y5634924)( xxL的近似值为 。7.157)(3 若 为互异节点,且有,.10(njx )()()() 1110 njjjjjjjj xxxxl 试证明 。 (拉格朗日插值基函数的性质),.)(0 nklnjjk解:考虑辅助函数 ,其中, , 。nj kjkxlxF0)()(

6、 nk0),(x2008 信息与计算科学专业计算方法习题参考解答 江世宏编4是次数不超过 的多项式,在节点 ( )处,有)(xFnixn0)()(0 kiikiikij iijki lxl这表明, 有 n+1 个互异实根。)(xF故 ,从而 对于任意的 均成立。0nj kjkxl0)( nk04 已知 ,用抛物线插值计35274.06.si,3487.si,314567.2.si 算 的值并估计截断误差。(拉格朗日二次插值)670n解:由插值条件,其抛物线插值函数为 314567.0).32.0)(4.(6) xxL8.).)(3.0(35274.0)6.)(2.(4x将 代入,计算可得: 。

7、370x 30.)6.(L其余项为: 其中, )6.(4.32.0!sin)( xxr 36.02.)6.)(4.32.061)( xr故误差的上界为:。7104.2)36.07.)(3407.)(67.()7.( r5 用余弦函数 在 , , 三个节点处的值,写出二次拉格朗日插xcos01x2值多项式, 并近似计算 及其绝对误差与相对误差,且与误差余项估计值比较。(拉6格朗日二次插值)解:由插值条件,二次拉格朗日插值多项式为 0)4/2)(0/(21)/)(0/(1)2/0)(4/() xxxxL2008 信息与计算科学专业计算方法习题参考解答 江世宏编522 )/(8)/)(4/(8xx

8、850.924)/6(/)/6)(/()6 22 L绝对误差为: 13.183943)(cos L相对误差为: 079.2849)6(L余项为:,其中,)2/)(4/(!3sin)(xxr 2/0其余项的上界为: )/(4/61xr0239.)2(461)( 43r比较可知,实际计算所得的绝对误差较余项公式所估计出的值要小一些。6 已知函数值 ,求函数的四阶均21)6(,8)4(,6)(,1)(,)0( fffff差 和二阶均差 。(均差的计算)6,431,f 34解:采用列表法来计算各阶均差,有x y 一阶均差 二阶均差 三阶均差 四阶均差0 61 10 43 46 18 14/34 82

9、36 6 1/36 212 65 29/3 11/15 1/15从表中可查得: 。156,430fx y 一阶均差 二阶均差4 821 10 72/33 46 18 6故 。其实,根据均差的对称性, ,该值在第一个表6,f 4,31,4ff中就可以查到。2008 信息与计算科学专业计算方法习题参考解答 江世宏编67 设 求 之值,其中 ,而节点)()()(10nxxxf 1,0pxf 1np互异。(均差的计算),10ni解:由均差可以表示成为函数值的线性组合,有 pi pipiiiiiii xxxxxfxf0 111101,0 )()()( 而 ,故 。)(if0,pf8 如下函数值表 x0

10、1 2 4)(f1 9 23 3建立不超过三次的牛顿插值多项式。(牛顿插值多项式的构造)解:先构造均差表x f(x) 一阶均差 二阶均差 三阶均差0 11 9 82 23 14 34 3 -10 -8 -11/4故 。)2(14)(8)( xxxN9 求一个次数小于等于三次多项式 ,满足如下插值条件: , ,)p2)1(p4)(, 。(插值多项式的构造)3)2(p12)(解法一(待定系数法):设 ,则dcxbax23)(,由插值条件,有cbax)(2123927418dcba解得: 。6,5,故 )(23xxp2008 信息与计算科学专业计算方法习题参考解答 江世宏编7解法二(带重节点的均差法

11、):据插值条件,造差商表x y 一阶差商 二阶差商 三阶差商1 22 4 22 4 3 13 12 8 5 2故 6159)()(1)()( 3 xxxxxp10 构造一个三次多项式 ,使它满足条件)(H(埃尔米特插值)。)(,)2(,0)1(,)0( HH解:设 ,dcxbax3 cbxax23利用插值条件,有 123480cbadd解得: 。1,4,)(23xxH11 设 。(1)试求 在 上的三次埃尔米4/9,14/,20f )(xf4/9,1特插值多项式 ,使得 , 以升幂形)(x ),210),(fHjxfHj (x式给出。(2)写出余项 的表达式。(埃尔米特插值及其余项的计算)。R

12、解: , , , ,81)4(f)(f827)49(f 213)(xf 3)(f设 ,dcxbaxH23 cbaxH223387491687114cbadc2008 信息与计算科学专业计算方法习题参考解答 江世宏编8解得: , , , 。2514a063b452c1d故 。)(xxH,其中, 。)49(1)4(128325xR 49112 若 ,试证明: 0,)bfafcf(插值余项的应用)|)(|mx8|( |max2bab 解:以 为插值条件,作线性插值多项式,有0)ff 0)()( fabaxL其余项为 )(!2)()( bxafxffR故 。)(max)(81)ma21ax 2fbbx

13、b 13 设 求 使 ;,(,)0(,)(fff (xp,10ifi又设 ,则估计余项 的大小。(插值误差的估计)M| )fr解:由插值条件,有 241cba解得:1/38c从而 148)(2xxp其余项为 )2,()2(!3)()()( xffr MxMx7389164632008 信息与计算科学专业计算方法习题参考解答 江世宏编9第三章 函数逼近姓名 学号 班级 习题主要考察点:最小二乘法,最佳平方逼近,正交多项式的构造。1 设 ,求 于 上的线性最佳平方逼近多项式。(最佳平方逼近)xfsin)()(f1,0解: ,1pa, ,),(01dx2),(1021xd31),(102dx,sin

14、),(01f 1sincosin),( 02102 xxf法方程组为 13212a解得: ,102线性最佳平方逼近多项式为: 。2*2 令 ,且设 ,求 使得 为 于 1,)(xexf xap10)(10)(xpf1,上的最佳平方逼近多项式。(最佳平方逼近)解: ,span, ,2),(11dx0),(121xd32),(12dx,11),(efx112),(efx法方程组为 12130ea解得: ,)(1132线性最佳平方逼近多项式为: 。xexp3)(12008 信息与计算科学专业计算方法习题参考解答 江世宏编103 证明:切比雪夫多项式序列 )arcos()(xkxTk在区间 上带权 正

15、交。(正交多项式的证明)1,21/解:对于 ,有ldxkxlxTkl )arcos()arcos(1),(2 002 )cos()in()(cs dtkltttlt0 )o()(1dtklkl 0sin1sin2tlltll对于 ,有kl dxkxT)arcos(1),(2 0220 )(cos)in(cos dtkttt )i(1)(120 ttdk故,序列 在-1,1上带权 正交。)(xTk 21)(x4 求矛盾方程组: 的最小二乘解。(最小二乘法)2431x解法一:求 与 ,使得2 2121211 )()4()3(),( xxxxf达到最小。于是,令 0)()()(2 212121 xf

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