1、数列与数学归纳法专项训练1.如图，曲线 2(0)yx上的点 iP与 x 轴的正半轴上的点 iQ及原点 O构成一系列正三角形OP 1Q1，Q 1P2Q2，Q n-1PnQn设正三角形 1nP的边长为 na,nN(记 0Q为O), ,nS.（1）求 1a的值; （2）求数列 a的通项公式 。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2. 设 ,nab都是各项为正数的数列，对任意的正整数 n，都有 21,nab成等差数列，221,成等比数列（1）试问 n是否成等差数列？为什么？（2）如果 1,2ab，求数列 1na的前 项和 nS3. 已知等差数列 na中， 28， 6S66.（）求数列 的通项公式；
2、（）设 nnab)1(， nbbT21，求证： nT16.4. 已知数列 na中 531， 12nna（ n2， N） ，数列 nb，满足1nab（ N）（1）求证数列 nb是等差数列；（2）求数列 中的最大项与最小项，并说明理由；（3）记 21bSn n，求 1)(limnSb5. 已知数列 an中， a10, 且 an+1= 23n，()试求 a1的值，使得数列 an是一个常数数列；()试求 a1的取值范围,使得 an+1an对任何自然数 n 都成立；()若 a1 = 2，设 bn = | an+1 an| (n = 1，2，3，)，并以 Sn表示数列 bn的前 n项的和，求证： Sn0.
3、Sn是它的前 n 项和，又 41S与 6的等比中项是17a， 4S与 6的等差中项是 6，求 an。26. na和 b分别是等比数列和等差数列，它们的前四项和分别为 120 和 60，而第二项与第四项的和分别是 90 和 34，令集合 21aA， ， 23， 2na， 1bB， 2，3b， n求证： BA27. 已知曲线 C： xy1， n： nxy21 （ N） 。从 C上的点 ),(nyxQ作x轴的垂线，交 n于点 P，再从点 作 轴的垂线，交 于点 ,(11nn，设 111, nnyba。 （I）求 2Q的坐标；（II）求数列 n的通项公式；（III）记数列 ba的前 项和为 nS，求证
4、： 31n答案：1. 解：由条件可得 113,2Pa,代入 2(0)yx得211132,0,43aa 12nnSa 1113(,)2nnPSa；代入曲线 2(0)yx并整理得 1134nn,于是当 *,N时,2213()()4nnaSaa即 1113()()()24nnn *1120,(,)3nnanN又当 22,3Sa时 舍 去 ） ； 2,故 *1()3naN所以数列 n是首项为 、公差为 的等差数列, 。2. 由题意，得 21nnba， （1）211naA（2） （1）因为 0,n，所以由式（ 2）得 11nnabA，从而当 2时，nb，代入式（1）得 211nnbb，即 12n，故 是
5、等差数列（2）由 ,a及式（1） ，式（2） ，易得 23,2,ab 因此 nb的公差 d，从而 11nbdn，得 12na （3）又 1也适合式（3） ，得 *1naN，所以 2na，从而 11122.223n nSn 3. 解：（）1186,26524nadad（） 1(1)(42nban（ ，12135nT n ，= 而 2n是递增数列 ， 1236nT1. 4. （1） 121nnnaab，而 1n， 11nnnab )(N n是首项为 251，公差为 1 的等差数列（2）依题意有 nnba，而 5.3)(n， 5.31n对于函数 xy，在 x3.5 时， y0， ，在（3.5， ）上为减函数故当 n4 时， .1na取最大值 3而函数 5.3xy在 x3.5 时， y0， 0)5.(12x ，在（ ，3.5）上
