1、1数学归纳法 （2016.4.21）一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是：（1）证明当 取第一个值 （如 或 2 等）时结论正确； n0n01（2）假设当 时结论正确，证明 时结论也正确 (N,)k1nk综合（1）、（2），注意：数学归纳法使用要点： 两步骤,一结论。二、题型归纳：题型 1.证明代数恒等式例 1用数学归纳法证明： 12127513nn证明：n=1 时，左边 ，右边 ，左边=右边，等式成立33假设 n=k 时，等式成立，即：12127511 kk当 n=k+1 时 321217531 kk3212kk1312k这就说明，当 n=k+1 时，等式亦成立，由、可知，对一切自然
2、数 n 等式成立2题型 2.证明不等式例 2证明不等式 (nN)21321证明：当 n=1 时，左边=1 ，右边=2 左边右边，不等式成立假设 n=k 时，不等式成立，即 k21321那么当 n=k+1 时， 1312k 21k1k这就是说，当 n=k+1 时，不等式成立由、可知，原不等式对任意自然数 n 都成立说明：这里要注意，当 n=k+1 时，要证的目标是，当代入归纳假设后，就是要证明：121321k1kk认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标题型 3.证明数列问题例 3 (x1) na 0a 1(x1)a 2(x1) 2a 3(x1) 3a n(x1)
3、 n(n2，nN *)(1)当 n5 时，求 a0a 1a 2a 3a 4a 5 的值(2)设 bn ，T nb 2b 3b 4b n.试用数学归纳法证明：当 n2 时，T na22n 3.n(n 1)(n 1)3解： (1)当 n5 时，3原等式变为(x1) 5a 0a 1(x1)a 2(x1) 2a 3(x1) 3a 4(x1) 4a 5(x1) 5令 x2 得 a0a 1a 2a 3a 4a 53 5243.(2)因为(x1) n2 (x 1) n，所以 a2C n22n2bn 2C n2n(n1)(n2)a22n 3当 n2 时左边T 2b 22，右边 2，左边右边，等式成立2(2 1)(2 1)3假设当 nk( k2，k N *)时，等式成立，即 Tk 成立k(k 1)(k 1)3那么，当 nk1 时，左边T kb k1 (k1)(k 1) 1 k(k1)k(k 1)(k 1)3 k(k 1)(k 1)3k(k1) (k 13 1) k(k 1)(k 2)3 右边(k 1)(k 1) 1(k 1) 13故当 nk1 时，等式成立综上，当 n2 时，T n .n(n 1)(n 1)3
