数的整除知识点总结.doc

1、一. 数的分类第一种分法 : 树状图 韦恩图 整数整数自然数 负整数零 正整数正奇数 正偶数第二种分法整数整数奇数 偶数第三种分法： 正整数整数素数 合数 1一些关于数的结论:1.0 是最小的自然数,-1 是最大的负整数 ,1 是最小的正整数2.没有最大的整数,没有最小的负整数,没有最大的正整数3.正整数、负整数、整数的个数都是无限的二整除1.整除定义（概念）：整数 a 除以整数 b，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说 a 能被 b 整除；或者说 b 能整除 a注意点：一定要看清楚谁被谁整除或谁整除谁，这里的 a 相当于被除数，b 相当于除数2.整除的条件：1.除数、被除数都是整数2.被除

2、数除以除数，商是整数而且余数为零注意点：区分整除与除尽：整除是特殊的除尽（如正方形是特殊的长方形一样） ，即 a 能被b 整除,则 a 一定能被 b 除尽，反之则不一定（即 a 能被 b 除尽，则 a 不一定能被b 整除） 。如 42=2, 4 既能被 2 除尽，也能被 2 整除；45=0.8, 4 能被 5 除尽，正整数 零 负整数奇数 偶数素数 1 合数却不能说 4 能被 5 整除三因数与倍数1.因数与倍数的定义：整数 a 能被整数 b 整除，a 就叫做 b 的倍数，b 就叫做 a 的因数（约数） 。注意点：1.因数和倍数是相互依存的，不能简单的说某个数是因数，某个数是倍数。如：63=2，

3、不能说 6 是倍数，3 是因数；要说 6 是 3 的倍数，3 是 6 的因数。2.因数与倍数是建立在整除的基础上的，所以如 40.2=20，一般是不说 4 是 0.2的倍数，0.2 是 4 的因数。2.因数与倍数的特点：一个整数的因数中最小的因数是 1，最大的因数是它本身。一个数的倍数中最小的倍数是这个数本身，没有最大的倍数。因数的个数是有限的，都能一一列举出来，倍数的个数是无限的。3.求一个数因数的方法：利用积与因数的关系一对一对找，找出哪两个数的乘积等于这个数，那么这两个数就是这个数的因数。如 16=116=28=44，那么 16 的因数就有 1、2、4、8、16，计算时一定不要忘了 1

4、和这个数本身都是它的因数，注意按照一定的顺序以防遗漏。4.求一个数倍数的方法：这个数本身分别乘以 1、2、3、4、5（即正整数）得到的积就是这个数的倍数。若用 n 表示所有的正整数，则 2 的倍数可表示为2n, 5 的倍数可表示为 5n四能被 2、5、3 整除的数的特点1.能被 2 整除的数（即 2 的倍数）个位上的数字是 0、2、4、6、8，反之，个位上的数字是0、2、4、6、8 的数也能被 2 整除2.能被 5 整除的数（即 5 的倍数）个位上的数字是 0、5，反之，个位上的数字是 0、5 的数都能被 5 整除3.能被 3 整除的数（即 3 的倍数）各个位数上的数字之和是 3 的倍数，反之

5、，各个位数上的数字之和是 3 的倍数的数都能被 3 整除4.能被 2、5 同时整除的数的个位数字都是 0，个位数字为 0 的数也能被 10 整除，能被 10整除的数一定能被 2 或 5 其中的一个或两个同时整除。五奇数、偶数1.奇数与偶数的定义：能被 2 整除的整数叫做偶数，不能被 2 整除的整数叫做奇数。 （按照能否被 2 整除来划分奇数与偶数）2.奇数个位数上的数的特点：1、3、5、7、9偶数个位数上的数的特点：0、2、4、6、83.在连续的正整数中（除 1 外） ，与奇数相邻的两个数是偶数，与偶数相邻的两个数是奇数4.相邻的奇数或偶数数字相差 2，奇数可用 2n-1 或 2n+1 表示，

6、偶数可用 2n 表示。5.奇数与偶数加法和乘法的运算特点奇数+奇数=偶数 偶数+偶数=偶数 奇数+偶数=奇数奇数奇数=奇数 偶数偶数=偶数 奇数偶数=偶数利用此结论可检验一些运算是否正确，同时也要注意结论的逆向运用，如偶数（奇数）可拆成哪些奇数或偶数的和、积六.素数、合数1.素数与合数定义：一个正整数如果只有 1 和它本身两个因数，这样的数叫做素数（质数） ，如果除了 1 和它本身以外还有别的因数，这样的数叫做合数。注意点：1.素数与合数的分类方法是根据它们因数的个数来分的，素数只有 2 个因数（1 和本身） ，合数至少有三个因数；任何一个数（除 1 外）都有 1 和它本身两个因数。2. 1

7、既不是素数也不是合数。3最小的素数是 2，最小的合数是 42.素数与奇数的联系和区别奇数不一定都是素数。 （1 既不是素数也不是合数，9、15 等是奇数但是合数）所有素数都是奇数。 （2 是素数，但 2 是偶数）3.合数与偶数的联系与区别合数不一定都是偶数。（9、15 等都是合数，但它们是奇数）偶数都是合数。 （2 是偶数但 2 是素数）注意:判断题对的要说明原因，错的要举出反例。七素因数与分解素因数1.素因数与分解素因数的定义：每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数。把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数。注意：1.求一个数的

8、素因数时，先把这个数分解素因数，有几个素因数就写几个。如 24=2223，则素因数是 2、2、2、3，而不是 2、32.因数与素因数的区别：因数可以是素数或合数，素因数一定是素数。一个数的素因数一定是这个数的因数，因数的个数一定比素因数的个数多。2.分解素因数的方法树枝分解法：过程中注意不要漏写乘号，分解要彻底，直到没有合数出现，也不能出现 1.要分解的合数写在等号左边，把它的素因数用相乘的形式写在等号右边，再把这几个素因数按从小到大的顺序排列。短除法：1.先用一个能整除这个合数的素数去除（通常从最小的开始，偶数肯定先用 2 除，奇数一般从 3 开始一个个带入验算）2.得出的商如果是合数，再按

9、照上面的方法继续除下去，直到得出的商是素数为止。3.然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式。3.由一个数分解素因数求这个数的因数12=223，素因数是 2、2、3，除 1 外由单个的素因数组成因数有 2、3，由两个素因数组成的因数有 22=4,23=6，由三个素因数组成的因数有 223=12，所以 12 的因数有1、2、3、4、6、12.4. 由一个数分解素因数求这个数因数的个数 (1) 所有素因数都相同时，因数的个数是它素因数的个数+1，如 8=222，素因数是 2、2、2，则 8 的因数的个数是它素因数的个数+1，即 4 个(2) 素因数不完全相同时，因数的个数是每个素因数

10、个数+1 后相乘的积，如12=223，素因数 2 的个数是 2，素因数 3 的个数是 1，则 12 的因数的个数是（2+1）（1+1）=6八.公因数与最大公因数1. 公因数与最大公因数定义: 几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数.2. 互素定义：如果两个整数只有公因数 1，那么称这两个数互素。如 8 和 9注意：互素是两个数之间，素数是指一个数，互素的两个数的最大公因数就是 1.两个互素的数未必都是素数。 （8 和 9 互素，但 8 和 9 都是合数）两个不同的素数一定互素. （若缺少“不同的” ，则错，因为 3 和 3 都是素数但不互素）3. 求两个

11、数最大公因数的方法：(1) 一般方法：写出两个数所有的因数，再找出它们共同的最大的因数(2) 分解素因数的方法：把这两个数分解素因数，再找出相同的素因数，把它们所有的公有的素因数相乘，所得的积就是它们的最大公因数。(3) 短除法：先用这两个数公有的素因数去除（一般从最小的素因数开始） ，得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续除下去，直到两个数互素为止，这两个数的最大公因数就是左侧的除数的乘积.( 类比用短除法分解素因数的方法 )4. 两个整数中，如果某个数是另一个数的因数，那么这个数就是这两个数的最大公因数。如果这两个数互素，那么它们的最大公因数就是 1.九.公倍数和最小公倍数1.公倍数与最

12、小公倍数定义:几个整数公有的倍数叫做它们的公倍数,其中最小的一个叫做它们的最小公倍数.2.求两个数最小公倍数的方法:(1)一般方法:从小到大分别依次写出几个这两个数的倍数,再找出它们共同的最小的倍数(2)分解素因数的方法: 把这两个数分解素因数，再找出相同的素因数，再取各自剩余的素因数,将这些数连乘所得的积,就是这两个数的最小公倍数.(3)短除法: 先用这两个数公有的素因数去除（一般从最小的素因数开始） ，得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续除下去，直到两个数互素为止，这两个数的最小公倍数就是左侧的除数与底部商的乘积.注意点:1.用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数时,过程都相同,只是

13、最后写结论时注意需要乘哪些数.2.求两个数的最大公因数和最小公倍数,先判断这两个数是否存在因数(倍数) 关系或互素关系,存在因数(倍数)关系时,最大公因数就是较小的那个数 ,最小公倍数就是较大的那个数;两数互素时,最大公因数就是 1,最小公倍数就是它们的乘积.3.两个整数的公倍数一定能被这两个数整除.十.求三个整数的最大公因数和最小公倍数(拓展)(1)求三个整数的最大公因数:同样也是三种方法,只需找出三个数共同的因数,最大的因数就是最大公因数.(注意与三个数的最小公倍数区分 )(2)求三个整数的最小公倍数:一般方法:写出三个数的倍数 ,再找出最小公倍数.分解素因数法:分别分解素因数 ,先找出三个数共同的素因数,再找出每两个数公有的素因数,再取各自剩余的素因数,把这些素因数连乘所得的积就是这三个数的最小公倍数.短除法:先用三个数公有的素因数去除直到三个数没有公有的素因数,再用其中两个数公有的素因数去除,直到除得的三个商两两互素为止(即三对互素数)