文登考研数学--高等数学--习题集及其答案.doc

1、1第一章 函数极限连续一. 填空题1. 已知 定义域为_.,_)(,1)(,sin)( 2xxfxf 则解. , 1arcsin2, 12x|20x2设 , 则 a = _.atxdelim解. 可得 = , 所以 a = 2.ateatt e)(3. =_. nnn2221lim解. 222 0, b 0nnba2lim解. nnli cx/,/1xcxxxaec2ln)1l(im1002li = baeaexxxx cc1lnim2ln)1l(im004. 设 0cos1)s()(022xdtxf试讨论 在 处的连续性与可导性.)(f解. 20020 coslim1cos1lim)(li)

2、( xdtxdtxff xxx 2li2cosli00xx32000 )cos1(2li)cos1(li)(li)( xxff xxx 6m3sn2所以 , 在 处连续可导.)(f)(f5. 求下列函数的间断点并判别类型7(1) 12)(1xf解. , lim)0(10xf 12lim)0(10xf所以 x = 0 为第一类间断点 .(2) 1sinco2)()xf0解. f(+0) =sin1, f( 0) = 0. 所以 x = 0 为第一类跳跃间断点;不存在. 所以 x = 1 为第二类间断点;silm)(li211fxx不存在, 而 ,所以 x = 0 为第一类可去间断点;2f 2co

3、s)(li2x, (k = 1, 2, ) 所以 x = 为第二类无穷间断点.kxcos)(li2 2k6. 讨论函数 在 x = 0 处的连续性.xef1in)(解. 当 时 不存在, 所以 x = 0 为第二类间断点;0)si(limx当 , , 所以01n0时,在 x = 0 连续 , 时, x = 0 为第一类跳跃间断点 .7. 设 f(x)在a, b上连续, 且 a b, 试证在(a, b)内至少存在一个 , 使 f() = .证明: 假设 F(x) = f(x)x, 则 F(a) = f(a)a 0于是由介值定理在(a, b)内至少存在一个, 使 f() = .89. 设 f(x)

4、在0, 1上连续, 且 0 f(x) 1, 试证在0, 1 内至少存在一个 , 使 f() = .证明: (反证法 ) 反设 . 所以 恒大于 0 或恒小于 0. 不妨设0)(,1xfxxfx)(. 令 , 则 . (,10xfxmin10x因此 . 于是 , 矛盾. 所以在0, 1 内至少存在一个 , 使 f() = .), )(f10. 设 f(x), g(x)在a, b上连续, 且 f(a) g(b), 试证在(a, b)内至少存在一个, 使f() = g().证明: 假设 F(x) = f(x)g(x), 则 F(a) = f(a)g(a) 0于是由介值定理在(a, b)内至少存在一个

5、, 使 f() = .11. 证明方程 x53x2 = 0 在(1, 2) 内至少有一个实根.证明: 令 F(x) = x53x2, 则 F(1) =4 0所以 在(1, 2) 内至少有一个 , 满足 F() = 0.12. 设 f(x)在 x = 0 的某领域内二阶可导, 且 , 求 及 .0)(3sinlm20xfx )0(,)(ff 23)(limxf解. )(il)(sil)(3sinlm203020 xfxfxf xxx. 所以. f(x)在 x = 0 的某领域内二阶可导, 所以 在 x = 0 连续. 所以 f(0) = 3. 因为)(il0fx )(,f, 所以 , 所以3si

6、nlm20xfx 03)(3sinlm20xfx20302020 3coslimsiliili)(li xf xxxx = 93sn029)(li)(lim0)(li)( 2000 xfxfxff xxx由 , 将 f(x)台劳展开, 得2lim0x, 所以 , 于是293)()(!1)(li 220 xffx 29)0(1f.9)(f(本题为 2005 年教材中的习题, 2008 年教材中没有选入. 笔者认为该题很好, 故在题解中加入此题)第二章 导数与微分一. 填空题1 . 设 , 则 k = _.)(31)(lim000 xfxfkfx 解. , 所以0k )(31)(00xff9所以

7、31k2. 设函数 y = y(x)由方程 确定, 则 _.0)cos(xyeyx dxy解. , 所以in()1(exxyeyxsin3. 已知 f(x) =f(x), 且 , 则 _.kf)(0)(0xf解. 由 f(x) =f(x)得 , 所以x)(xf所以 kfxf)()(004. 设 f(x)可导, 则 _.xnfmx )(li 0解. xffx )()(lim00= + =x0 nffnx)(li00 )(0xfnm5. , 则 = _.f1)()(fn解. , 假设 , 则12)(!)( xxxf 1)()!2kkxf, 所以1)1()(!kkf 1)()!nnf6. 已知 ,

8、则 _.xfdx22f解. , 所以 . 令 x2 = 2, 所以f1322f12xf7. 设 f 为可导函数, , 则 _.)(sinxfydy解. )(sinco)(co)( xfxfdxy8. 设 y = f(x)由方程 所确定, 则曲线 y = f(x)在点(0, 1) 处的法线方程为_.1s2eyey解. 上式二边求导 . 所以切线斜率0)si()( xx. 法线斜率为 , 法线方程为2)0yk, 即 x2y + 2 = 0.110二. 选择题1. 已知函数 f(x)具有任意阶导数, 且 , 则当 n 为大于 2 的正整数时, f(x)的 n 阶导数是2)(xff(a) (b) (c

9、) (d) 1)(!nxf 1)(nxfnnxf)(!解. , 假设 = , 所以3!22 ff)(fk1k= , 按数学归纳法)(1xfk 2!1)(kkxx= 对一切正整数成立 . (a)是答案.)(n1!nf2. 设函数对任意 x 均满足 f(1 + x) = af(x), 且 b, 其中 a, b 为非零常数, 则)0(f(a) f(x)在 x = 1 处不可导 (b) f(x)在 x = 1 处可导, 且 a)1(f(c) f(x)在 x = 1 处可导, 且 b (d) f(x)在 x = 1 处可导, 且 ab)(f 解. b = = , 所以 ab. (d)是答案0lim)0(

10、 xffx )1()()(li0 faffax )(f注: 因为没有假设 可导, 不能对于 二边求导.f )(1(xff3. 设 , 则使 存在的最高阶导数 n 为|3)(2f)(n(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3解. . 34)(xf0xf124)( 024limlim 0 f xx1)()(0ff所以 n = 2, (c)是答案.4. 设函数 y = f(x)在点 x0 处可导, 当自变量 x 由 x0 增加到 x0 + x 时, 记y 为 f(x)的增量, dy 为 f(x)的微分, 等于xdyx0lim(a) 1 (b) 0 (c) 1 (d) 解. 由微分定义y = dy + o(x), 所以 . (b)是答案.)(limli00odyxx5. 设 在 x = 0 处可导, 则baxfsin)(2(a) a = 1, b = 0 (b) a = 0, b 为任意常数 (c) a = 0, b = 0 (d) a = 1, b 为任意常数解. 在 x = 0 处可导一定在 x = 0 处连续 , 所以, 所以 b = 0.)(lim1sinl2, , 所以 0 = )0()(ff xaxx02li1sinl a. (c)是答案.三. 计算题