新课标高中数学必修5全套教案.doc

1、第 1 页 共 58 页课题: 111 正弦定理授课类型：新授课教学目标知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。教学重点正弦定

2、理的探索和证明及其基本应用。教学难点已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。教学过程.课题导入如图 11-1，固定 ABC 的边 CB 及 B，使边 AC 绕着顶点 C 转动。 A思考： C 的大小与它的对边 AB 的长度之间有怎样的数量关系？显然，边 AB 的长度随着其对角 C 的大小的增大而增大。能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B.讲授新课探索研究 (图 11-1)在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图 11-2，在 Rt ABC 中，设 BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有 ， ，又

3、, AsinaAcibBsin1cC则 b ciiic从而在直角三角形 ABC 中， C a sinisinac(图 11-2)思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图 11-3，当 ABC 是锐角三角形时，设边 AB 上的高是 CD，根据任意角三角函数的定义，有 CD= ,则 ， CsiniaBbAsiniabB同理可得 ， b aiicC从而 A c BsiniAsin(图 11-3)第 2 页 共 58 页思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。（证法二）：过点 A

4、 作 ， CjC由向量的加法可得 B则 A B()jj jAjCjB j00cos9cos9jC ，即iniasinaA同理，过点 C 作 ，可得 jBibcBC从而 siisi类似可推出，当 ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导）从上面的研探过程，可得以下定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 siniabABsincC理解定理（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数 k 使 ， ， ；iaikick（2） 等价于 ， ，sinibABsincCsiinabsiincbBsiaAincC从而知

5、正弦定理的基本作用为：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如 ；ia已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如 。siniaBb一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。例题分析例 1在 中，已知 ， ， cm，解三角形。ABC032.081.B42.9a解：根据三角形内角和定理， 08()0132.1.8；6.根据正弦定理，第 3 页 共 58 页；0sin42.9si81.()3aBbcmA根据正弦定理， 0si.si6.74.()n2Cc评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。例 2在 中，已知 cm， cm， ，解三角形（角度精确到

6、，边ABa28b04A01长精确到 1cm）。解：根据正弦定理， 0sin28i4i .9ba因为 ，所以 ，或0B016B016. 当 时，64，0008()8(4)7CA0sin2i763.accm 当 时，01B，008()8(41)24A0sin2i3.aCcc评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。.课堂练习第 5 页练习第 1（1）、2（1）题。补充练习已知 ABC 中， ，求sin:isi1:23ABC:abc（答案：1：2：3）.课时小结（由学生归纳总结）（1）定理的表示形式： ；siiabsic0insiinkABC或 ， ，sinakAbkBkC(

7、0)（2）正弦定理的应用范围：已知两角和任一边，求其它两边及一角；已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。.课后作业第 10 页习题 1.1A 组第 1（1）、2（1）题。板书设计授后记第 4 页 共 58 页课题: 1.1.2 余弦定理授课类型：新授课教学目标知识与技能：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。过程与方法：利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来

8、理解事物之间的普遍联系与辩证统一。教学重点余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；教学难点勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。教学过程.课题导入C如图 11-4，在 ABC 中，设 BC=a,AC=b,AB=c,已知 a,b 和 C，求边 c b aA c B(图 11-4).讲授新课探索研究联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？用正弦定理试求，发现因 A、B 均未知，所以较难求边 c。由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 A如图 11-5，设 ， ， ，那么 ，则 CababbcC B 22 c a从而 (图 11-5)2coscabC同理可证 2A2B

9、于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹第 5 页 共 58 页角的余弦的积的两倍。即 22cosabABcC思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论： 22cosbaAcB22cosbaC理解定理从而知余弦定理及其推论的基本作用为：已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；已知三角形的三条边就可以求出其它角。思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？（由学

10、生总结）若 ABC 中，C= ，则 ，这时09cosC22cab由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。例题分析例 1在 ABC 中，已知 ， ， ，求 b 及 A23a62c0B解： 22osbcB= cos2(3)6)() 045=12431)=8 .b求 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：A解法一：cos22222()6)(31,cab 06.解法二：sin 023sinsi45,AB又 2.41.8,3.6, ，即 ac0A09,第 6 页 共 58 页 06.A评述：解法二应注意确定 A 的取值范围。例 2在 ABC 中，已知 ， ， ，解三角形134.6ac

11、m87.bc16.7cm（见课本第 8 页例 4，可由学生通过阅读进行理解）解：由余弦定理的推论得：cos22bcA287.16.34.705,；2cos2cabB2134.6.78.1089,；25001()(5623)CAB.课堂练习第 8 页练习第 1（1）、2（1）题。补充练习在 ABC 中，若 ，求角 A（答案：A=120 ）22abc0.课时小结（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；（2）余弦定理的应用范围：已知三边求三角；已知两边及它们的夹角，求第三边。.课后作业课后阅读：课本第 9 页探究与发现课时作业：第 11 页习题 1.1A 组第 3

12、（1），4（1）题。板书设计授后记第 7 页 共 58 页课题: 113 解三角形的进一步讨论授课类型：新授课教学目标知识与技能：掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。过程与方法：通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。情感态度与价值观：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系。教学重点在已知三角形的两边及其中一边的对

13、角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。教学难点正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。教学过程.课题导入创设情景思考：在 ABC 中，已知 ， ， ，解三角形。2acm5b013A（由学生阅读课本第 9 页解答过程）从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形。下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题。.讲授新课探索研究例 1在 ABC 中，已知 ，讨论三角形解的情况,abA分析：先由 可进一步求出 B；siniB则 08()C从而 sinacA1当 A 为钝角或直角时，必须 才能有且只有一

14、解；否则无解。ab2当 A 为锐角时，如果 ，那么只有一解；b如果 ，那么可以分下面三种情况来讨论：a（1）若 ，则有两解；sin（2）若 ，则只有一解；（3）若 ，则无解。i第 8 页 共 58 页（以上解答过程详见课本第 9 10 页）:评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当 A 为锐角且时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。sinbAa随堂练习 1（1）在 ABC 中，已知 ， ， ，试判断此三角形的解的情况。80a1b045A（2）在 ABC 中，若 ， ， ，则符合题意的 b 的值有_个。2cC（3）在 ABC 中， ， ， ，如果利用正弦定理解三角形有两解

15、，求xm0Bx 的取值范围。（答案：（1）有两解；（2）0；（3） ）2x例 2在 ABC 中，已知 ， ， ，判断 ABC 的类型。7a5b3c分析：由余弦定理可知 22是 直 角 ABC是 直 角 三 角 形是 钝 角 是 钝 角 三 角 形是 锐 角c是 锐 角 三 角 形（注意： ）是 锐 角 是 锐 角 三 角 形解： ，即 ，227532ab 。ABC是 钝 角 三 角 形随堂练习 2（1）在 ABC 中，已知 ，判断 ABC 的类型。 sin:isi1:23ABC（2）已知 ABC 满足条件 ，判断 ABC 的类型。 coab（答案：（1） ；（2） ABC 是等腰或直角三角形）

16、是 钝 角 三 角 形例 3在 ABC 中， ， ，面积为 ，求 的值061sinisinabcABC分析：可利用三角形面积定理 以及正弦定理1i22SabCsiniabABsincCisinicAB解：由 得 ，132S则 =3，即 ，2coaba从而 sinisinABC2iA.课堂练习（1）在 ABC 中，若 ， ，且此三角形的面积 ，求角 C5a16b203S（2）在 ABC 中，其三边分别为 a、b、c，且三角形的面积 ，求角 C24abc（答案：（1） 或 ；（2） ）0604第 9 页 共 58 页.课时小结（1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等

17、情形；（2）三角形各种类型的判定方法；（3）三角形面积定理的应用。.课后作业（1）在 ABC 中，已知 ， ， ，试判断此三角形的解的情况。4b10c03B（2）设 x、x+1、x+2 是钝角三角形的三边长，求实数 x 的取值范围。（3）在 ABC 中， ， ， ，判断 ABC 的形状。06Aa2（4）三角形的两边分别为 3cm，5cm,它们所夹的角的余弦为方程 的根，25760x求这个三角形的面积。板书设计授后记第 10 页 共 58 页课题: 2.2 解三角形应用举例第一课时授课类型：新授课教学目标知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的

18、测量相关术语过程与方法：首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫。其次结合学生的实际情况，采用“提出问题引发思考探索猜想总结规律反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。对于例 2 这样的开放性题目要鼓励学生讨论，开放多种思路，引导学生发现问题并进行适当的指点和矫正情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力教学重点实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得

19、到实际问题的解教学难点根据题意建立数学模型，画出示意图教学过程.课题导入1、复习旧知复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？2、设置情境请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。.讲授新课（1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解例题讲解(2)例 1、如图，设 A、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在 A 的同侧，在所在的河岸边选定一点 C，测出 AC 的距离是 55m， BAC= ， ACB= 。求5175A、B 两点的距离(精确到 0.1m)