1、 平面向量公式1、向量的加法 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则.AB+BC=AC.a+b=(x+x,y+y).a+0=0+a=a.向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a； 结合律：(a+b)+c=a+(b+c).2、向量的减法 如果 a、b 是互为相反的向量,那么 a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量为 0 AB-AC=CB.即“共同起点,指向被减” a=(x,y) b=(x,y) 则 a-b=(x-x,y-y).4、数乘向量 实数 和向量 a的乘积是一个向量,记作 a,且a=a.当 0 时,a 与 a同方向； 当 0 时,a 与 a反方向； 当 =0 时,a=0,方向任意.当
2、 a=0时,对于任意实数 ,都有 a=0.注：按定义知,如果 a=0,那么 =0 或 a=0.实数 叫做向量 a的系数,乘数向量 a 的几何意义就是将表示向量 a的有向线段伸长或压缩.当1 时,表示向量 a的有向线段在原方向（0）或反方向（0）上伸长为原来的倍； 当1 时,表示向量 a的有向线段在原方向（0）或反方向（0）上缩短为原来的倍.数与向量的乘法满足下面的运算律 结合律：(a)b=(ab)=(ab).向量对于数的分配律（第一分配律）：(+)a=a+a.数对于向量的分配律（第二分配律）：(a+b)=a+b.数乘向量的消去律： 如果实数 0 且 a=b,那么 a=b. 如果 a0 且a=a
3、,那么 =.3、向量的的数量积 定义：已知两个非零向量 a,b.作 OA=a,OB=b,则角 AOB称作向量 a和向量 b的夹角,记作a,b并规定 0a,b 定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量,记作 ab.若 a、b 不共线,则ab=|a|b|cosa,b ；若 a、b 共线,则 ab=+-ab.向量的数量积的坐标表示：ab=xx+yy.向量的数量积的运算律 ab=ba（交换律） ； (a)b=(ab)(关于数乘法的结合律)； （a+b)c=ac+bc（分配律） ； 向量的数量积的性质 aa=|a|的平方.ab =ab=0.|ab|a|b|.向量的数量积与实数运算的主要不同点 1、
4、向量的数量积不满足结合律,即：(ab)ca(bc)；例如：(ab)2a2b2.2、向量的数量积不满足消去律,即：由 ab=ac (a0),推不出 b=c.3、|ab|a|b| 4、由 |a|=|b| ,推不出 a=b 或 a=-b.4、向量的向量积 定义：两个向量 a和 b的向量积（外积、叉积）是一个向量,记作 ab.若a、b 不共线,则 ab的模是：ab=|a|b|sina,b ；ab 的方向是：垂直于 a和 b,且 a、b 和 ab按这个次序构成右手系.若 a、b 共线,则 ab=0.向量的向量积性质：ab是以 a和 b为边的平行四边形面积.aa=0.ab=ab=0.向量的向量积运算律 a
5、b=-ba； （a）b=（ab）=a（b） ； （a+b）c=ac+bc.注：向量没有除法,“向量 AB/向量 CD”是没有意义的.向量的三角形不等式 1、a-ba+ba+b； 当且仅当 a、b 反向时,左边取等号； 当且仅当 a、b 同向时,右边取等号.2、a-ba-ba+b. 当且仅当 a、b 同向时,左边取等号； 当且仅当 a、b 反向时,右边取等号.定比分点 定比分点公式（向量 P1P=向量 PP2） 设 P1、P2 是直线上的两点,P 是 l上不同于 P1、P2 的任意一点.则存在一个实数 ,使 向量 P1P=向量 PP2, 叫做点 P分有向线段 P1P2所成的比.若 P1（x1,y
6、1),P2(x2,y2),P(x,y),则有 OP=(OP1+OP2)(1+)；（定比分点向量公式） x=(x1+x2)/(1+),y=(y1+y2)/(1+).（定比分点坐标公式） 我们把上面的式子叫做有向线段 P1P2的定比分点公式 三点共线定理 若 OC=OA +OB ,且 +=1 ,则 A、B、C 三点共线 三角形重心判断式 在ABC 中,若 GA +GB +GC=O,则 G为ABC 的重心 向量共线的重要条件 若 b0,则 a/b的重要条件是存在唯一实数 ,使 a=b.a/b的重要条件是 xy-xy=0.零向量 0平行于任何向量.向量垂直的充要条件 ab 的充要条件是 ab=0.ab
7、 的充要条件是 xx+yy=0.零向量 0垂直于任何向量.1、线性运算 a+b=b+a (a+b)+c=a+(b+c) (a)=()a. (+)a=a+a. (ab)=ab a,b 共线b=a 2、坐标运算,其中 a（x1,y1）, b(x2,y2) a+b=( x1+x2,y1+y2) a-b=( x1-x2,y1-y2) a=(x1,y1) 点 A(a,b)，点 B(c,d),则向量 AB=（c-a,b-d） 点 A(a,b)，点 B(c,d),则向量 BA=（a-c,b-d） 3、数量积运算 a*b=a*b*cos a*b=b*a (交换律) (*a)*b=*(a*b) =a* (*b)（结合律，注意向量间无结合律）(ab)*c=a*cb*c（分配律） 若 a*(b-c)=0,则 b=c或 a垂直于（b-c） (ab)2=a22a*b+b2 (a+b)*(a-b)=a2-b2 a（x1,y1）, b(x2,y2),则a*b=x1x2+y1y2,a2 =x2+y2,a=x2+y2 a 垂直于bx1x2+y1y2=0；一般地，a 与 b夹角 满足如下条件：cos=a*b/a*b=(x1x2+y1y2)/(x12+y12)*(x22+y22)
