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1、 1 / 42高等数学复习考试（下册）第 8 章 空间解析几何与向量代数一、向量及其运算1、空间直角坐标系空间直角坐标系：三条两两垂直相交于原点的坐标轴， 轴、 轴和 轴构成右手关系。xyz（1） 学会：a）找出空间中给定点的坐标。b）找出空间中以给定 为坐标的点。),(c）空间各部分点坐标的特点。（2） 两点 、 的距离公式),(11zyxM),(22zyxM 212112 )()(zyd 2、向量（1）向量的概念数量：只有大小；向量：既有大小又有方向。向量只有大小和方向。在空间中用有向线段表示向量。其长度表示向量的大小也称为模或范数；其方向表示向量的方向。一个向量可以放在空间中任意位置。（

2、2）特殊向量零向量 ：大小为 0。任意方向都是 的方向。只有一个零向量。0单位向量：大小为 1。有无穷多个单位向量。如果 ，则0aea1是与 方向一致的单位向量，称为 的单位化。a（3）两向量的关系向量 和 有夹角 。b0),(ba当 时说 ；当 时说 。2),(a或ba/（4）向量的坐标把向量 的始点放在原点，得 的终点 ，则有 的分解式a)(,OMMzyxakaji其中 是标准单位向量。 是向量 的坐标。 分别是 在 、kji,zyxzyx,x2 / 42、 轴上的投影； 分别是 在 、 、 轴上的投影向量。yzkajizyx,xyz向量与坐标一一对应。向量的理论分为两部分：用几何描述的向

3、量理论和用坐标描述的向量理论。两部分理论对应地出现，互相翻译。设 、 ，则),(11M)(22M121212112 ,( zyxkzjyix （终点坐标减始点坐标。 ）始点坐标、终点坐标、向量坐标知其二求第三。（5）模和方向余弦设 ，则zyxaa, 22zyxaa22coszyx22zyxa22coszyx其中 分别是 与 、 、 轴的夹角，它们支定了 的方向。,axyza。一次性求出三个方向余弦：222coscos1cos,cosa3、向量运算（1）加减法a）几何方法两向量用平行四边形法则或三角形法则（接龙法）相加。与 大小相等方向相反。 。 )(bab）坐标方法设 ，则zyxzyxbbaa

4、,zyxbaa,（2）数乘向量a）几何方法。 的方向：当 时与 同向；当 时与 反向。a003 / 42b）坐标方法 zyxzyx aa,（3）两向量的数量积a）几何方法 cos(,)ababbprjrj b）坐标方法设 ，则zyxzyxa, xyzababc）物理意义位移 外力 做的功rFWFr（4）两向量的向量积是一个新的向量。baa）几何方法； 成右手关系。),sin(ba baba,)(,b）坐标方法设 ，则zyxzyxa zyxyxzxzyzy bakjibababab ,c）几何意义以 为边的平行四边形的面积。a,（5）三向量的混合积a） 。 。,()bcac ,bacbb）几何意

5、义以 为边的平行六面体的体积。,（6）熟悉各种运算的运算律。4、平行、垂直、共面条件（1）设 。下列命题等价：zyxzyx bbaa,0a） ；b4 / 42b）存在实数 使得 ；abc） ；:xyzad） 。0（2）下列命题等价：a） ；bb） ；0zyxa（3） 共面 。c,cb二、空间解析几何1、一般概念空间几何对象：曲面和曲线。平面是特殊的曲面，直线是特殊的曲线。空间解析几何就是用代数方程研究几何对象。几何对象 和它的代数方程 的关系如下：K（1） 上每点的坐标都满足方程 ；（2）坐标满足方程 的点都在 上。空间解析几何的主要任务:（1）根据已知条件写出几何对象的方程；（2）根据几何对

6、象的方程分析几何对象的形状。2、空间解析几何（1）平面a）点法式方程 0)()()(:00 zCyBxA其中 是 的随便一个固定的法向量， 是随便固定的,CBn 0,Mxy一点。利用条件求出 即可写出平面的点法式方程。0nMb）一般方程 0:DCzByAx其中 是 的法向量。,CBAn)0,(轴/zyx0),(CBA可以用一般式方程写满足条件的平面方程。利用条件求出 即可写出平面的一般,D方程。c）三点式方程5 / 42i）取 10312,MMnii）写出点法式方程。d）截距式方程如果平面 与 轴分别交于非原点 ，则zyx ),0(),0(cba1:zyxe）点 到平面),(00zyxM 0D

7、CzByAx的距离 2200df）设 :111 DzCyBxA0222则 12121212cos(,)nABC 02121212121 :/ Cn（2）直线a）点向式方程 pznymxl000:其中 是 的随便一个固定的方向向量， 是随便固定0,pnms 00(,)Mxyl的一点。利用条件求出 即可写出直线的点向式方程。,sMb）参数方程 ptznymxl0:其中 是 的随便一个固定的方向向量， 是随便固定0,pnms lzyx),(06 / 42的一点， 是参数。tc）一般方程 0:222 111 DzCyBxAl作为平面 和 的交线。l12d）点向式方程 pznymxl000:化为一般方程

8、 pznyl00:e）一般方程化点向式方程：i）求出 方程组的一个解 ；l),(00zxMii）取 ；1212,snABCiii）用 和 写出点向式方程。)(00zyxMsf）两直线 1111:pznymxl2222的夹角 12121212cos(,)snplm 0212112121 :/pnsl直线 zymx000:7 / 42与平面 0:DCzByAx的夹角 222sin(,)smnpl CBAn:/0pnmslg）过直线 :222 111 DzCyBxA的平面束 0)(: 2211 DzCyBxA用已知条件确定 ，从而在平面束中求出满足要求的平面。（3）常见的空间曲面（1）柱面二元方程

9、在空间中表示母线平行于)0,(或0),(或0),(zxFyzFyxF轴的柱面。或或z（2）旋转曲面曲线 绕 轴旋转一周得的旋转曲面的方程为0),(xyf 0),(2xzyf其它曲线绕其它轴转的情况类似（请你试写出来） 。（3）二次曲面a）学会用“截痕法”分析曲面的形状。b）熟悉 P56-P64 列出的各种二次曲面及它们的方程。c）特别常用的曲面：柱面、锥面、 （椭）球面、抛物面。（4）空间曲线a）空间曲线的一般方程（曲线作为两曲面的交线） 0),(zyxGF参数方程8 / 42)(tzyxb）由一般方程写参数方程的常用方法：先由一般方程变形出 ；令1)(221；再进一步写出参数方程。sin)(

10、,co)(21c）曲线在坐标平面上的投影由方程 0),(zyxGF消去 得到在 面上的投影)或或(yxz或或 zx 0),(或0或0,(yxHxHH第 9 章 多元函数微分法及其应用一、 多元函数的极限和连续性1 多元函数的极限（1）计算多元函数极限的方法：（i）要善于变形；（ii）把一组东西看出一个整体，转化为一元函数的极限，再用一元函数求极限的方法求极限。（2）证明极限 不存在：举一些 的方式（比如 ） ，yxfy,lim00yx)(00xky使极限不存在或与方式（ ）有关。k2 多元函数的连续性（1）证明 在 点不连续：（i）用前面方法证明 不存在；或（ii）求f),(0x yxfy,l

11、im0出 。,li0yyx（2）证明 在 点连续就是证明 。f),(0 0,li0xffyx二、 偏导数和全微分1偏导数（1） 在 点的偏导数分两步：（i）作一元函数yxf,),(0；（ii） 。因此yxf,00000, yxfyxfy xffyxf yyx 0000000 ,lim,lim,9 / 42（2）偏导数的几何意义：（i） = 曲线 在 点切线对 轴0,yxf ,0yxfz0y,x的斜率；（ii）曲线 在 点切线对 轴的斜率 = 。关于 ,0yfz0,z0,1fx完全类似。0,yxf（3）当相应的高阶导数连续时，高阶偏导数与求导次序无关。2全微分（1）全微分概念如果存在与 和 无关

12、的 和 使xy0,yxA0,yxB2000 , yxyxffz 则称 在 点可微。 在 点的全微分)(yx)(0yxdyxBdyxABAdz 000 ,关于任意点 的全微分，上面 改为 。当 是复合函数的中间变)(yx)(0yx)()(量时，全微分公式也一样。（2）如果 在 点可微，则 在 点的偏导数都存在，并且f),(0f),(0dyxfdyxfyxyxdz y00,（3） （i） 在 点可微f),(00,lm 20000 yxfyxyx(ii)证明 在 点不可微就是证明极限f),(0y200000 ,li yxyxfffyxf yxyx 不存在或不为 0。3 导数的计算（1）一般函数求导方

13、法：（i）保留求导变元，固定其他变元为常数，得一元函数；（ii）对此一元函数求导。（2）复合函数求导方法：（i）画复合函数图；（ii）根据复合函数图写求导公式（设对求导）：每个 所在的路径都对应一项：此路径中的每个相邻函数关系都求导，这些导xx数相乘作公式的一个求导项；（iii）根据求导公式求得偏导数。 （iv）利用低阶偏导数求高阶偏导数，遇到求偏导函数的导数时，各阶偏导函数与原函数有相同的函数图。 （复合函数10 / 42求导一定要求到底！）（3）隐函数求导方法：（i）把隐函数变量看作其它变量的函数得恒等式（组） ；（ii）对恒等式（组）两边求导得含所求导数的方程（组） ；（iii）解方程（

14、组）得所求导数；（iv）求隐函数的高阶偏导数有两种方法： (a) 利用低阶偏导数求高阶偏导数；(b) 继续对求低阶导数时得的方程（组）求导，得含高阶导数的方程（组） ，解此方程（组）得高阶导数。不管用哪种方法，都要代入低阶导数的结果，都要清清楚楚地知道哪里含有要求导的变量。隐函数求导也可解出隐函数再求导。反函数看作隐函数处理。4 连续、可导、可微、偏导数连续的关系th C3 C2 C3 1th反例： ； ；0yx ,0,1sin2221xyxC： x 2：都在(0,0)点。要熟悉一些典型例题。223,0 0, xy：三、 多元函数微分法的应用1曲线 在 的切向量tzL ： 00,tzt00,xtyzt切线： 000tztytx法平面： 00tzty如果 则用 作参数 。 （用 或 作参数的情况类似）xzyL ： xzL ： y2曲面 在 点的法向量0, F： 0,y00, zyxFzyxzxn切平面： , 000000 Fzyx zy偏导数连续可微可导连续