最全大学高等数学函数、极限和连续.doc

1、第一章 函数、极限和连续1.1 函数一、 主要内容 函数的概念1. 函数的定义: y=f(x), xD定义域: D(f), 值域: Z(f).2.分段函数: 21)(Dxgfy3.隐函数: F(x,y)= 04.反函数: y=f(x) x=(y)=f -1(y)y=f-1 (x)定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y是严格单调增加(或减少)的；则它必定存在反函数：y=f-1(x), D(f-1)=Y, Z(f-1)=X且也是严格单调增加(或减少)的。 函数的几何特性1.函数的单调性: y=f(x),xD,x 1、x 2D当 x1x 2时,若 f(x1)f(x 2),则称

2、 f(x)在 D内单调增加( )；若 f(x1)f(x 2),则称 f(x)在 D内单调减少( )；若 f(x1)f(x 2),则称 f(x)在 D内严格单调增加( )；若 f(x1)f(x 2),则称 f(x)在 D内严格单调减少( )。2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称偶函数：f(-x)=f(x)奇函数：f(-x)=-f(x)3.函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x), x(-，+)周期：T最小的正数4.函数的有界性： |f(x)|M , x(a,b) 基本初等函数1.常数函数： y=c ， (c 为常数)2.幂函数： y=x n , (n为实数)3.指数函数： y=a x ,

3、 (a0、a1)4.对数函数： y=log a x ,(a0、a1)5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon xy=arctan x, y=arccot x 复合函数和初等函数1.复合函数： y=f(u) , u=(x)y=f(x) , xX2.初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数1.2 极 限一、 主要内容极限的概念1. 数列的极限: Aynnlim称数列 以常数 A 为极限;ny或

4、称数列 收敛于 A.n定理: 若 的极限存在 必定有界.nyny2.函数的极限：当 时， 的极限：x)(xfAxfAxf xxx )(lim)(lim当 时， 的极限：0)(xfAfx)(lim0左极限：xfx)(li0右极限：Axfx)(lim0函数极限存的充要条件：定理：Axfxfxf xxx )(lim)(lim)(li 000无穷大量和无穷小量1 无穷大量： )(limxf称在该变化过程中 为无穷大量。fX 再某个变化过程是指：, xxx 000, xxx2 无穷小量： 0)(limf称在该变化过程中 为无穷小量。)(xf3 无穷大量与无穷小量的关系：定理：)0)(,)(1lim0)(

5、lim xfxfxf4 无穷小量的比较： 0li,li 若 ,则称 是比 较高阶的无穷小量；0lim若 （c 为常数） ，则称 与 同阶的无穷小量；li若 ，则称 与 是等价的无穷小量，记作：；1lim若 ,则称 是比 较低阶的无穷小量。lim定理：若： ；， 2211 则： 2121limlim两面夹定理1 数列极限存在的判定准则：设： （n=1、2、3）nnnzxy且： annn limli则： axnnli2 函数极限存在的判定准则：设：对于点 x0的某个邻域内的一切点（点 x0除外）有： )()()( xhxfg且：Axx )(lim)(lim00则：Afx)(li0极限的运算规则若：

6、 BxvAxu)(lim,)(lim则： BAxvxuxvxu )(lim)(li)()(lim li)lili BAxvuxvu)(lim)(li )0)(limxv推论： )()()(lim21 xuuu n)(lim)(li)(li 21 xuxx n )(li)(li xcucnnux)(li)(lim两个重要极限1 或 1sinli0xx 1)(sinlim0)( xx2 exx )1(lim exx 10)(li1.3 连续一、 主要内容 函数的连续性1. 函数在 处连续： 在 的邻域内有定义，0x)(xf01o0)()(limli 0000 xfxfyxx2o)()(li 00

7、ffx左连续：)()(lim00 xfxfx右连续：)()(li 00ffx2. 函数在 处连续的必要条件：0定理： 在 处连续 在 处极限存在)(xf0)(xf03. 函数在 处连续的充要条件：0x定理：)()(lim)(lim)()(lim 00 000 xfxfxfxff xxx 4. 函数在 上连续：ba,在 上每一点都连续。)(xf在端点 和 连续是指：ab左端点右连续；)()(limafxfax右端点左连续。)()(li bffbxa+ 0 b- x5. 函数的间断点：若 在 处不连续，则 为 的间断点。)(xf00)(xf间断点有三种情况：1o 在 处无定义；)(xf02o 不存

8、在；)(lim0fx3o 在 处有定义，且 存在，)(xf0)(lim0xfx但 。)()(lim00 fxfx两类间断点的判断：1o第一类间断点：特点： 和 都存在。)(li0xfx)(lim0xfx可去间断点： 存在，但)(lim0fx，或 在 处无定义。)()(li 00 xffx)(xf02o第二类间断点：特点： 和 至少有一个为，)(lim0xfx)(lim0xfx或 振荡不存在。)(li0fx无穷间断点： 和 至少有一个为)(lim0fx)(lim0xfx函数在 处连续的性质0x1. 连续函数的四则运算：设 ，)()(lim00 xfxfx )()(lim00 xgxgx1o )(

9、)()()(li 000 xfxgfx 2o )()()()(lim000 xgxfxgxfx 3o )()(li 000 xgfxgfx 0)(lim0xgx2. 复合函数的连续性：)(),(),( xfyxufy )()(lim),()(lim 0)(000 xfufx xux 则：)()(li)(li 000 xffxf xx 3. 反函数的连续性：)(),(),( 001 xfyxfxfy )()(lim)()(lim 011000 yffff yx 函数在 上连续的性质,ba1.最大值与最小值定理：在 上连续 在 上一定存在最大值与最小值。)(xf,)(xf,bay y+M Mf(x

10、) f(x) 0 a b xm-M0 a b x2. 有界定理：在 上连续 在 上一定有界。)(xf,ba)(xf,ba3.介值定理：在 上连续 在 内至少存在一点)(xf, ),(，使得： ， cf)(其中： Mcmy y M f(x)C f(x)0 a b xm0 a 1 2 b x推论：在 上 连 续 ， 且 与 异 号)(xf,ba)(af)(bf在 内 至 少 存 在 一 点 ， 使 得 ： 。),(0)(f4.初等函数的连续性：初等函数在其定域区间内都是连续的。第二章 一元函数微分学2.1 导数与微分一、主要内容导数的概念1导数： 在 的某个邻域内有定义，)(xfy0xfxfxyxx )()(limli 00000)()(li0xffx00 )(0xx dyfy 2左导数： 00)()(lim)(0 xffxfx 右导数： 00)()(li)(0 xfffx 定理： 在 的左（或右）邻域上连续在)(xf0其内可导，且极限存在；则：)(lim)(00 xfxfx （或： ）)(li)(00ffx 3.函数可导的必要条件：定理： 在 处可导 在 处连续)(xf0)(xf04. 函数可导的充要条件：定理： 存在 ，)(00xfyx )()(00xff且存在。