期权定价中的蒙特卡洛模拟方法.doc

1、期权定价中的蒙特卡洛模拟方法期权作为最基础的金融衍生产品之一，为其定价一直是金融工程的重要研究领域，主要使用的定价方法有偏微分方程法、鞅方法和数值方法。而数值方法又包括了二叉树方法、有限差分法和蒙特卡洛模拟方法。蒙特卡洛方法的理论基础是概率论与数理统计，其实质是通过模拟标的资产价格路径预测期权的平均回报并得到期权价格估计值。蒙特卡洛方法的最大优势是误差收敛率不依赖于问题的维数，从而非常适宜为高维期权定价。1. 预备知识两个重要的定理：柯尔莫哥洛夫(Kolmogorov)强大数定律和莱维一林德贝格(Levy-Lindeberg)中心极限定理。大数定律是概率论中用以说明大量随机现象平均结果稳定性的

2、一系列极限定律。在蒙特卡洛方法中用到的是随机变量序列同分布的 Kolmogorov 强大数定律：设 为独立同分布的随机变量序列，若12,则有,12,kEk 1(lim)nknp显然，若 是由同一总体中得到的抽样，那么由12,n此大数定律可知样本均值 当 n 很大时以概率 1 收敛于1nk总体均值 。中心极限定理是研究随机变量之和的极限分布在何种情形下是正态的，并由此应用正态分布的良好性质解决实际问题。设 为独立同分布的随机变量序列，若12,则有2,1,kkEDk 1(0,1)nkdN 其等价形式为 。21lim()exp(),nkn tPxxBlack-Scholes 期权定价模型模型的假设条

3、件：1、标的证券的价格遵循几何布朗运动 dStW其中，标的资产的价格 是时间 的函数， 为标的资产的瞬时期望收益率， 为标的资产的波动率， 是维纳过d程。2、证券允许卖空、证券交易连续和证券高度可分。3、不考虑交易费用或税收等交易成本。4、在衍生证券的存续期内不支付红利。5、市场上不存在无风险的套利机会。6、无风险利率 为一个固定的常数。r下面，通过构造标的资产与期权的资产组合并根据无套利定价原理建立期权定价模型。首先，为了得到期权的微分形式，先介绍随机微积分中的最重要的伊藤公式。伊藤Ito公式：设 ， 是二元可微函数，若随机(,)VSt过程 满足如下的随机微分方程S(,)(,)dttdWS则

4、有 221(,)(,)(,)VVVdttStStdt根据伊藤公式，当标的资产的运动规律服从假设条件中的几何布朗运动时，期权的价值 的微分形式为(,)VSt21(VdSdtWt现在构造无风险资产组合 ，即有 ，Sdrt经整理后得到 210VVSrtS这个表达式就是表示期权价格变化的 Black-Scholes 偏微分方程。它同时适合欧式看涨期权、欧式看跌期权、美式看涨期权和美式看跌期权，只是它们的终值条件和边界条件不同，其价值也不相同。欧式看涨期权的终边值条件分别为，(,)max0,TVSTSK0(,)SVST通过求解带有终边值条件的偏微分方程，得出欧式看涨期权的的解析解： ()12(,)()r

5、TtVStNded其中， ， ，21()xdNeln/)(SKtt， 为期权的执行日期， 为期权的执行价格。21dTt欧式看跌期权的终边值条件分别为，(,)max0,TVSTKS0(,)KSV此外，美式看涨期权的终值条件为 ，max,t美式看跌期权的终值条件为 。然而，美(,)ax0,tS式期权的价值没有解析解，我们一般可通过数值方法（蒙特卡洛模拟、有限差分法等）求得其近似解。风险中性期权定价模型如果期权的标的资产价格服从几何布朗运动 dSrtW即标的资产的瞬时期望收益率 取为无风险利率 。同理，r根据伊藤公式可以得到 2ln()dSrdt2 22ln()()(,()Tt TtSrtWNrTt

6、t2exp()(Tt tSr对数正态分布的概率密度函数：设 ， ，2(,)Ne则 的密度函数为21(ln)exp0()20xPx根据上述公式，得到标的资产 的密度函数如下TS22(ln)(1exp)0()20trTtSxPxTt 在风险中性概率测度下，欧式看涨期权定价为： (,)exp()max0,QTVStrTtESK2222(ln)(1max0,ep)2(l)(x)QTKK rtE dxtrTtSxt 接下来，求解以上风险中性期望。首先，对上式的右边第一个广义积分分别作变量替换和 ，可以得到2ln()xrTtSyuyTt22 22 22ln()() () ()1ln()(ln)(1exp1

7、1K SrTtu uKrTt rTt rTtKrTtSrSdxtedeedSNd 再对等式的右边的第二个无穷积分，令，可求得2ln()xrtuTt22 22 22ln() 2ln()(l)(ep11()K SKrTtu utSrTtt xrtdxxtdeKNd 将以上的计算结果代入期望等式中，得到欧式看涨期权的价格公式为： () ()12(,)max0,()rTtQ rTtTVSteESKNded 其中， ， 。21lntKd21dt可以看出，对于欧式看涨期权的风险中性定价方法的结果与基于资产复制的偏微分方程定价方法的结果是一致的。基于风险中性的期权定价原理在于：任何资产在风险中性概率测度下，

8、对于持有者来说都是风险偏好中性的，便可用风险中性概率求取期权的期望回报再将其进行无风险折现便是初始时刻的期权价值。蒙特卡洛模拟方法就是一种基于风险中性原理的期权数值定价方法。2. 蒙特卡洛模拟方法及其效率假设所求量 是随机变量 的数学期望 ，那么近似E确定 的蒙特卡洛方法是对 进行 n 次重复抽样，产生独立同分布的随机变量序列 ，并计算样本均值12,。那么根据 Kolmogorov 强大数定律有1nnk。因此，当 n 充分大时，可用 作为所(lim)np n求量 的估计值。由中心极限定理可得到估计的误差。设随机变量 的方差 ，对于标准正态分布的上 分位数 ，有2D22Z2221()exp()1

9、Zn tpZdn 这表明，置信水平 对应的渐近置信区间是。实际上，由此可确定蒙特卡洛方法的概率2n化误差边界，其误差为 ，误差收敛速度是 。2Zn12()On不难看出，蒙特卡洛方法的误差是由 和 决定的。在对同一个 进行抽样的前提下，若想将精度提高一位数字，要么固定 ，将 n 增大 100 倍；要么固定 n 将 减小 10 倍。若两个随机变量 的数学期望 ，12, 12E，那么无论从 或 中抽样均可得到 的蒙特卡洛122估计值。比较其误差，设获得 的一个抽样所需的机时为 ，i it那么在时间 T 内生成的抽样数 ，若使 ，则iiTnt12n需使 。因而，若要提高蒙特卡罗方法的效率，不能12t单

10、纯考虑增加模拟的次数 n 或是减小方差 ，应当在减小2方差的同时兼顾抽取一个样本所耗费的机时，使方差 与2机时 t 的乘积尽量的小。3. 蒙特卡洛模拟方法为期权定价的实现步骤期权定价的蒙特卡洛方法的理论依据是风险中性定价原理：在风险中性测度下，期权价格能够表示为其到期回报的贴现的期望值，即 ，其12exp()(,)QTPErTfS中的 表示风险中性期望，r 为无风险利率， T 为期权的QE到期执行时刻， 是关于标的资产价格路径的12(,)TfS预期收益。由此可知，计算期权价格即就是计算一个期望值，蒙特卡洛方法便是用于估计期望值，因此可以得到期权定价的蒙特卡洛方法。一般地，期权定价的蒙特卡洛模拟

11、方法包含以下几步（以欧式看涨期权为例）:(l)在风险中性测度下模拟标的资产的价格路径将时间区间 分成 n 个子区间 ，标0,T012ntttT的资产价格过程的离散形式是，2111()()1()iiiirttttzj ji iStSte (0,1)iN(2)计算在这条路径下期权的到期回报，并根据无风险利率求得回报的贴现 exp()ma0,j jTCrSK(3)重复前两步，得到大量期权回报贴现值的抽样样本(4)求样本均值，得到期权价格的蒙特卡洛模拟值 11exp()ax0,1exp()mjTmjjMCj rTSKrTC另外，我们还可以得到蒙特卡洛模拟值与真值的概率化误差边界，这也是蒙特卡洛方法为期

12、权定价的优势之一。由于 ，m 条路径的收益均值为exp()a0,j jTCrSK，m 条路径的方差为 ，则可1jmeani2var1()mjeaniCC得 95%的置信区间为 。ar var1.96,.96meanmen例 1：假设无红利的股票 A，初始价格为￥6，价格过程服从几何布朗运动，年预期收益率为 10%，收益率的波动率为每年 25%，时间步长为 0.01 年（1 年为 100 时间步） ，给定数据， ，以及 100，用蒙特卡06,.1,0.25Sd洛方法模拟资产的价格路径如下： 21(0.5)0.1.50.1()iAtSte0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1

13、005.755.85.855.95.9566.056.16.156.26.25 Monte Carlo Price Path SimulationPeriodPrice（1）0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1005.25.45.65.866.26.46.6 Monte Carlo Price Path SimulationPeriodPrice（2）图（1）蒙特卡洛方法模拟股票 A 价格路径，图（2）蒙特卡洛方法模拟股票 B 价格路径。若无红利的股票 B、C 、D ，其价格均为 ￥6，股票 B的期望收益率为 0.1，波动率为 0.6；股票 C 的期望收益率为 0.5，

14、波动率为 0.25；股票 D 的期望收益率为 0.5，波动率为 0.6，分别用蒙特卡洛方法模拟该三种股票在一年内的价格路径如下： 21(0.6)0.1.60.1()iBStSte21(0.5.)0.1.50.1()iCStSte2(.6).6.iD0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1005.855.95.9566.056.1 Monte Carlo Price Path SimulationPeriodPrice（3）0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1005.45.65.866.26.46.66.87Monte Carlo Price Path SimulationPeriodPrice（4）图（3）蒙特卡洛方法模拟股票 C 价格路径，图（4）蒙特卡洛方法模拟股票 D 价格路径。从图中可以看出，股票 C 和股票 D 的价格上升速度较快，而股票 B 和股票 D 的价格波动比较大。这是与股票 C和股票 D 价格的期望收益率较高，股票 B 和股票 D 价格的波动率较高相对应的。欧式看涨期权 ，通过06,2,0.1,.25,1SKrTBlack-Scholes 公式计算得的精确值为 ，蒙特卡洛模493C拟的价格为 ，其蒙特卡洛模拟图如下：4.178C