1、1三角形 “心”的向量关系我们都知道，在三角形中，因为有三边和三角，故有很多的心。其中作为学生应掌握的四个心：重心，内心，外心，垂心。不仅要理解其定义、性质，还需了解和分析其向量的表示形式。由于向量是一种研究几何图形的另一种工具，所以我们有必要对它们进行整理和归纳，让同行借鉴。一各心的定义。1 重心：三角形三条边的中线的交点。其性质一是连接重心和顶点，延长后必交于对应边的中点。其性质二是重心把中线长分成 2：1 。2 垂心：三角形三边的高线的交点。其性质为垂心与顶点的连线必与对应的边垂直。3 外心：三角形三边的中垂线的交点，即三角形的外接圆的圆心。其性质是外心到三顶点等距离。4 内心：三角形三
2、内角平分线的交点，即三角形的内切圆的圆心。其性质是内心到三边等距离。二各心的向量表示。在三角形 ABC 中，点 为平面内一点，若满足：O1 ，则点 为三角形的重心。0CBOA分析：由 ，以 为邻边作一平行四边形 ，BC, OBEC点 D 为 BC 中点，如图，由向量的平行四边形法则，有 ，交 BC 于 D，从而有OCE ADE2故 为重心。2ABCODE2 ，则点 为三角形的外心。OCA3 ，AB或者 ，则点 为三角形的垂心。22222 BOC O分析：由 有三个等式，其中一个如 ，OA OCBA则有 ，有 ，故 。同理可证，点 为三0)(CB0AOBCB角形的垂心。D而在三角形 ABC 中，
3、记 ， ， ，则由OAaBbOCc22BACOB，展开为 ，则2)()(bcaba cab20)(b故 ，同理可证 ，从而点 为三角形的垂心。OAC4 ，则点 为三角形的内心。0BABC分析：若点 为三角形 的内心。如图，延长 ，过点 C 作 ，由OOBOE/3于 相似，有 ，由 AD 为角 A 的平分线，有CDEBO与 DBCO，从而有 ， 故AA,EOBCEE同理可得， ， ，而 BO 为角 B 的内角平分线，BCDOBCO，AB有 ，故AE AE而 ，所以 ，OBCB，有OCOABC 0三动点的轨迹过三角形心的问题：设点 P 为三角形 所在平面内的一个定点，点 Q 为平面内的一个动点，若
4、满足：1 ， （其中 ） ，则动点 Q 一定过 的重心。)(ACBQR,0ABC2 ， （其中 ） ，则动点 Q 一定过 的内心。)(ABP,0分析：由于 表示 方向的单位向量之和，由菱形性质可知，C,4为角 A 的内角平分线。)(CAB3 （其中 ） ，则动点 Q 一定过)coscos(CPQ R,0的垂心。分析：下面只需说明 的性质。ABcoscos如图，在 中， 延长 AD，过点 B 作 记AC,D,/ACM,1BDa,2a则 ， ，故有,b,Bc21abMbB21a21， ，2aADAD2A2BCOMc12由 ，从而有 ，BAACaBDa212，有 与 共线，ACaDcoscos2121 DCABcoscos从而， 与 垂直。CABcoscos B54 （其中 ） ，则动点 Q 一定)coscos(2CABPCBQ R,0过 的外心。A四三角形的外心 与它的垂心 H 的关系：O。)(2CBACBH在 中，以 BC 所在的直线为 x 轴，BC 的中点为原点建立坐标系。设 ，A ),(1yxA， 。则不难求得它的外心坐标 ，从而有)0,(2xB),(2C )2(,012yxO。它的垂心坐标 ，从而有)(3,1221yxOA ),(12H。)(,(1221HCB向量作为一种新的计算工具，其在不少的规律上有简明的表现，只要我们用心去发现，还能找到更加美丽的关系的。
