1、求函数解析式常用的方法求函数解析式常用的方法有：待定系数法、换元法、配凑法、消元法、特殊值法。以下主要从这几个方面来分析。（一）待定系数法待定系数法是求函数解析式的常用方法之一，它适用于已知所求函数类型（如一次函数，二次函数，正、反例函数等）及函数的某些特征求其解析式的题目，它在函数解析式的确定中扮演着十分重要的角色。其方法：已知所求函数类型，可预先设出所求函数的解析式，再根据题意列出方程组求出系数。例 1：已知 是二次函数，若 且()fx(0),f试求 的表达式。()1fx()f解析：设 (a 0)2()fxabc由 得 c=0 由 得0,f (1)(1fxfx22(1)()axcc整理得
2、2()abxaxbc得 212001()abcbcfxx小结：我们只要明确所求函数解析式的类型，便可设出其函数解析式，设法求出其系数即可得到结果。类似的已知 f(x)为一次函数时，可设 f(x)=ax+b(a0)；f(x)为反比例函数时，可设 f(x)= (k0) ；f(x)为二次kx函数时，根据条件可设一般式：f(x)=ax2+bx+c(a0) 顶点式：f(x)=a(x-h)2+k(a0) 双根式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a0)（二）换元法换元法也是求函数解析式的常用方法之一，它主要用来处理不知道所求函数的类型，且函数的变量易于用另一个变量表示的问题。它主要适用于已知复合函数的
3、解析式，但使用换元法时要注意新元定义域的变化，最后结果要注明所求函数的定义域。例 2：已知 求 的解析式。(1)21,fxx()f解析：如果把 视为 ，那左边就是一个关于 的函数t t,只要在等式 中，用 表示 ,将右边化为 的表达式，()ftxx问题即可解决。令 1t220()(1)xtftttx小结：已知 fg(x)是关于 x 的函数，即 fg(x)=F(x)，求 f(x)的解析式，通常令 g(x)=t，由此能解出 x=(t)，将 x=(t)代入 fg(x)=F(x)中，求得 f(t)的解析式，再用 x 替换 t，便得 f(x)的解析式。注意：换元后要确定新元 t 的取值范围。换元法就是通
4、过引入一个或几个新的变量来替换原来的某些变量的解题方法，它的基本功能是：化难为易、化繁为简，以快速实现未知向已知的转换，从而达到顺利解题的目的。常见的换元法是多种多样的，如局部换元、整体换元、三角换元、分母换元等，它的应用极为广泛。(三)配凑法已知复合函数 的表达式，要求 的解析式时，若()fgx()fx表达式右边易配成 的运算形式，则可用配凑法，使()fgx用配凑法时，要注意定义域的变化。例 3：已知 求 的解析式。(1)2,fxx()f分析： 可配凑成 可用配凑法2解：由 2()()1fxx令 1t0xt则 即2()1f2()1()fx当然，上例也可直接使用换元法令 则txt得22(1)(
5、1)ftt即 2()x由此可知，求函数解析式时，可以用配凑法来解决的，有些也可直接用换元法来求解。例 4：已知 求 .21(),fxx()f分析：此题直接用换元法比较繁锁，而且不易求出来，但用配凑法比较方便。解析：由 221()()fxx令 10tt由 即 得024tR即：()f2()()fx实质上，配凑法也缊含换元的思想，只是不是首先换元，而是先把函数表达式配凑成用此复合函数的内函数来表示出来，在通过整体换元。和换元法一样，最后结果要注明定义域。(四)消元法，此方法的实质是解函数方程组。消元法适用的范围是：题高条件中，有若干复合函数与原函数 混合运算，则要充分利用变量代换，然后联立方程组消去
6、fx其余部分。例 5：设 满足 求 的解析式。()f1()2,fxfx()f分析：要求 可消去 ,为此，可根据题中的条件再找一个关于 与 的等式，通过解方程组达到消元的目的。()fx1f解析： 2()x显然， ,将 换成 得0x.1()ff由2()1fxfx消去 ，得()fx123小结：消元法适用于自变量的对称规律。互为倒数，如 f(x)、 ；1()fx互为相反数，如 f(x)、f(-x)，通过对称代换构造一个对称方程组，解方程组即得 f(x)的解析式。（五）赋值法赋值法是依据题条件的结构特点，由特殊到一般寻找普遍规律的方法。其方法：将适当变量取特殊值，使问题具体化、简单化，依据结构特点，从而
7、找出一般规律，求出解析式。例 5：已知 求 。(0)1,()(21),ffabfab(fx解析：令 0,a则 2()(1)1fbfb令 x则 2()f小结：所给函数方程含有 2 个变量时，可对这 2 个变量交替用特殊值代入，或使这 2 个变量相等代入，再用已知条件，可求出未知的函数，至于取什么特殊值，根据题目特征而定。通过取某些特殊值代入题设中等式，可使问题具体化、简单化，从而顺利地找出规律，求出函数的解析式。总之，求函数解析式的常用方法有：配凑法、换元法、待定系数法、消元法等。如果已知函数解析式的类型，可用待定系数法；已知复合函数解析式时，可用换元法，这时要注意“元”的取值范围；当已知的表达式比较简单时，可用配凑法；若已知抽象的函数表达式，根据题目的条件特征，可用赋值法或解方程组消元的方法求解析式
