1、求函数解析式的九种常用方法一、换元法已知复合函数 f g（x）的解析式，求原函数 f（x）的解析式， 把 g（x）看成一个整体t，进行换元，从而求出 f（x）的方法。例 1 已知 f（ ）= ，求 f（x）的解析式 .112解： 设 = t ，则 x= （t 1） ，xf（t）= = 1+ +（t 1）= t2 t+11)(2tt 2)(t故 f（x）=x 2x+1 （x1）.评注: 实施换元后,应注意新变量的取值范围,即为函数的定义域.二、配凑法例 2 已知 f（ +1）= x+2 ，求 f（x）的解析式.x解： f（ +1）= +2 +11= 1，2)( 2)( f（ +1）= 1 （ +
2、11） ，将 +1 视为自变量 x，则有xxxf（x）= x 21 （x1）.评注: 使用配凑法时，一定要注意函数的定义域的变化，否则容易出错.三、待定系数法已知函数解析式的类型，可设其解析式的形式，根据已知条件建立关于待定系数的方程，从而求出函数解析式的方法。例 3 已知二次函数 f（x）满足 f（0）=0，f（x+1 ）= f（x）+2x+8，求 f（x）的解析式.解：设二次函数 f（x）= ax 2+bx+c，则 f（0）= c= 0 f（x+1）= a +b（x+1）= ax 2+（2a+b）x+a+b )1(由 f（x+1）= f（x）+2x+8 与、 得解得 故 f（x）= x2+
3、7x.82b.7,1ba评注: 已知函数类型，常用待定系数法求函数解析式.四、消去法（方程组法）例 4 设函数 f（x）满足 f（x）+2 f（ ）= x （x0） ，求 f（x）函数解析式.1分析：欲求 f（x） ，必须消去已知中的 f（ ） ，若用 去代替已知中 x，便可得到另一个方程，联立方1程组求解即可.解： f（x）+2 f（ ）= x （x0） 1由 代入得 2f（x）+f（ ）= （x0） 1解 构成的方程组，得 f（x）= （x0）.32评注：方程组法求解析式的关键是根据已知方程中式子的特点，构造另一个方程练习：已知定义在 R 上的函数 满足 ，求 的解析式。五、特殊值法例 5
4、 设是定义在 R 上的函数，且满足 f（0）=1，并且对任意的实数 x，y，有f（x y）= f（x） y（ 2xy+1） ，求 f（x）函数解析式.分析：要 f（0）=1，x，y 是任意的实数及 f（xy）= f （x） y（2xy+1） ，得到f（x）函数解析式，只有令 x = y.解： 令 x = y ，由 f（xy）= f（x） y（2xy+1 ） 得f（0） = f（x ） x（2x x+1） ，整理得 f（x）= x 2+x+1.练习： 已知函数 的定义域为 R，并对一切实数 x，y 都有 ，求 的解析式。六、对称性法即根据所给函数图象的对称性及函数在某一区间上的解析式，求另一区间
5、上的解析式.例 6 已知是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f（x）=2xx 2，求 f（x）函数解析式.解：y=f（x）是定义在 R 上的奇函数， y=f（x）的图象关于原点对称.当 x0 时，f（x）=2x x 2 的顶点（1，1） ，它关于原点对称点（1，1） ，因此当 x0 时，y= 1= x2 +2x.故 f（x）=)( x2评注: 对于一些函数图象对称性问题,如果能结合图形来解,就会使问题简单化.x0，x0.七、函数性质法利用函数的性质如奇偶性、单调性、周期性等求函数解析式的方法。例 6. 已知函数 是 R 上的奇函数，当 的解析式。解析：因为 是 R 上的奇函数，所以 ，当 ，所以八、反函数法利用反函数的定义求反函数的解析式的方法。例 7. 已知函数 ，求它的反函数。解：因为 ，反函数为九、“即时定义”法给出一个“即时定义”函数，根据这个定义求函数解析式的方法。例 8. 对定义域分别是 的函数 ，规定：函数若 ，写出函数 的解析式。
