全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法(有答案).doc

1、- 1 -全等三角形问题中常见的辅助线的作法总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”： 遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为 60 度或 120 度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为 30、60 度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为 30 度或 60 度，可以从角一边上一点向角的另一

2、边作垂线，目的是构成 30-60-90 的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或 30-60-90 的特殊直角三角形，或 40-60-80 的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对

3、折”法构造全等三角形2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 法构造全等三角形3) 遇到角平分线在三种添辅助线的方法， （1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作- 2 -D CBAEDFCBA垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折” ，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理 （2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。 （3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。4) 过图形上某一点作特定的平

4、分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目6) 已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答一、倍长中线（线段）造全等例 1、 （“希望杯”试题）已知，如图ABC 中，AB=5，AC=3，则中线 AD 的取值范围是

5、_.例2、如图，ABC 中，E、F 分别在 AB、AC 上，DEDF，D 是中点，试比较 BE+CF 与 EF 的大小.例 3、如图，ABC 中，BD=DC=AC，E 是 DC 的中点，求证：AD 平分BAE.- 3 -ED CBA应用：1、 （09崇文二模）以 的两边AB 、 AC为腰分别向外作等腰Rt 和等腰RtABCABD， 连接DE ， M、 N分别是 BC、 DE的中点探究：AM与DEACE90,DE的位置关系及数量关系（1）如图 当 为直角三角形时，AM与DE的位置关系是 ，线段AM与DE 的数量关系是 ；（2）将图中的等腰Rt 绕点A沿逆时针方向旋转 (0AD+AE.ED CBA

6、四、借助角平分线造全等1、如图，已知在ABC 中，B=60，ABC 的角平分线 AD,CE 相交于点 O，求证：OE=OD2、如图，ABC 中，AD 平分BAC，DGBC 且平分 BC，DEAB 于 E，DFAC 于 F. （1）说明 BE=CF 的理由；（2）如果 AB= ，AC= ，求 AE、BE 的长.ab EDGFCBA- 7 -NMEFACBAFEDCBA应用：1、如图，OP 是MON 的平分线，请你利用该图形画一对以 OP 所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图，在ABC 中，ACB 是直角，B=60，AD、CE 分别是BAC、BCA

7、 的平分线，AD 、CE 相交于点 F。请你判断并写出 FE 与 FD 之间的数量关系；（2）如图，在ABC 中，如果ACB 不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。五、旋转例1 正方形 ABCD 中，E 为 BC 上的一点，F 为 CD 上的一点，BE+DF=EF，求EAF 的度数.例 2 D 为等腰 斜边 AB 的中点，DMDN,DM,DN 分别交 BC,CA 于点 E,F。RtABC（1） 当 绕点 D 转动时，求证 DE=DF。MN（2） 若 AB=2，求四边形 DECF 的面积。(第 23 题图)O PAMNE

8、BCDFA CEFBD图 图 图- 8 -例 3 如图， 是边长为 3 的等边三角形， 是等腰三角形，且 ，ABCBDC012BDC以 D 为顶点做一个 角，使其两边分别交 AB 于点 M，交 AC 于点 N，连接 MN，则06的周长为 ；MN B CDNMA应用：1、已知四边形 中， ， ， ， ，ABCDABAB120， 绕 点旋转，它的两边分别交 （或它们的延长线）60MN DC，于 EF，当 绕 点旋转到 时（如图 1） ，易证 EFEF当 绕 点旋转到 时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成B AC立？若成立，请给予证明；若不成立，线段 ， 又有怎样的数量关系？请写出，

9、你的猜想，不需证明（图 1）CDEFMN（图 2）BCDEFMN（图 3）ABCDEFMN- 9 -2、 （西城 09 年一模）已知:PA= ,PB=4,以 AB为一边作正方形 ABCD,使 P、D 两点落在2直线 AB的两侧.(1)如图,当APB=45时,求 AB及 PD的长;(2)当APB 变化,且其它条件不变时,求 PD的最大值,及相应APB 的大小.3、在等边 的两边 AB、AC 所在直线上分别有两点 M、N，D 为 外一点，且ABC ABC, ,BD=DC. 探究：当 M、N 分别在直线 AB、AC 上移动时，60MDN120BM、NC 、MN 之间的数量关系及 的周长 Q 与等边

10、的周长 L 的关系A图 1 图 2 图 3（I）如图 1，当点 M、N 边 AB、AC 上，且 DM=DN 时，BM、NC、MN 之间的数量关系是 ； 此时 ； LQ（II）如图 2，点 M、N 边 AB、AC 上，且当 DM DN 时，猜想（I ）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明； （III） 如图 3，当 M、N 分别在边 AB、CA 的延长线上时，若 AN= ，则 Q= （用 、L 表示） xx- 10 -D CBAEDFCBA参考答案与提示一、倍长中线（线段）造全等例 1、 （“希望杯”试题）已知，如图ABC 中，AB=5，AC=3，则中线 AD 的取值范围是_.解：延长

11、AD 至 E 使 AE2AD，连 BE，由三角形性质知AB-BE 2ADAB+BE 故 AD 的取值范围是 1AD4例2、如图，ABC 中，E、F 分别在 AB、AC 上，DEDF，D 是中点，试比较 BE+CF 与 EF 的大小.解：(倍长中线,等腰三角形“三线合一”法)延长 FD 至 G 使 FG2EF，连 BG，EG,显然 BGFC，在EFG 中，注意到 DEDF，由等腰三角形的三线合一知EGEF在BEG 中，由三角形性质知EGBG+BE 故：EFBE+FC例 3、如图，ABC 中，BD=DC=AC，E 是 DC 的中点，求证：AD 平分BAE.ED CBA解：延长 AE 至 G 使 AG2AE，连 BG，DG,显然 DGAC， GDC=ACD