三角函数知识点整理.doc

1、三角函数知识点- 1 -1. 角的有关概念(1)角的概念：角可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的。射线的端点叫做角的顶点;旋转开始时的射线叫做角的始边;旋转终止时的射线叫做角的终边。(2)正角、负角和零角按逆时针方向旋转而成的角叫做正角；按顺时针方向旋转而成的角叫做负角；当一条射线没有作任何旋转时而成的角叫做零角.(3)象限角在平面直角坐标系下,使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与 x 轴的正半轴重合,角的终边落在第几象限,就把这个角称做第几象限角,若角的终边落在坐标轴上,称为轴线角,这个角不属于任何象限.(4)各个象限的半角范围可以用下图记忆，图中的、分别指第一、二、三、四象限角的半角

2、范围；(5)终边相同的角与 角终边相同的角所组成的集合:S=2,kz2. 角度制与弧度制设扇形的弧长为 ，圆心角为 （rad）,半径为 R，面积为 Sla角 的弧度数公式a2( /360)角度与弧度的换算360=2 rad1=/180rad1rad=1 80/=5718 57.3弧长公式 Ral扇形的面积公式 S23. 任意角的三角函数三角函数（6 个）表示： 为任意角，角 的终边上任意点 P 的坐标为 ，它与原点的距离为aa),(yx20rxy（r0,当点 P 在单位圆上时，r=1）那么角 的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分别是：， ， ， ， ， .rasinrxcosxyatnyxc

3、otxrasecyrsc4. 同角三角函数关系式 倒数关系： 商数关系： ， 1t acosint asinot平方关系： cossin22a三角函数知识点- 2 -5. 三角函数符号规律sincostan6. 特殊锐角（ 0，30 ，45，60，90）的三角比的值l7. 诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限）k /2+ 所谓奇偶指的是整数 k 的奇偶性a公式 三角函数sincostan诱导公式一 sin)2(kcos)2(k tan)2(k诱导公式二 诱导公式三 sin co诱导公式四 sin)(s)(诱导公式五诱导公式六注：三角函数知识点- 3 -8. 两角和与差的三角函数：（1） 两角和与

4、差公式：sin()sicosin,si()sincosincocotantata,ta1t1t （2） 二倍角公式： 222sinicosconssintat1升 幂 公 式2 2ssin1cosi(co降 幂 公 式 ）（3）半角公式（可由降幂公式推导出）：， ，2cs1sina2cos1a aasinco1icos1tn（4）辅助角公式（5）三角函数的积化和差，可得：（6）三角函数的和差化积公式9.三角函数的图像和性质：（其中 ）zk三角函数知识点- 4 -三角函数 xysinxycosxytan图象定义域 R R 2kx值域 -1,1 -1,1 R最小正周期 2T2TT奇偶性 奇 偶 奇

5、单调性,2k单调递增 3,单调递减,)1(k单调递增 2单调递减)2,(k单调递增对称性 （对称轴）2kx（对称中心）)0,(（对称轴）kx（对称中心）)0,2(（对称中心）)0,2(k零值点 kxkx最值点,2kx1maxy,in， ；1maxy，)2(in 无10.函数 的图像与性质：)sin(xAy（本节知识考察一般能化成形如 图像及性质）)si(xAy（1） 函数 和 的周期都是)sin(xyco2T（2） 函数 和 的周期都是taA)t(xy（3） 五点法作 的简图，设 ，取 0、 、 、 、 来求相应 的值以及对应)sin(xy t232x的 y 值再描点作图。X0232t sin

6、()Ax0A0A0三角函数知识点- 5 -（4） 经过变换变为 的步骤：sinyxsinyxA（ ）方法 1：先平移后伸缩 1si sisiniyxyxyx 横 坐 标 变 为 原 来 的 倍纵 坐 标 不 变向 左 或 向 右平 移 个 单 位纵 坐 标 变 为 原 来 的 A倍横 坐 标 不 变 （ ） （ ） 方法 2：先伸缩后平移 1sinsini()sinyxyxyx 向 左 或 向 右平 移 个 单 位横 坐 标 变 为 原 来 的 倍纵 坐 标 不 变纵 坐 标 变 为 原 来 的 A倍横 坐 标 不 变 （ ）（ ）（5） 函数的平移变换： 将 图像沿 轴向左（右）平移 个单位

7、)0()(axffy )(fyxa（左加右减） 将 图像沿 轴向上（下）平移 个单位)()(bff )(fyb（上加下减）函数的伸缩变换： 将 图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的 倍（ 缩短， )0()(wxfyxfy )(xfy w1伸长）10w 将 图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的 A 倍（ 伸长，)()(Aff )(f缩短）A函数的对称变换： ) 将 图像绕 轴翻折 180（整体翻折）()(xfyxfy)(xfyy（对三角函数来说：图像关于 轴对称） 将 图像绕 轴翻折 180（整体翻折）)()(ff )(f（对三角函数来说：图像关于 轴对称）y 将 图像在 轴右侧保留，并把右侧图像绕

8、轴翻折到左侧（偶函数局)()(xfyxfy)(xfyy部翻折） 保留 在 轴上方图像， 轴下方图像绕 轴翻折上去（局部翻动）)()(ff)(fyxx11.正、余弦定理：三角函数知识点- 6 -正弦定理：在 中有:ABC（ 为 外接圆半径）2sinisinabcRABC2isinRAbBcCis2inabRcC面积公式： 11sisisin22ABCSabaBbcA余弦定理：在三角形 中有:2222cosabAaBcC2222coscosbcaABabcC5.三角变换：三角函数知识点- 7 -三角变换是运算化简过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算、化

9、简的方法技能。（1） 角的变换：角之间的和差、倍半、互补、互余等关系对角变换，还可作添加、删除角的恒等变形（2） 函数名称变换：三角变形中常常需要变函数名称为同名函数。采用公式：其中)sin(cossin2baba 22sin,cosbaba（3） 常数代换：在三角函数运算、求值、证明中有时候需将常数转化为三角函数，特别是常数“1” 。（4） 幂的变换：对次数较高的三角函数式一般采用降幂处理，有时需要升幂例如： 常用升幂化acos1为有理式。（5） 公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用、逆用及变形。（6） 结构变化：在三角变换中常常对条件、结论的结构进行调整，或重新分组，或

10、移项，或变乘为除，或求差等等。在形式上有时需要和差与积的互化、分解因式、配方等。（7） 消元法：如果所要证明的式子中不含已知条件中的某些变量，可用此法（8） 思路变换：如果一种思路无法再走下去，试着改变自己的思路，通过分析比较去选择更合适、简捷的方法去解题目。（9） 利用方程思想解三角函数。如对于以下三个式子： ，acosinacosin， 已知其中一个式子的值，其余二式均可求出，且必要时可以换元。acosin6.函数的最值（几种常见的函数及其最值的求法）： （或 型：利用三角函数的值域，须注意对字母的讨论bxyi)cosbxa 型：引进辅助角化成 再利用有界性asn )sin(2xbay 型

11、：配方后求二次函数的最值，应注意 的约束cxyii2 1i 型：反解出 ，化归为 解决dcbsinsin1six 型：常用到换元法： ，但须注意 的取值范围：cxxayo)o( xtcosint。2t（3）三角形中常用的关系：， ， ，)sin(iCBA)cos(CBA2cosinCBA， 22三角函数值域总结：三角函数知识点- 8 -注意：定义域的取值1、应用提斜公式，形如 可直接用公式。cbayossin形如 ，逆用倍角公 式化成提斜的形式。dxx22形如 或 的的函数（式中也可以是同名函数） ，先 )s(si)cos(inxay、用和差化积公式展开，化归为例 1、例 2 的形式求最值.形

12、如 的函数可将 看作参数，利用提斜公式。dxcbayosiny2、利用倍角公式、半角公式、化同名三角函数，然后配方3、 “1”的妙用，形如 sinx cosx sinx cosx 在 关系式中时，可以应用换元处理，令 t=sinx cosx，则 sinx cosx = 把 三角问题化为代数为题来处理。2t-14.形如 的函数用分离变量法分离常数，利用 sinx 的有界性求解.sinabycd5、形如 的函数可将 看作参数，化归为例 1 的形式求解xosiy6、求同时含有 与 （或 ）的函数的值域，一般令 (或cinxcosixcosin txcosin) 可以化归为求 在区间上的值域，要注意

13、的取值范围.txcsin bta2 t例：函数 的定义域为 ，值域为 ，求常数 .)0(sino2xay 2,00,4ba,解; bxcsbxasini122i,42sin1, 1,4atxytbt令 则)2, 0,()4,.2,2att bab若 则 当 时 取 最 大 值 即而 当 时 取 最 小 值 即 联 立 解 得)0, ,10(3)1,4,(4).24(346, ,.,aaitybtybaab若 则 当 时 取 最 大 值 即 而 当 时 取 最 小 值 即联 立 解 得 或 经 检 验 都 不 合 题 意 舍 去综 上 所 述1、求 的最小值，并求使 取最小值时 的集合.xxy2

14、2cos3sini yx2、求 的值域。)(三角函数知识点- 9 -3、求 的值域.1)32cos(inxy4、若函数 的最大值为 1，则 = 4aa5、函数的 有最大值 2，最小值-1，求实数 的值。xbcos)in( ba,6、若函数 的定义域为 ，值域为 ，求常数 的值。xy2si2 ,015ba,7、求函数 的最大值和最小值.co8、求函数 的值域； 4sin52xy9、求函数 的值域。32,si10、函数 的最小值是 )6)(1)(cosxxy11、求函数 的最大值。ini12、函数 的定义域为 ，值域为 ，求常数 的值。baas2s 2,01,5ba,13、函数 的最大值为 3，求

15、 的值。)(coic1)( Rxxxf a三角函数的单调性的基本方法：函数 的单调区间的确定 1、首先要看 A、 是否为正，若 为负，则先应用sin()yAxk诱导 公式化为正 2、然后将 x+ 看作一个整体，化为最简式，再结合 A 的正负，在 和22,kxkz两个区间内分别确定函数的单调增减区间。3,2kxkz例题：1、求函数 在区间-2，2的单调增区间。)13sin(xy解：利用诱导公式把函数转化为标准函数（ ）的形式：sin(),0yAx)321sin()213sin( xxy把标准函数转化为最简函数（ ）的形式：iy令 ，原函数变为123zx1sin()sin23xz讨论最简函数 的单

16、调性：siyz从函数 的图像可以看出， 的单调增区间为 ， 。sinzsinyz 32,2kkK三角函数知识点- 10 -所以 ，322KzK即 ， 23321x K ， 314354KxK计算 k=0,k=1 时的单调增区间：当 k=0 时， 3135x当 k=1 时， 2当 k=-1 时， 3137x在要求的区间内-2，2确定函数的最终单调增区间：因为 ，所以该函数的单调增区间为,x和312x 25x（） ,2（2）解三角形已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。可以利用正弦定理和余弦定理等求解。三基定理：（正。余 。面积）A、正弦定理： 其中 是三角形外接圆半径.2,sinisinabcRABCB、余弦定理：2222cosabAaBcC由此可得： .（做题出现余弦，角换边）22222os,cos,cosababcACbC、三角形面积公式：（1） （此为常用公式）11iniin.ABCSAB