全等三角形几种常见辅助线精典题型.doc

1、1全等三角形几种常见辅助线精典题型一、截长补短1、已知 中， ， 、 分别平分 和 ， 、 交于点 ，试判ABC60BDCEABC.BDCEO断 、 、 的数量关系，并加以 证明ED2、如图，点 为正三角形 的边 所在直 线上的任意一点( 点 除外)，作MABDB，射线 与 外角的平分线交于点 ， 与 有怎样的数量关60DNN NDM系?3、如图，AD AB，CBAB，DM=CM= ，AD= ，CB= ，AMD=75，BMC=45，ahk求 AB 的长 。4、已知：如图， ABCD 是正方形， FAD=FAE. 求证：BE+DF= AE.5、以 的 、 为边向三角形外作等边 、 ，连ABC A

2、BDCENEBMADDOECBAMD CBAFEDCBA2结 、 相交于点 求证： 平分 CDBEOADOE6、如图所示， 是边长为 的正三角形， 是顶角为 的等腰三角形，以ABC1BDC120为顶点作一个 的 ，点 、 分别在 、 上，求D60MDNA的周长AMN7、如图所示，在 中， ， 是底边 上的一点， 是线段 上的一点，ABCADBCEAD且 ，求证 .2BED28、 五边形 ABCDE 中，AB=AE，BC+DE=CD，ABC+AED =180，求证：AD 平分CDE二、全等与角度F AB CD EOOEDCBANMDCBAED CBAC EDBA31、如图，在 中， ， 是 的平

3、分线，且 ，求 的ABC60ADBCACBDABC度数.2、如图所示，在 中， ， ，又 在 上， 在 上，且满足ABC20CMACNB， ，求 .50BAN60MN3、 在正 内取一点 ，使 ，在 外取一点 ，使 ，且ABCDABCEDBC，求 .EE4、如图所示，在 中， ， 为 内一点，使得 ，ABC4BCAMABC0MCAD CBANMCBADECBA4，求 的度数.16MACBC5、如图：在 内取一点 ，使得 ， .设 ， ，求ABCMBA3010MB80ACBBC.M6、如图，点 为正方形 的边 上任意一点， 且与 外角的平分MABCDMNDABC线交于点 ， 与 有怎样的数量关系

4、？ 如是正五边形，正六边形呢？N参考答案：一、截长补短MCABMCBANCDEBMA51、 ，BECD理由是：在 上截取 ，连结 ，BFBEOF利用 证得 ， ，SAO12 ， ， ，60900CA120DE ， ， ，18E 838 ， ， ，24234利用 证得 ， ， ASDFCBFCBED2、 .DMN过点 作 交 于点 ， ，GB GAMD又 ，120M 120N ，而 ，A B ， D3、过点 D 作 BC 的垂线，垂足为 E.AMD=75，BMC=45 DMC=60DM=CM CD=DMADAB，DEBC，CBAB，AMD=75ADM=EDCADMCDEAD=DE故 ABED 为

5、正方形，AB=AD= ，选 D.h4、延长 CB 至 M，使得 BM=DF，连接 AM.AB=AD，ADCD，ABBM，BM=DF ABMADFAFD=AMB，DAF=BAMABCDAFD=BAF=EAF+BAE=BAE+BAM=EAMAMB=EAMAE=EM=BE+BM=BE+DF.5、因为 、 是等边三角形，所以 ， ， ，ABDCEABDEAC60BAD则 ，所以 ，BEC则有 ， ， A在 上截取 ，连结 ，容易证得 ， FOFFO FE进而由 得 ；A由 可得 ，即 平分 EEOADE6、如图所示，延长 到 使ACE .CEBM在 与 中，因为BDM D4321FDOECBAG NE

6、BMADEMD CBAMFEDCBAF AB CD EOO EDCBA6， ， ，90MBDECBMCE所以 ，故 .D因为 ， ，所以 .1260N 60BDMNC又因为 ，所以 . E在 与 中， ， ， ，NE DE所以 ，则 ，所以 的周长为 . A27、如图所示，作 的平分线交 于 ，又过 作 交 于 ，交 于 ，则知BDBCFHF BGCH，从而 .12EAGFEAGGEA又 ，则 .12由 可得 .BBBAE注意到 ，故有 ，从而 ， ，CC C于是 .E又由 ，有 ， ，且 .AHF H12GEFAHD而 ，从而 ，D 12DF即 ，故 .1122CBBC8、延长 DE 至 F

7、，使得 EF=BC，连接 AC.ABC+AED=180，AEF+AED=180 ABC=AEFAB=AE，BC=EF ABCAEF EF=BC，AC=AFBC+DE=CD CD=DE+EF=DFADCADF ADC=ADF即 AD 平分CDE.二、全等与角度1、如图所示，延长 至 使 ，连接 、 .ABEBDEC由 知 ，CDC而 ，则 为等边三角形.60注意到 ， ， ，A故 .AE从而有 ， ，E故 .2BDCDEC所以 ，20C 6028ABB【另解】在 上取点 ，使得 ，则由题意可知 .A BDEAB CDM NGHFED CBAAB DEFCED CBAED CBA7在 和 中， ，

8、 ， ，ABDEABEDAD则 ，从而 ，进而有 ， ，CC.2注意到 ，则：，13180120ABABABAC故 .80C【点评】由已知条件可以想到将折线 “拉直”成 ，利用角平分 线 可以构造全等三角形.DED同样地，将 拆分成两段，之后再利用三角形全等亦可，此思路也是十分自然的 .需要说明的是，无论采取哪种方法，都体现出关于角平分线“ 对称”的思想.上述方法我们分别称之为“补短法” 和“截长法”，它们是证明等量关系时优先考虑的方法.2、过 作 的平行线 交 于 ，连接 交 于 .MABBCKAMBP连接 ，易知 、 均为正三角形.PNPM因为 ， ， ，5020所以 ， ， ，A80PN

9、则 ， ，4K1864故 . 从而 .PNK进而有 ，MN302BM3、如图所示，连接 .因为 ， ， ，DCADCD则 ，ADCB故 .0而 ， ， ，EB因此 ，故 .3B4、在 中，由 可得 ， .AC4BCABAC92如图所示，作 于 点，延长 交 于 点，连接 ，DMDO则有 ，30OM，1B，64所以 .A又因为 ，90903AC所以 .12B12O而 ，因此 ，O故 .BM由于 ，则 ，80302M故 115CBDNMCBA DECBAODMCAB85、如图所示， 的高 与直线 交于点 ，则 .ABCHBMEAB而 ，3012EM，142AC，(94)0HAB，103由两角夹一边法则可知 ，MEAC因此 ，MC(180)702A6、 .在 上截取 ，DNAGAM ，GMB45 ， ，13 DNB ， EHA BCMNCDEBMA