1、0求数列通项公式的 11 种方法方法总述:一利用递推关系式求数列通项的 11 种方法:累加法、累乘法、待定系数法、阶差法(逐差法) 、迭代法、对数变换法、倒数变换法、换元法(目的是去递推关系式中出现的根号) 、数学归纳法(少用)不动点法(递推式是一个数列通项的分式表达式) 、特征根法二四种基本数列:等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、等比数列的求通项公式的方法是:累加和累乘,这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。三 求数列通项的方法的基本思路是:把所求数列通过变形,代换转化为等级差数列或等比数列。四求数列通项的基本方法是:累加法和累乘法。五数列的本质是一个函数,其定
2、义域是自然数集的一个函数。一、累加法 1适用于: -这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。1()naf2若 ,1nf2则 231() ()naff 1两边分别相加得 11()nnkaf例 1 已知数列 满足 ,求数列 的通项公式。n112na, na解:由 得 则12na1n1123212()()()()21()(1)nnnaaannn 所以数列 的通项公式为 。na2na例 2 已知数列 满足 ,求数列 的通项公式。n113na, na解法一:由 得 则12na12nn32112211()()()()333( )()(331nnnnaaa 所以 .na解法二: 两边除以 ,得 ,
3、1321nn13n1123nna则 ,故11nna21122321122()()()()3332() 1)333nnnnnnnaaaa因此 ,1()2(1)2nn na则 3.nnn练习 1.已知数列 的首项为 1,且 写出数列 的通项公式. na*12()naNna答案: 2n练习 2.已知数列 满足 , ,求此数列的通项公式. na31)2(11nan答案:裂项求和 n2评注:已知 , ,其中 f(n)可以是关于 n 的一次函数、二次函数、a1 )(1nfnn指数函数、分式函数,求通项 .若 f(n)是关于 n 的一次函数,累加后可转化为等差数列求和;若 f(n)是关于 n 的二次函数,累
4、加后可分组求和 ;若 f(n)是关于 n 的指数函数,累加后可转化为等比数列求和;若 f(n)是关于 n 的分式函数,累加后可裂项求和。例 3.已知数列 中, 且 ,求数列 的通项公式.na0)(21nnaSn解:由已知 得 ,)(21nnS )(11nnS化简有 ,由类型(1)有 ,n1Sn3213又 得 ,所以 ,又 ,1aS2)1(nS0na2)1(nsn则)()(2nn此题也可以用数学归纳法来求解.二、累乘法 1.适用于: -这是广义的等比数列1()nnaf累乘法是最基本的二个方法之二。2若 ,则1()nfa 31212()()()naafff , , ,两边分别相乘得, 11()nn
5、kfa例 4 已知数列 满足 ,求数列 的通项公式。n112()53nna, na解:因为 ,所以 ,则 ,故112()53nnaa, 0n12()5n13212 2211 (1)()1(1)2()55()5()53333!nnnnnaa 所以数列 的通项公式为na(1)1235!.nnna例 5.设 是首项为 1 的正项数列,且 ( =1,2, 3,) ,01221nnnaa则它的通项公式是 =_.na4解:已知等式可化为: 0)1(1 nnnaa( ) (n+1) , 即0na*N01nna11an时,2n1= = .1221aann 12nn评注:本题是关于 和 的二次齐次式,可以通过因
6、式分解(一般情况时用求根公式)得n1到 与 的更为明显的关系式,从而求出 .na1 na练习.已知 ,求数列an的通项公式.1,1nan答案: -1.n)(!1评注:本题解题的关键是把原来的递推关系式 转化为,11nan若令 ,则问题进一步转化为 形式,进而应用累乘法),1(1nnanab nb1求出数列的通项公式.三、待定系数法 适用于 1()nqf基本思路是转化为等差数列或等比数列,而数列的本质是一个函数,其定义域是自然数集的一个函数。1形如 ,其中 )型0(,1cdana1(1)若 c=1 时,数列 为等差数列 ;n(2)若 d=0 时,数列 为等比数列;na(3)若 时,数列 为线性递
7、推数列,其通项可通过待定系数法构造辅助数列01且dcn来求.5待定系数法:设 ,)(1nnac得 ,与题设 比较系数得)(1can ,1dn,所以 所以有:d)()0(,c )1(1cdacann因此数列 构成以 为首项,以 c 为公比的等比数列,1can 11cda所以 即: .1)(nncd 1)1(11cddann规律:将递推关系 化为 ,构造成公比为 c 的dcan1)(1ccdnn等比数列 从而求得通项公式cdan )1(11 dann逐项相减法(阶差法):有时我们从递推关系 中把 n 换成 n-1 有cnn1,两式相减有 从而化为公比为 c 的等比数列 ,dcan1 )(1naca
8、 1na进而求得通项公式. ,再利用类型 (1)即可求得通项公式.我们看到此121n方法比较复杂.例 6 已知数列 中, ,求数列 的通项公式。na11,2()nana解法一: 12(),n1nna又 是首项为 2,公比为 2 的等比数列12,na,即na1n解法二: 12(2),nn612nna两式相减得 ,故数列 是首项为 2,公比为11()(2nna1na2 的等比数列,再用累加法的练习已知数列 中, 求通项 。na,21,211nnana答案:)21(n2形如: (其中 q 是常数,且 n 0,1) nnap1 若 p=1 时,即: ,累加即可.nn1若 时,即: ,pnnqap1求通
9、项方法有以下三种方向:i. 两边同除以 .目的是把所求数列构造成等差数列1np即: ,令 ,则 ,然后类型 1,累加nnnqpap)(11 nabnnqpb)(11求通项.ii.两边同除以 . 目的是把所求数列构造成等差数列。1nq即: ,qapnn1令 ,则可化为 .然后转化为类型 5 来解,nqabbnn11iii.待定系数法:目的是把所求数列构造成等差数列设 .通过比较系数,求出 ,转化为等比数列求通)(11 nnnn papa 项.注意:应用待定系数法时,要求 p q,否则待定系数法会失效。7例 7 已知数列 满足 ,求数列 的通项公式。na11243nnnaa, na解法一(待定系数
10、法):设 ,比较系数得112(3nnn),124,则数列 是首项为 ,公比为 2 的等比数列,13na 1435a所以 ,即11452nnn 11nnn解法二(两边同除以 ): 两边同时除以 得: ,下面解法略1nq13n1243nna解法三(两边同除以 ): 两边同时除以 得: ,下面解法略1np12n nn)(1练习.(2003 天津理)设 为常数,且 证明对任意 1,0a)(231Nnann;02)()1(351 annnn 3形如 (其中 k,b 是常数,且 )bkpan1 k方法 1:逐项相减法(阶差法)方法 2:待定系数法通过凑配可转化为 ; )1()(1ynxapyxnan解题基
11、本步骤:1、确定 =kn+b()fn2、设等比数列 ,公比为 p)(yxnabn3、列出关系式 ,即)1(1ynxann 1nnpb4、比较系数求 x,y85、解得数列 的通项公式)(yxna6、解得数列 的通项公式n例 8 在数列 中, 求通项 .(逐项相减法)na,23,1nanna解: , ,231nn时, ,2)1(1an两式相减得 .令 ,则2311 nnnannab1 231nb利用类型 5 的方法知 即 5nb 351n再由累加法可得 . 亦可联立 解出 .2321ann 2121nan例 9. 在数列 中, ,求通项 .(待定系数法)na36,11 nan n解:原递推式可化为
12、 yxyxnn )1()(21比较系数可得:x=-6,y=9,上式即为 nb所以 是一个等比数列,首项 ,公比为 . nb 2961a11)2(9nnb即:nna)21(96故 .)(nn4形如 (其中 a,b,c 是常数,且 )cnbapann 21 0a基本思路是转化为等比数列,而数列的本质是一个函数,其定义域是自然数集的一个函数。9例 10 已知数列 满足 ,求数列 的通项公式。na21 1345nnaa, na解:设 2 21()()()n nxyzxyz 比较系数得 , 3,0,18xyz所以 2 21()()(3108)n nana由 ,得2130813210n则 ,故数列 为以2()()2nan238na为首项,以 2 为公比的等比数列,因此2130183,则 。12nna43108na5.形如 时将 作为 求解21 nnapqan()f分析:原递推式可化为 的形式,比较系数可求得 ,数列211) nnpa 为等比数列。1na例 11 已知数列 满足 ,求数列 的通项公式。na211256,nnnaana解:设 211()nnnn比较系数得 或 ,不妨取 , (取-3 结果形式可能不同,但本质相同)322则 ,则 是首项为 4,公比为 3 的等比数列211()nnnnaa1nna,所以143nn 14352n
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