1、1知识框架圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称 1 推 3 定理，即上述四个结论中，只要知道其中的 1 个相等，则可以推出其它的 3 个结论，即：AOB=DOE；AB=DE；OC=OF； 弧 =弧BAD1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即： AOB 和ACB 是弧 所对的圆心角和圆周角AOB=2ACB2、圆周角定理的推论：推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在 中，C 、D 都是所对的圆周角OC=D推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧
2、是半圆，所对的弦是直径。即：在 中， 是直径 或C=90OAB C=90 是直径AB推论 3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在 中，OC=OA=OBABC 是直角三角形或 C=90注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。【典型例题】考点一：圆心角，弧，弦的位置关系例 1、如图，BE 是半径为 6 的圆 D 的 四分之一圆周，C 点是 BE 上的任意一点，ABD 是等边三角形，则四边形 ABCD 的周长 P 的取值范围是（ ）例 2
3、、下列语句中正确的是（ ）A、相等的圆心角所对的弧相等 B、平分弦的直径垂直于弦 C、长度相等的两条弧是等弧 D经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴 例 3、有下列说法：等弧的长度相等；直径是圆中最长的弦；相等的圆心角对的弧相等；圆中 90角所对的弦是直径；同圆中等弦所对的圆周角相等其中正确的有（ ）例 4、 （2007重庆）如图，AB 是O 的直径，AB=AC，BC 交O 于点 D，AC 交O 于点E，BAC=45，给出下列五个结论：EBC=22.5；BD=DC；AE=2EC ；劣弧 AE 是劣孤 DE 的 2 倍；AE=BC其中正确结论的序号是 考点二：圆周角定理例1 如图， ABC 中，A
4、=60，BC 为定长，以 BC 为直径的O 分别交AB，AC 于点 D，E连接 DE，已知 DE=EC下列结论：BC=2DE；BD+CE=2DE其中一定正确的有（ ）FEDC BAOD CBAO CB AOCB AO2DCB EAOAC BEDOACB例2、 （2011衢州）一个圆形人工湖如图所示，弦 AB 是湖上的一座桥，已知桥 AB 长100m，测得圆周角ACB=45，则这个人工湖的直径 AD 为（ ）例 3、 （2010荆门）如图，MN 是O 的直径，MN=2，点 A 在O 上，AMN=30，B 为 AN的中点，P 是直径 MN 上一动点，则 PA+PB 的最小值为（ ）、考点三：内接圆
5、的四边形的性质例1、 （2006 宁德）如图，四边形 ABCD 为O 的内接四边形，若BCD=110，则BAD 为（ ）例 2、 （2008济宁）如图，四边形 ABCD 中，AB=AC=AD，若CAD=76，则CBD= 度例 3、如图，四边形 ABCD 内接于O，AC 平分BAD 交 BD 于点 E，O 的半径为 4，BAD=60，BCA=15 ，则 AE= 【课堂练习】1、 （2004南宁）如图，D、 E 分别是O 的半径 OA、OB 上的点，CDOA，CEOB，CD=CE，则 AC与 CB弧长的大小关系是 2、如图，已知 AB 是O 的直径，PA=PB，P=60，则弧 CD 所对的圆心角等
6、于 度3、 （2009 哈尔滨）如图，在O 中，D 、E 分别为半径 OA、OB 上的点，且 AD=BE点 C 为弧 AB上一点，连接 CD、CE、CO，AOC= BOC 求证：CD=CE4、 （2011重庆）如图，O 是ABC 的外接圆，OCB=40 ，则A 的度数等于（ ）5、 （2011福建）如图，AB 是O 的直径，C ，D 两点在O 上，若C=40，则ABD 的度数为（ ）6、 （2005镇江）如图，O 是等边三角形 ABC 的外接圆，D、E 是O 上两点，则D= 度，E= 度7、在ABC 中，A=150 ，BC=6cm ，则ABC 的外接圆的半径为 cm8、如图，点 A、B、C、D
7、、E 将圆五等分，则CAD 度。9、如图，点 A、B、C 在O 上，C150，则AOB 。10、如图，ABC 内接于O，AD 是直径，AD、BC 相交于点 E，若ABC50，通过计算，请再写出其他两个角的度数（不添加新的字母或线段）： 。3第 8 题 第 9 题 第 10 题11.如图所示，已知：AB 和 DE 是O 的直径，弦 ACDE，求证：CE=BE12如图所示，ABC 为圆内接三角形，ABAC，A 的平分线 AD 交圆于 D，作 DEAB 于 E，DFAC 于 F，求证：BE=CF 13如图所示，在ABC 中，BAC 与ABC 的平分线 AE、BE 相交于点 E，延长 AE 交ABC 的外接圆于 D 点，连接 BD、CD、CE，且BDA=60（1） 求证BDE 是等边三角形；（2） 若BDC=120，猜想 BDCE 是怎样的四边形，并证明你的猜想。O EDABCAB CDEFAB CDE
