1、圆锥曲线中焦点三角形问题焦点三角形是圆锥曲线的两个焦点与圆锥曲线上任意一点组成的三角形，以这个三角形的某些元素作为条件的圆锥曲线问题称为焦点三角形问题。焦点三角形是圆锥曲线中的重要内容，本文将介绍一些关于焦点三角形问题的解法。一、 周长问题例 1 是椭圆 的两个焦点， 是椭圆上任一点，求2F、 21xyab(0)A的周长。12A分析 由于 的三边由 构成，故考虑运用椭圆的定义。1212AF、 、解 据椭圆的定义有 ， ，则 的周长为 。|+=a12|Fc12AF2ac变式 是椭圆 的两个焦点， 是椭圆上任一点， 的延长12F、 21xyab(0) 1线交椭圆于点 ，求 的周长。B2AF解 ,
2、,12|12|Ba2 1212|4AFAFBa小结：解此类题关键是运用圆锥曲线的定义。二、 面积问题例 2 是椭圆 的两个焦点， 是椭圆上任一点，12、 21xyab(0)P求 的面积。12FP12AF解 设 |,|mn由椭圆定义可知， 。+=a在 中，运用余弦定理有12PF21cos4nFc可得 ， 。 （1）21bm12 22sinsinta1coPbSmb由此类比双曲线可得到是椭圆 的两个焦点， 是椭圆上任一点， 求12F、 21xyab(0)P12FP的面积。12A（2）12cotPFS公式（1） 、 （2）对于焦点在 轴上的椭圆和双曲线同样成立。y小结：此结论一般称为焦点三角形的面积
3、公式，一般运用于客观题的解题。求解圆锥曲线中的面积问题一般会利用余弦定理来求解。在解圆锥曲线的问题中，有些选择题或填空题，如果用常规方法去解题，无疑是小题大做,这在考试特别是高考中，是非常不可取的。运用特殊解法，不但可以节省时间，还可提高准确率。例 3 已知双曲线方程为 ， 是双曲线的两个焦点， 是双曲线上任一点，2143xy2F、 P求 的面积。1260FP12A分析 若是客观题，可直接代入焦点三角形面积公式得： 12cot3PFSb三、最值问题例 4 已知椭圆方程为 ， 分别为其左右两焦点， 为椭圆上21(0)xyab12F、 P任意一点， ， 12=FP求（1） 的最大值；（2） 面积的
4、最大值；12（3） 的周长的最大值。PF解 （1）法一 设 由椭圆定义可知， 。12|,|mPFn2m+n=a在 中，运用余弦定理有 2 1cos4Fccos1bn又 ， （当且仅当 时等号成立）2amn2amn又因当 时， 单调递减， (0,)cosy2arcos(1)b且在 时， 取得最大值 或者n2ar(1)b2r()又 时， 取得最大值。2am即 位于椭圆短轴端点时， 取得最大值。P法二 设 ,由焦半径公式可知： ，)(oyx oexaPF1 oexaPF1在 中，21F212csPF 21221 4)( c=)(44221 ooexabca oxebxa0xo即 位于椭圆短轴端点时，
5、 取得最大值。P（2）过点 作 的垂线，垂足为 。令 。12FHPh12PShA， 当 为最大时，三角形的面积取得最大值。|c即当 位于椭圆短轴端点时，三角形面积取得最大值。（3）据椭圆的定义有 ， ，则 的周长为 。|12F+P=a12|Fc12PF2ac即 的周长无最大值。12PF小结:解焦点三角形有关的最值问题，主要是利用圆锥曲线的第一定义，并借助正弦定理、余弦定理以及均值定理和函数的单调性等来解决。四、离心率问题例 5 是椭圆 的两个焦点， 是椭圆上任一点，12F、 21xyab(0)P，求椭圆的离心率。1221,P解 121212sinisin()sinPFFPFcoi()ss2ca
6、cos2e小结：已知“焦点三角形”的两个角，求其离心率，一般利用正弦定理、等比定理、椭圆的定义及三角函数等有关知识来求解。双曲线也有类似结论。例 6 已知椭圆方程为 两焦点分别为 设焦点三角形),0(12bayx ,21F中 则21FP,21.cose证明：设 则在 中，由余弦定理得：2rP21PF124)(cos 2121 rcarc命题得证。.)(221 earca例 7 已知椭圆的焦点是 F1(1，0) 、F 2(1，0)，P 为椭圆上一点，且 F1F2是PF 1和|PF2的等 差 中 项 (1)求椭圆的方程；(2)若点 P 在第三象限，且PF 1F2120，求 tanF1PF2解：(1)由题设 2F 1F2PF 1PF 22a，又 2c2，b 3椭圆的方程为 14yx(2)设F 1PF2 ，则PF 2F160 椭圆的离心率e则 ，)60sin(23)60sin(12si8ooo整理得：5sin (1cos )3 故 ，tanF 1PF2tan 5cos1in52tan1352参考文献1. 俞新龙.破解圆锥曲线焦点三角形问题【J】.数学导学.2013.2. 吴成强.圆锥曲线中“焦点三角形”有关问题研究【J】.中学数学杂志.2009(5).3. 刘豪.圆锥曲线中焦点三角形几个问题的解法【J】.林区教学.2008(133).
