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1、1反三角函数Inverse trigonometric functions第 1 节 反三角函数概述原创/O 客把反正弦函数 y=arc sinx，反余弦函数 y=arc cosx，反正切函数 y=arc tanx，反余切函数 y=arc cotx 统称为反三角函数。它们都是三角函数的反函数。严格地说，准确地说，它们是三角函数在某个单调区间上的反函数。以反正弦函数为例，其他反三角函数同理可推。反正弦的值域先从反正弦函数的原函数正弦函数说起。正弦函数 y=sinx 在定义域 R 上没有反函数。因为它在定义域 R 上不单调，是分段单调。从逆向映射来看，正弦函数 y=sinx 的每一个函数值 y，对

2、应着无数个自变量 x 的值。当我们从 y=sinx 中解出 x 后，x 与 y 不能构成函数关系，所以不存在反函数。但是，当我们取正弦函数 y=sinx 的一个单调区间，如-/2,/2。这时，每一个函数值 y，对应着唯一的一个自变量 x 的值。当我们从 y=sinx 中解出 x 后，x 与 y 构成函数关系，所以存在反函数。记为 y=arc sinx。把原函数 y=sinx,x-/2,/2的值域-1,1,叫做反函数 y=arc sinx 的定义域。并把原函数 y=sinx,x- /2,/2的定义域- /2,/2,叫做反函数 y=arc sinx 的值域。请参考我的三角函数 salonhttp:

3、/ 2 节 反三角函数理解与转化原创/O 客以反正弦函数为例，其他反三角函数同理可推。符号理解初学反三角函数者往往被它那长长的字符串所迷惑，很不习惯。一方面，arc sinx 这七个字母是一个整体，缺一不可。另一方面，符号 arc sinx 可以用下面的三句话来理解：它是一个角。即一个实数。arc sinxR .这个角在-/2 到 /2 之间( 含端点)。- /2 arc sinx /2。这个角的正弦值等于 x。sin(arc sinx)=x.互化反三角函数问题往往要转化为三角函数问题，因为后者拥有数十个公式资源，使你解决问题时如虎添翼。有互化公式（充要条件）如图。=arc sinx x=si

4、n|x|1 - 2 22请参考我的三角函数 salonhttp:/ 3 节 反正弦函数的图象和性质原创/O 客函数名称 反正弦函数解析式 y=arc sinx图象 反正弦曲线（图 3）1.定义域 -1,12.值域 -/2, /23.有界性 |y|/24.最值 x=1 时，y max=/2x=-1 时，y min=-/25.单调性 增函数6.奇偶性 奇函数.7.周期性 无8.对称性 关于原点对称9.反函数 y=arc sinx，x-/2, /210.与反余弦的关系 arc sinx+arc cosx=/2请参考我的三角函数 salonhttp:/ 4 节 反余弦函数的图象和性质原创/O 客函数名

5、称 反余弦函数解析式 y=arc cosx图象 反余弦曲线（如图）1.定义域 -1,12.值域 0, 3.有界性 0y4.最值 x=-1 时，y max=x=1 时，y min=05.单调性 减函数6.奇偶性 非奇非偶函数7.周期性 无8.对称性 对称中心(0, /2)9.反函数 y=cosx, x0, 10.与反正弦的关系 arc sinx+arc cosx=/2请参考我的三角函数 salonhttp:/ y=arc cosx 的图象yxy=arc cosx-1 24第 5 节 反正切函数的图象和性质原创/O 客函数名称 反正切函数解析式 y=arc tanx图象 反正切曲线（如图）1.定义

6、域 R2.值域 (-/2, /2)3.有界性 |y|/24.最值 无5.单调性 增函数6.奇偶性 奇函数7.周期性 无8.对称性 关于原点对称9.渐近线 y=/210.反函数 y=tanx, x(-/2, /2) 11.与反余切的关系 arc tanx+arc cotx=/2请参考我的三角函数 salonhttp:/ y=arc tanx 的图象yxy=arc tanx 2- 25第 6 节 反余切函数的图象和性质原创/O 客函数名称 反余切函数解析式 y=arc cotx图象 反余切曲线（如图）1.定义域 R2.值域 (0, )3.有界性 0y4.最值 无5.单调性 减函数6.奇偶性 奇函数

7、7.周期性 无8.对称性 对称中心(0, /2)9.渐近线 y=0，y=10.反函数 y=cotx, x(0, ) 11.与反正切的关系 arc tanx+arc cotx=/2请参考我的三角函数 salonhttp:/ y=arc cotx 的图象yxy=arc cotx 26第 7 节 用反三角函数表示角原创/O 客已知某一个角的三角函数值，如何表示这个角？以反正弦函数为例，其他反三角函数同理可推。一个锐角至少有等价的四种表达式不妨，以直角三角形的锐角为例。直角三角形 ABC 中，a=3,b=4,c=5,则A=arc sin(3/5), A=arc cos(4/5)A=arc tan(3/

8、4), A=arc cot(4/3)已知三角函数值表示角，要特别注意角的范围例如，已知 sin=1/3,由正弦函数线（见 salon(6)）或者正弦曲线（见 salon(20)）,可得若 是锐角，则 = arc sin(1/3).若 0, ，则 = arc sin(1/3) 或 =-arc sin(1/3).若 0, 2） ，则 = arc sin(1/3) 或 = -arc sin(1/3)。若 是第 1 象限角，则 = 2k+arc sin(1/3),kZ.若 R，则 =2k +arc sin(1/3), 或 =2k+-arc sin(1/3), kZ，可以合并为 =2k+(-1)k *a

9、rc sin(1/3), kZ请参考我的三角函数 salonhttp:/ 8 节 三角方程原创/O 客三角函数的自变量中含有未知数，含有这样的三角函数的方程叫三角方程。一般地，一个较复杂三角方程的解集往往都是几个最简三角方程的解集的并集。三角方程都要转化为最简三角方程来解。最简三角方程的解法是三角方程解法的基础。最简三角方程的解集1.sinx=a (|a|1)的解集是x|x=k +(-1)k arc sina, kZ 2.cosx=a (|a|1)的解集是x|x=2k arc cosa, kZ3. tanx=a 的解集是x|x=k +arc tana, kZ4. cotx=a 的解集是x|x=k +arc cota, kZ以三角方程 sinx=a (|a|1)为例，说一说记忆和应用 。最简三角方程的解集不要死记硬背，要借助函数线和图象记忆，如图。灵活应用。形如 sin(x+)=a (|a|1),则 x+ =k+(-1)k arc sina, kZ，解出 x即可。7请参考我的三角函数 salonhttp:/ sinx=a(0a1，x- ,)的解arc sina -arc sinay= sinx-1111O方程 sinx=a(0a1)的解y2k+arc sina2k +-arc sinaax