热力学一般关系(热学-高等数学-偏微分).doc

1、1第二部分 工质的热力性质六 热力学函数的一般关系式由热力学基本定律引出的一些基本热力学状态函数（如内能 、熵 ）及其为某一研究方便而设的组合函数US（如焓 、自由能 、自由焓 等）许多都是不可测量，HFG必须将它们与可测量（如压力 、体积 、温度 等）联系pVT起来，否则我们将得不到实际的结果，解决不了诸如上一章讲的最大功计算等一些具体的问题。这就需要发展热力学的数学理论以将热力学基本定律应用到各种具体问题中去。热力学函数一般关系式 全微分性质+基本热力学关系式6.1 状态函数的数学特性对于状态参数，当我们强调它们与独立变量的函数关系时，常称它们为状态函数。从数学上说，状态函数必定具有全微分

2、性质。这一数学特性十分重要，利用它可导出一系列很有实用价值的热力学关系式。下面我们扼要介绍全微分的一些基本定理。2设函数 具有全微分性质),(yxfz（6-dyzxzdxy1）则必然有（1） 互易关系令式（6-1）中， ),(yxMxzy ),(yxNyzx则 （6-2）yxNy互易关系与 等价。它不仅是全微分的必要条件，0dz而且是充分条件。因此，可反过来检验某一物理量是否具有全微分。（2） 循环关系当保持 不变，即 时，由式（6-1 ） ，得z0dz0zxzydyx3则 xyzzzxy故有 （6-3）1yzxyz此式的功能是：若能直接求得两个偏导数，便可确定第三个偏导数。结果也很容易记忆，

3、只需将三个变量依上、下、外次序，即 循环就行了。)()(xzyzy（3） 变换关系将式（6-1）用于某第四个变量 不变的情况，可有dyzdxzdxy两边同除以 ，得x（6- xyzxzxzy4）式中： 是函数 对 的偏导数； 是以 为yxz),(yxz xz),(x独立变量时，函数 对 的偏导数。上面的关系可用于,它们之间的变换。这一关系式对于热力学公式的推导十分4重要。（4） 链式关系按照函数求导法则，可有下述关系：（6-5）1yyzx（6-5a）yyyzx这是在同一参数（如 ）保持不变时，一些参数循环求导所得偏导数间的关系。若将关系式中每),(xz个偏导数视为链的一环，则链式关系的环数可随

4、所涉及参数的个数而增减。以上这些关系式都是针对二元函数的，即以具有两个独立状态参数的简单系统为背景。但对具有两个以上独立参数的系统即多元状态函数，其也有推广价值。例题 6-1 已知理想气体状态方程为 ，试检验RTpv是否有全微分。v解 由状态方程得 ，故有pRTv5dpvTvdTpR2于是， pRTM),( 2),(pRTN而2pRpTT22Np二者相等，可见 有全微分，即其为状态函数。v6.2 基本热力学关系式6.2.1 基本热力学关系式为简单计，以下推导全部采用比参数。由热力学第一定律，得（3 -wduq18d）对简单可压缩系统，若过程可逆，则 ，故pdvduq而由热力学第二定律6（4-T

5、dsq14b）二式联立，最后得（6-pdvTsdu6）式（6-6）表达了热力学基本定律对系统状态参数变化的限制，是导出其它热力学关系式的基本依据，称为基本热力学关系式。需要指出的是：虽然式（6-6）是从可逆变化推导而来，但因为 是状态函数的变化，它只与变化前后的状态有关，du而与实际过程的可逆与否无关，所以对于不可逆变化仍然适用。但若作为能量平衡方程，它只适用于可逆过程。由焓的定义 得pvuhvdpdud)(将式（6-6）代入上式，可得（6-vpTsh7）同样，由自由能的定义 可得Tsuf（6-pdvsdf8）由自由焓的定义 可得Tshg（6-vdpd79）以上式（6-7）（6-9）为基本热力

6、学关系式用组合参数表达的形式，故式（6-6）（6-9）可统称为基本热力学关系式。6.2.2 特性函数基本热力学关系式（6-6）（6-9）分别为以特定参数为独立变量的状态函数 、 、 、),(vsu),(psh),(vTf的全微分表达式。这些函数有一个很重要的性质，),(pTg就是它们的偏导数各给出一个状态函数。对于函数 ，将其全微分解析式),(vsudvudsudsv与式（6-6）作对比，即得（6-Tsuv10）（6-pvus11）同样，由于式（6-7）是函数 的全微分，则有),(psh8（6-12）Tshp（6-vs13）式（6-8）是函数 的全微分，有),(vTf（6-sv14）（6-pv

7、fT15）式（6-9）是函数 的全微分，有),(pg（6-sTp16）（6-17）vpgT正因为如此，只需知道上述函数中的任意一个函数，就可确定出所有的状态函数。如已知 ，则由式（6-),(vTf14）可得 ；由式（6-15）可得 即状态方程；),(vTs p由自由能的定义 可得Tsufvffv),(9由焓的定义 可得pvuhvfTffTTv),(由自由焓的定义 可得pfshgvfvTT),(由此可见，若状态函数的独立参数选择适当，则可由这个函数及其偏导数得到所有的状态函数，从而将工质的平衡性质完全确定。这样的函数称为特性函数。特性函数包含了系统平衡状态的所有信息，它的自变量是特定的。一经变换

8、虽然还是状态函数，但由于信息丢失而不再是特性函数了，这一点需特别注意。除了上面已给出的 、 、 、 这四个特性函),(vsu),(psh),(vTf ),(pg数，还可通过基本热力学关系式寻找其它的特性函数。如将式（6-6 ）写成（6-18）dvTpuds1则可知 也是特性函数；将式（6-7）写成),(vus（6-19）dpTvhds1则可知 也是特性函数，等等。),(phs特性函数为联系各热力学函数的枢纽。在许多实际问10题中，常采用 或 这些可测量作独立变量，所以vT,p,和 是两个最重要的特性函数。),(vTf )(g6.2.3 麦克斯韦关系由于基本热力学关系式（6-6）（6-9）是各特性函数的全微分表达式，故可对它们应用互易关系式（6-2） ，因此可得（6-20）vspvT（6-21）psp（6-22）vTv（6-23）pTps这四个关系式称为麦克斯韦关系。借助它们可将包含不可测量熵 的关系式代换成用可测量 、 、 表达的关s vT系式。6.3 热系数状态函数的某些偏导数具有明确的物理意义，能表征