激光物理汇总.doc

1、1. 不考虑原子在态上的衰减时，二能级系统态的运动方程为 ()()abitEtV式中 ； ； ， ；()expaatAit()expbBtit/aE/b。假设光场与二能级原子共振（共 20 分）0cosVDE（1） 推导旋波近似条件下的 和 所满()Att足的方程（2） 假设初始条件为 和 ，试(0)1()0B利用迭代法求解旋波近似条件下 和t的一级近似解 和 以及()Bt(1)At(1)三级近似解 和(3)t(3)B解：（1）将 和 的表达式代入两能级运动方程，约化得到()tt（1.1）0()exp()()expbaiAVitBVtitBt A式中 。由共振条件 ，上式可简化为0ba0（1.

2、2）000 0(cos)exp(1exp2)2DEiADEtitBitBA旋波近似即忽略上式中的快变量， 和 ，即得到旋波近似0exit0exit条件下的 和 所满足的方程()Att其中 （1.3）02DEiBgA 02DEg（2）假定级数解形式如下ba00/ba（1.4）(0)(1)(2)(3)AABB由题可得， 。将微扰形式解代入式（1.3） ，可得(0)(0)1;（1.5） （1.6） （1.7）()(0)(1)()gAiB(2)(1)()()gAiB(3)(2)()()gABi由方程（1.5）（1.7）可得； ；(1)()0Agti2(2)()10gtiB(3)3()01!gBti一级

3、近似解为：（1.8）1Agti三级近似解为：（1.9）231!tigBttii2. 设原子系统哈密顿量为： （其中 ） ，01221H10能级图如图所示。电磁场 ，原子偶极矩00cosititEtEe为实数，Rabi 频率为 。推导旋0/波近似条件下的 Bloch 方程，并阐述各方程物理意义。解：系统的哈密顿量为 021021cosiHt密度矩阵方程服从刘维方程2121ij ikjikjkijHi 两能级密度矩阵方程为 2121211()itiV1221121()iti22121()itV12121()it其中 。唯相加入衰减之后，密度矩阵方程为2112VE2121221()()()ititE

4、tt 1221221()()()itittt0212121()()()ittEtt 0111121()()()itttt令 ，上式可写为21211212()it ittete2122122100itiii Eet 221212210itiiit 0 222120120101021it itiEeEet 0 22110120101021it itiEeEet 旋波近似，忽略快速震荡项，则可简化为：（ ）2112212021iit21221021iiEt 0212012021it011012021iEt 令下列一组矢量 ，同时 ， ，可得到21122()()utttviiwttt1T212uuT2

5、1vw1eqwvT其中 对于介质极化强度的实部和虚部，分别表示单原子的色散，吸收。 表示反转粒,uv w子数大小。3. 推导 Lamb 方程，并阐述各方程所表示的物理意义。解：先考虑腔长为 L 无源腔方程： 220zzLEt的解。用分离变效法可得其解。由于谐振腔的存在，只有沿 z 轴且同时满足驻波条件的光波才能在腔内形成稳定模式。 n是第 n 个纵模模式为nL2， Lnk，腔内电场应是所有模式场的叠加：sin (knz)是区间(0，L )(即激光腔 )内的正交函数集，它满足对于腔长一定的激光器来说，本征函数集sin(k nz)可作为已知量对待，因而求解电场 E(z，t) 主要是求解场随时间变化

6、部分 An(t)。A n(t)满足一定的运动方程。将式(1-1)代入单向含极化介质的 Maxwell 方程可得在方程两边同乘以sin(k nz)并对区间(0，L )积分，最后利用正交关系式，并将 m 改为 n， 同时定义 ：(P n(t)为 Pn(z，t)的空间傅立叶分量 )可得：(1-1)假设方程解为(1-2)式中，E n(t)和 n(t)为时间 t 的慢变函数。由于宏观电极化强度 P 是由电场 E 诱导产生的，在响应上会有滞后，不会是瞬时的。考虑到这一滞后效应，P n(t)应写成如下的形式(1-3)式中第一项分量与 An(t)同位相，第二项与 An(t)差 /2 相位，C n(t)仍与 S

7、n(t)也是时间的慢变化函数。因此有(1-4)/nc,)os(si()si()nnnEttzAkznmLndk0)i(i2nnnnn tdAzktPdtAktA 202002 )(si()si()si( 02,)si;si(LnztkPkzd,)cos()nnAzt2 2200 0()()()()nnnndtdt tAtcossiCS22()nPtt202002 ttEtz 将唯象参量 。用谐振腔第 n 个模的品质因数 Qn来代替，令(1-5)将式(1-2)、(1-3)、(1-4)代入式 (1-1)中，忽略 等小量并比较方程两端正弦项和余弦项的系数，可得 22201()nnnnECQ20()2

8、nnnnSQ在上面两方程中，忽略较小项 ，同时， n n ，所以有于是上面两方程变为(1.6)(1-7)式(1-6)和式(1-7)就是激光振荡半经典理论中描述激光场的基本方程，称为激光电磁场方程，也称兰姆方程。其中第一个方程表示极化强度的同相位分量(即Cn(t)在使场的频率 (有源腔频率 )偏离非激活腔场的频率(无源腔振荡频率)中所起的作用，从而描述了频率牵引和排斥。第二个方程描写阻尼和激活介质对模的振幅的影响：如果极化强度的正交分量为零(即 Sn(t)0)，则就像非激活介质损耗腔那样，振幅按指数规律衰减。所以含有极化强度的正交分量 Sn(t)代表激活介质所起的增益，它克服腔的损耗，使振荡得以

9、发生。4. 激光半经典理论框架下使用了哪些近似？并分别加以论述答：主要使用了下述近似，1）两能级近似；2）原子间没有相互作用；3）电偶极近似；4）旋波近似；5）缓变振幅近似；6）绝热近似。各个近似论述如下：1）两能级近似。实际原子，分子等拥有许多的能级，在激光器理论中，只有与激光直接相关的上下能级才与光发生只要作用。泵浦作于与衰减作用，只要是提供初始条件，用光与两能级原子作用作为基本模型，即简捷又能反映问题的本质。2）原子间没有相互作用。由于激活原子的密度比较低，忽略原子之间的直接作用，如偶极偶极相互作用，是较合理的近似。原子之间的碰撞作用归于原子的弛豫或衰减。当各个原子同时与同意光场耦合，原

10、子间通过光场发生间接相互作用，一定条件下可发生原子的集体效应，但这并非原子间的直接作用。3）电偶极近似。光与原子作用的电偶极近似，其实质是原子的大小远小于光波的波长，在原子的大小范围内，光场可近似为常数。考虑到原子坐标原子0nnE,nE22()()nn0()22nnnnnCESQ的光场 与矢量势 ，在计算光场与原子作用时，可提到积分号外，0(,)Ext0(,)Axt例如 。在研究光的吸收、自发辐射和受激3abaaabVUrerdeErA辐射等问题时，电偶极近似是很好的近似，但处理多光子过程时可能出现问题，需用失势直接计算相互作用。4）旋波近似。在处理与二能级原子作用是，只考虑近共振项 ，而忽0

11、略远离共振的项 ，这里 分别表示光频率与原子的共振频率。旋波相00,当于只考虑光场与原子的矢量在相平面同向旋转的情况。5）缓变振幅近似。假定光场与极化强度等可以分解为快变与慢变部分，其慢变量在一个光学周期内的变化可以忽略不计。通常用于约化 Maxwell 方程。6）绝热近似。假定光场的弛豫时间较长，而原子的变量，如偶极矩，的弛豫时间短。这样，光场的慢变部分变化时，原子可以很快地及时地跟随光场的变化；反之，在原子的弛豫时间内，光场的慢变振幅可看成与时间无关的常数。5. 什么是光脉冲面积定理？并加以简要分析。同时阐述光脉冲面积定理与光脉冲能量有何区别？答：光脉冲面积定理，它可描述入射光场强相对于时

12、间的积分（光脉冲面积）在空间的演化情况。借助该定理，可以方便的讨论脉冲在吸收和放大介质中出现的某些现象，而无需知道布洛赫方程的详细解。光脉冲面积定义 ()(,)(,)(,)limtAzEztdztd对于脉冲持续时间小于能级寿命和退相干时间时，光脉冲面积所遵守的运动方程 ()sin()2dzAz其中 ， 为圆频率多普勒线型函数。该式即为面积定201(0)cNgn理。分析如下：1)对于原子初始处于下能级，并在弱信号条件下， ，光脉冲在介质中传播光强满足规律为 ，这就是正常吸收的比尔定理，()sin()22dAzzA即为介质的吸收系数。2)强脉冲而言，对于共振吸收介质，脉冲面积为 的 2整数倍时，脉

13、冲在介质传输中为稳定脉冲；对于吸收介质，脉冲面积为 的奇数倍时，脉冲在介质中传输为稳定脉冲。3)数值计算表明，对于共振吸收介质，强脉冲将分裂为 m 个分离的稳定的面积为 的脉冲。26. 如图所示有一三能级工作物质，其能级 a 和 b分别为激光跃迁所对应的上下能级，能级 g 为基态。为向能级 a 和 b 的激励速率， 为衰减速,ab,ab率。 。写出能级 a 和 b 的速率2()sin)REtkZ方程，求出稳态时的 表达式并进行讨论。ab解：根据能级图，能级 a 和 b 的速率方程为 ()aabRba b稳态解，即速率方程左边等于 0，可得等式0()aaab(1-1)()baabbR(1-2)由

14、(1-1)和(1-2)可得(1-3)abababb稳态条件下的布局差表达式为 abababababRR使得粒子布局数翻转的条件为 01abab ba即发生粒子数反转至少需要满足的条件是 ，即上能级寿命 a 必须大于下ba能级 b 寿命。同时，当 R(对应于腔内场强)增加时，布局差 减小，其意b味着饱和效应发生。因为 R 为 Z 的函数，那么可得 也为 Z 的函数，呈ab现空间不均匀的分布，在一定条件下，将发生空间烧孔效应。abaRbgab7. 什么是相干态？它和经典的单色辐射场有何关系？相干态有什么重要性质？答：相干态满足如下的本征值方程 ，其中 表示相干态， 为其a对应的本征值。通常情况下，

15、 为复数。相干态的 Fork 态表示为：。2/0!ne相干态是量子力学所能允许的最接近经典情况的状态，即准经典态。相干态的性质：1)相干态之间相互不正交，即；2)相干态具有最小的测不准量的状态，即22*1exp；3)相干态中的光子数服从 Poission 分1212,XaiaX布 。4)相干态的过完备性 。!nnep 211d8. 1) 证明如果算符满足对易关系式， ，则 Baker-A,B,0Hausdorff 公式成立： 11,22eeAB2)证明： 2/eaa证明：1) 令 ，显然有 。不难得到()=eABf(0)=1;eABfe()AB利用式子，e,(),BAC因而 =e()()ABffABC /对 积分，考虑到对易关系 21ln()l(0)ff所以21()0exp()fABC右乘 ，得21Ce 21()eeCABABB 与 A 位置互换，则有 21()2)令 ，可得,a2,ABa0其满足 Baker-Hausdorff 公式成立条件，利用改公式得 2/eeaa9. 证明 。;iatiatitiatiatite证明：定义关于 的函数 ，其一阶导数为()ititfe,()iatiatititaaititeef0ite当 与 时，有 ，即有0t 0()faf()it令 ，可得： iatiatitee第二个等式可由第一式结论得到：