1、点差法习题若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为 、 ，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得),(1yxA),(2B两式作差，得到一个与弦 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差AB法” 。一、以定点为中点的弦所在直线的方程例 1、过椭圆 内一点 引一条弦，使弦被 点平分，求这条弦所在直线的方程。1462yx)1,2(MM例 2、已知双曲线 ，经过点 能否作一条直线 ，使 与双曲线交于 、 ，且点 是线段 的2,lABMAB中点。若存在这样的直线 ，求出它的方程，若不存在，说明理由。l二、过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹例 3、已知椭圆 的一条弦的
2、斜率为 3，它与直线 的交点恰为这条弦的中点 ，求点 的坐标。1257xy 21x例 4、已知椭圆 ,求它的斜率为 3 的弦中点的轨迹方程。)23(0xyx三、求与中点弦有关的圆锥曲线的方程例 5、已知中心在原点，一焦点为 的椭圆被直线 截得的弦的中点的横坐标为 ，求椭圆的方)50,(F23:xyl 21程。四、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题例 6、已知椭圆 ，试确定的 取值范围，使得对于直线 ，椭圆上总有不同的两点关于该直线1342yxmmxy4对称。答 案例 1. 解：设直线与椭圆的交点为 、),(1yxA),(2B为 的中点 )1,2(MB421y又 、 两点在椭圆上，则 ，A662x
3、两式相减得 0)(4)2121x于是 (12yy)211 xy即 ，故所求直线的方程为 ，即 。ABk )2(xy04y例 2. 解：设存在被点 平分的弦 ，且 、MAB,1,B则 ，21x21y，y两式相减，得0)(2)( 2121121 yyxx 21xykAB故直线 :AB由 消去 ，得12)(yxy342x08324)(这说明直线 与双曲线不相交，故被点 平分的弦不存在，即不存在这样的直线 。ABMl评述：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。由此题可看到中点弦问题中判断点的位置非常重要。 （1）若中点 在圆锥曲线内，则被点 平分的弦一般存在；（2）若中点 在圆锥曲
4、线外，则M M被点 平分的弦可能不存在。例 3. 解：设弦端点 、 ，弦 的中点 ，则),(1yxP),(2yxQP),(0yx210， 201x0又 ，571y572两式相减得 0)()( 21211 xxy即 0322210xy03y，即21xk30y20点 的坐标为 。M)1,(例 4. 解：设弦端点 、 ，弦 的中点 ，则P),(2xQP),(yxM， x21y1又 ，571y572y两式相减得 0)()( 2121212 xx即 ，即03)(21xy yy3，即21xk3x由 ，得570y)25,(P)235,(Q点 在椭圆内M它的斜率为 3 的弦中点的轨迹方程为例 5.解：设椭圆的
5、方程为 ，则 12bxay502ba设弦端点 、 ，弦 的中点 ，则),(1xP),(QP),(yxM， ，20301021 120又 ，1bay2bxay两式相减得 )()( 212112 xa即 0)(212bxy3b联立解得 ，75a2所求椭圆的方程是 1x例 6.解：设 ， 为椭圆上关于直线 的对称两点， 为弦 的中点，则),(1yxP),(2ymxy4),(yxP21，432143两式相减得， 0)(4)(32121yx即 )(21x， ，y21 4121x这就是弦 中点 轨迹方程。y3P它与直线 的交点必须在椭圆内mx4联立 ，得 则必须满足 ，y32243xy即 ，解得2243)(1
