教师用：全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法.doc

1、教师用2014、8、11 周一- 1 -全等三角形问题中常见的辅助线的作法总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”： 遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为 60 度或 120 度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为 30、60 度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为 30 度或 60 度

2、，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成 30-60-90 的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或 30-60-90 的特殊直角三角形，或 40-60-80 的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解

3、题2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3) 遇到角平分线在三种添辅助线的方法（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线教师用2014、8、11 周一- 2 -D CBAEDFCBA（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角

4、形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目6) 已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答一、倍长中线（线段）造全等例 1、 （“希望杯”试题）已知，如图ABC 中，AB=5，AC=3，则中线 AD 的取值范围是_.解：延长 AD 至 E 使 AE2AD，连 BE，由三角形性质知AB-BE BF=BA+AF=BA+AC从而 PB=BE+CE+BCBF+BC=BA+AC+BC=PA例 2 如图，在ABC

5、的边上取两点 D、E，且 BD=CE，求证：AB+ACAD+AE.教师用2014、8、11 周一- 7 -证明：取 BC 中点 M,连 AM 并延长至 N,使 MN=AM,连 BN,DN. BD=CE,DM=EM,DMNEMA(SAS),DN=AE,同理 BN=CA.延长 ND 交 AB 于 P,则 BN+BPPN,DP+PAAD,相加得 BN+BP+DP+PAPN+AD,各减去 DP,得 BN+ABDN+AD,AB+ACAD+AE。四、借助角平分线造全等1、在 ABC 中，ABAC.求证：BC(答案与解析)证明：作A 的平分线，交 BC 于 D，把ADC 沿着 AD 折叠，使 C 点与 E

6、点重合.教师用2014、8、11 周一- 8 -OED CBA在ADC 与ADE 中 ADCADE（SAS） AEDCACEDAED 是BED 的外角， AEDB，即BC.(点评)作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形2、如图，已知在ABC 中，B=60，ABC 的角平分线 AD,CE 相交于点 O，求证：OE=OD，DC+AE =AC证明(角平分线在三种添辅助线 ,计算数值法) B=60 度,则BAC+BCA=120 度 ;AD,CE 均为角平分线 ,则OAC+OCA=60 度=AOE=COD;AOC=120 度.在 AC 上截取线段 AF=AE,连接 OF.又 AO=AO; OAE=

7、OAF.则OAE OAF(SAS),OE=OF;AE=AF; AOF= AOE=60 度.则COF=AOC-AOF=60 度= COD;又 CO=CO; OCD=OCF.故OCDOCF(SAS),OD=OF;CD=CF.OE=ODDC+AE=CF+AF=AC.3、如图，ABC 中，AD 平分BAC，DGBC 且平分 BC，DEAB 于 E，DFAC 于 F. （1）说明 BE=CF 的理由；（2）如果 AB= ，AC= ，求 AE、BE 的长.ab解：(垂直平分线联结线段两端)连接 BD，DCDG 垂直平分 BC，故 BDDC由于 AD 平分BAC， DEAB 于 E，DFAC 于 F，故有E

8、DDF故 RTDBERTDFC（HL）故有 BECF。AB+AC2AEEDGFCBA教师用2014、8、11 周一- 9 -FEDCBAAE（a+b）/2BE=(a-b)/2五、旋转例1 正方形 ABCD 中，E 为 BC 上的一点，F 为 CD 上的一点，BE+DF=EF，求EAF 的度数.证明：将三角形 ADF 绕点 A 顺时针旋转 90 度，至三角形ABG则 GE=GB+BE=DF+BE=EF又 AE=AE， AF=AG，所以三角形 AEF 全等于 AEG所以EAF=GAE=BAE+GAB= BAE+DAF又EAF+BAE+DAF=90所以EAF=45 度例 2 D 为等腰 斜边 AB

9、的中点，DMDN,DM,DN 分别交 BC,CA 于点 E,F。RtABC(1)当 绕点 D 转动时，求证 DE=DF。MN(2)若 AB=2，求四边形 DECF 的面积。解：(计算数值法)（1）连接 DC， D 为等腰 斜边 AB 的中点，故有 CDAB，CDDARtABCCD 平分BCA90，ECDDCA45由于 DMDN，有EDN90由于 CDAB，有CDA90从而CDEFDA故有CDEADF（ASA）故有 DE=DF（2）S ABC =2, S 四 DECF= SACD =1应用：如图， 是边长为 3 的等边三角形， 是等腰三角形，且 ，以 DABCBDC012BC为顶点做一个 角，使

10、其两边分别交 AB 于点 M，交 AC 于点 N，连接 MN，则 的06 AMN周长为 ；教师用2014、8、11 周一- 10 -解：(图形补全法, “截长法”或“补短法”, 计算数值法) AC 的延长线与 BD 的延长线交于点 F，在线段 CF 上取点 E，使 CEBMABC 为等边三角形，BCD 为等腰三角形，且BDC=120，MBD=MBC+DBC=60+30=90，DCE=180-ACD=180-ABD=90，又BM=CE，BD=CD ，CDEBDM，CDE= BDM，DE=DM，NDE= NDC+CDE=NDC+BDM=BDC-MDN=120-60=60，在DMN 和DEN 中，DM=DEMDN= EDN=60DN=DNDMN DEN，MN=NE在DMA 和DEF 中，DM=DEMDA=60- MDB=60- CDE=EDF (CDE=BDM)DAM=DFE=30DMN DEN (AAS)，MA=FE的周长为 AN+MN+AM=AN+NE+EF=AF=6AMN