1、 椭圆中焦点三角形的性质及应用教学目标：理解并掌握焦点三角形在椭圆中的作用，并能利用数形结合 的思想解决解析问题教学重点：焦点三角形的结论与推广新课教学：1.焦点三角形定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。性质一：已知椭圆方程为 两焦点分别为 设焦点三角形),0(12bayx ,21F中 则 。21FP,21tn21SPFcos)( 212121c)cos() cos12)cs(24)cs1(24221 baPFPF12 212inintacosFPbS性质二：已知椭圆方程为 左右两焦点分别为 设焦点三角形),0(12byax ,21F，若 最大，则点 P 为椭圆短轴的端点
2、。21FP21证明：设 ,由焦半径公式可知： ，)(oyx oexaF1 oexaPF1在 中，21PF212csPF 21221 4)( c=1)(2412421 ooexabPFca 12oxebxa0xo性质三：已知椭圆方程为 两焦点分别为 设焦点三角形),0(12bayx ,21F中 则21FP,21.cose证明：设 则在 中，由余弦定理得：,21rP21PF124)(cos 21121 rcarcr命题得证。.)2( 221 eacrca高考题型：已知椭圆 的两焦点分别为 若椭圆上存在一点)0(2byax ,21F使得 求椭圆的离心率 的取值范围。,P,102Fe简解：由椭圆焦点三
3、角形性质可知 即 ,.210cos21e于是得到 的取值范围是e.,23性质四：已知椭圆方程为 两焦点分别为 设焦点三角形),0(12bayx ,21F， 则椭圆的离心率 。21FP,1221FPsin)(e,1221FP由正弦定理得： sini)80sin( 1221PFo由等比定理得： si)si(2121PF而 ， )sin()sin(21cFsinsin21a。iace应用举例：已知椭圆的焦点是 F1(1，0)、F 2(1，0)，P 为椭圆上一点，且 F1F2是PF 1和PF 2的等 差 中 项 (1)求椭圆的方程；(2)若点 P 在第三象限，且PF 1F2120，求 tanF1PF2
4、解：(1)由题设 2F 1F2PF 1PF 22a，又 2c2，b 椭圆的方程为 13342yx(2)设F 1PF2 ，则PF 2F160 椭圆的离心率 则 ，e )60sin(23)60sin(si8ooo整理得：5sin (1cos )3 故 ，tanF 1PF2tan 53cos1in532tan1352课后巩固练习：1、 设椭圆的两个焦点分别为 F1、 、F 2，过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若F 1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 ( ) A . B. C. D. 212、已知点 P 在椭圆 上， 是椭圆的两个焦点， 是直角三角形，1204yx21,F21PF则这样的点 P 有 A 2 个 B4 个 C 6 个 D8 个3、 椭圆 的焦点 、 ，P 为椭圆上的一点，已知 ，则1925yx1F2 21PF的面积为_ . 21PF答案提示：1. D 2、 A 3、9
