相似三角形的判定讲义.docx

1、相似三角形的判定一、知识点讲解判定定理 1：如果一个三角形的两个角与另外一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。判定定理 2：两边对应相等且夹角对应相等的两个三角形相似。判定定理 3：三边对应成比例的两个三角形相似。理解：（1）当给出的条件上角为主时，应考虑 “两角对应相等 ”；当给出的条件有边有角时，应考虑“两边对应成比例，夹角相等” ；当给出的条件全是边时应考虑“三边对应成比例” 。（2）在利用判定定理 2 时，一是两边的夹角相等，如果不是夹角则不成立。二、典例分析（一）运用判定定理判定三角形相似例 1 在矩形 ABCD 中，E 为 BC 上一点，DFAE 于点 F。（1 ）求证

2、：ABEDFA；（ 2）若 AB=6，AD=12,AE=10, 求 DF 的长。变式练习：1、如图，DE BC ，EFAB，则图中相似的三角形一共有（ ）A、1 对 B、2 对 C、3 对 D、4 对2、具备下列各组条件的两个三角形中，不一定相似的是（ ）A、有一个角是 40两个等腰三角形 B、两个等腰直角三角形C、有一个角为 100的两个等腰三角形 D、两个等边三角形例 2 已知：如图，在四边形 ABCD 中，B=ACD，AB=6,BC=4,AC=5,CD= ,求 AD 的长。217变式练习：1、如图，在ABC 中，点 D、E 分别在 AB、AC 上，下列条件中不能判定ABCAED 的是（

3、）A、AED= B B、ADE=C C、 D、ABEACE2、已知，P 是正方形 ABCD 的边 BC 上的点，且 BP=3PC，M 是 CD 的中点，求证：ADMMCP。例 3 如图，小正方形的边长为 1，则下列选项中的三角形（阴影部分）与 ABC 相似的是（ ）变式练习：1、在ABC 和ABC 中， AB=3cm，BC=6cm，CA=5 cm，AB=3cm，BC=2.5cm，A C=1.5 cm，则下列说法中，错误的是（ ）A、ABC 与A BC相似 B、AB 与 AB是对应边 C、相似比为 2：1 D、AB 与 AC是对应边2、网格图中每个方格都是边长为 1 的小正方形，若 A、B、C、

4、D 、E 、F 都是格点，试证明：ABCDEF 。（二）判定定理的运用例 4 如图，在矩形 ABCD 中， E 为 AD 的中点，连接 EC，过点 E 作直线 EF 交 AB 于点 F。当 EF 与 CE 满足什么条件时，AEF 与DCE 相似？并说明理由。变式练习：1、如图，在ABC 中，ADE=C，则下列等式成立的是（ ）A、 B、 C、 D、DDAEABEABC第 1 题 第 2 题 第 3 题2、如图，ABD=C ，AB=5，AD=3.5，则 AC= 。3、如图，D 是 AC 上一点，BEAC，BE=AD，AE 分别交 BD、BC 于点 F、G，1=2 。求证：FD=FG FE.反馈练

5、习 基础夯实1、如图，AD BC 于点 D，CEAB 于点 E 交 AD 于点 F，则图中与AEF 相似的三角形的个数是（ ）A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个2、如图，在 RtABC 中，ACB=90,BC=3，AC=4 ，AB 的垂直平分线 DE 交 BC 的延长线于点 E，则 CE 的长为（ ） A、 B、 C、 D、2236753、如图，ABC 中，AB=AC，A=36,BD 平分ABC，则下列结论：ABCBCD；AB：BC=BC：CD ；BC=ACCD；AD：DC=AB：BC，其中正确的结论有（ ）A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个4、如下图，下列条件不能判定

6、ADBABC 的是（ ）A、ABD= ACB B、ADB=ABC C、AB=ADAC D、 BCA5、如图，在ABC 中，D 是 AB 上一点，且 AC=ADAB，则（ ）A、ADCACB B、BDCBCA C、ADC CDB D、无相似三角形6、满足下列条件的各对三角形中是相似三角形的是（ ）A、A=60 ， AB=5cm，AC=10cm；A=60,A B=3cm ，AC=10cmB、A=45，AB=4 cm，BC=6cm；D=45,DE=2cm，DF=3cmC、 C= E=30，AB=8cm ，BC=4 cm；DF=6cm，FE=3cmD、A=A，且 ABAC=AC AB7、如图，已知 A

7、BBD，EDBD ，C 是线段 BD 的中点，且 ACCE，ED=1,BD=4，那么 AB= 。8、如图，在 ABCD 中，F 是 BC 上的一点，直线 DF 与 AB 的延长线相交于点 E，BP DF，且与 AD 相交于点P，请从图中找出一组相似的三角形 。第 7 题 第 8 题 第 9 题 第 10 题 第 11 题9、如图，在边长为 9 的正三角形 ABC 中，BD=3 ，ADE=60，则 AE 的长为 。10、如图，在ABC 中，D 是 ABA 边上一点，连接 CD，要使ADC 与ACB 相似，应添加的条件是 。 （写出一个即可）11、如图，在ABC 中，CDAB，垂足为 D，下列条件

8、中，能证明 ABC 是直角三角形的有 。A+B=90；AB=AC+BC； ；CD=AD BD。BCA12、如图，已知，ACB= ABD=90，BC=6 ，AC=8 ，当 BD= 时，图中的两个直角三角形相似。13、如图，1=2，B= D，AB=DE=5，BC=4 。（1 ）求证：ABCADE；（2 ）求 AD 的长。14、如图，ABC 中，CD 是边 AB 上的高，且 。BDCA（1 ）求证：ACDCBD；（2）求ACB 的大小。15、如图，矩形 ABCD 为台球桌面，AD=260cm ，AB=130cm。球目前在点 E 的位置，AE=60cm ，如果小丁瞄准 BC边上的点 F 将球打过去，经

9、过反弹后，球刚好弹到点 D 的位置。（1 ）求证：BEFCDF； （2）求 CF 的长。 16、已知，如图，正方形 ABCD 的边长为 2,AE=EB，MN=1 ，线段 MN 的两端在 BC、CD 上滑动，在滑动过程中，以 M、 N、C 为顶点的三角形与AED 可能相似吗？若能，求出相似时 CM 的长。能力提升17、如图，在直角梯形 ABCD 中，ABCD，C=90,BDA=90，AB=a，BD=b，CD= c，BC=d，AD= c，则下列等式成立的是（ ）A、b=ac B、b= ce C、be =ac D、bd=ae第 17 题 第 18 题 第 19 题18、如图，在钝角三角形 ABC 中

10、，AB=6cm，AC=12cm，动点 D 从点 A 出发到点 B 为止，动点 E 从点 C 出发到点 A 止，点 D 运动的速度为 1cm/s，点 E 运动的速度为 2cm/s。如果两点同时运动，那么当以点 A、D 、E 为顶点的三角形与ABC 相似时，运动的时间是（ ）A、3 秒或 4.8 秒 B、3 秒 C、4.5 秒 D、4.5 秒或 4.8 秒19、如图，D 是等边 ABC 边 AB 上的一点，且 AD：DB=1：2，现将ABC 折叠，使点 C 与 D 重合，折痕为EF，点 E、F 分别在 AC 和 BC 上，则 CE：CF=（ ）A、 B、 C、 D、4356720、如图，AOB 是

11、直角三角形，AOB=90,OB=2OA，点 A 在反比例函数 的图像上，若点 B 在反比例xy1函数 的图像上，则 k 的值为（ ） A、-4 B、4 C、-2 D、2xky第 20 题 第 21 题 第 22 题 21、如图，在平面直角坐标系中，有两点 A(4，0)，B（0，2） ，如果点 C 在 x 轴上（点 C 与点 A 不重合） ，当点C 的坐标为 时，使得以点 B、O、C 为顶点的三角形与AOB 相似。22、已知，如图， ABCD 的对角线相交于点 O，点 E 在边 BC 上延长线上，且 OE=OB，连接 DE。求证：（1）DEBE ；（2）如果 OECD，求证：CEDDEB。23、

12、如图，在 ABCD 中，过点 A 作 AEBC，垂足为 E，连接 DE，F 为线段 DE 上一点，且AFE=B。（1 ）求证：ADFDEC；（2）若 AB=8，AD= ，AF= ，求 AE 的长。36424、学习图形的相似后，我们可以根据探索两个直角三角形全等的条件所获得的经验，继续探索两个直角三角形相似的条件。（1 ） “充分于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，两个直角三角形全等” ，类似在，你可以得到“满足 ，或 ，两个直角三角形相似” ；（2 ） “满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等” ，类似地，你可以得到“满足 的两个直角三角形相似” 。请结合下

13、列所给图形，写出已知，并完成证明过程。已知：如图， 。求证：RtABCR tABC。25、如图，E 是矩形 ABCD 的边 BC 上一点，EFAE，EF 分别交 AC、CD 于点 M、F，BGAC，垂足为 G，BG 交AE 于点 H。（1 ）求证：ABEECF；（2 ）找出与ABH 相似的三角形，并证明；（3 ）若 E 是 BC 中点，BC=2AB，AB=2，求 EM 的长。思维拓展26、如图 1，直线 AB 分别与两坐标轴将于点 A(4，0)，B（0，8 ） ，点 C 的坐标为（2，0） 。（1 ）求直线 AB 的解析式；（2 ）在线段 AB 上有一动点 P。如图 2，过点 P 分别作 x、

14、y 轴的垂线，垂足分别为点 E、F，若矩形 OEPF 的面积为 6，求点 P 的坐标；连接 CP，是否存在点 P，使 ACP 与AOB 相似，若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由。27、如图，矩形 ABCD 中，AD=3cm，AB=a cm(a3)。动点 M、N 同时从点 B 出发，分别沿 运动，速度是 1cm/s。过点 M 作直线垂直于 AB，分别交 AN、CD 于点 P、Q，当点 N 到达终点 C 时，点 M 也随之停止运动，设运动时间为 t 秒。（1 ）若 a=4cm，t=1s，则 PM= cm；（2 ）连接 PD、PB，若 a=5cm，求运动时间 t,命名PNBPAD，并求出它们的相似比；（3 ）若在运动过程中，存在某时刻使梯形 PMBN 与梯形 PQDA 的面积相等，求 a 的取值范围。参考答案