1、2009-2015 年全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学)2009 年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题(每小题 5 分,共 20 分)1计算 _,其中区域 由直线yxyxDd1)ln()( D与两坐标轴所围成三角形区域.yx2设 是连续函数,且满足 , 则)(f 20d)(3)(xfxf_.3曲面 平行平面 的切平面方程是_.22yxz2zyx4设函数 由方程 确定,其中 具有二阶导数,且)(9ln)(yfef,则 _.1f2dx二、 (5 分)求极限 ,其中 是给定的正整数.xenxxe)(lim20三、 (15 分)设函数 连续, ,且 , 为常数,)f10d(tfgAxf)(
2、lim0求 并讨论 在 处的连续性.)(xg(xg四、 (15 分)已知平面区域 , 为 的正向边界,,|),(yxyDLD试证:(1) ;LxyLxy eex ddsinsinsinsin(2) .2sinsin5yy五、 (10 分)已知 , , 是某二阶常xe1xe2 xxey23系数线性非齐次微分方程的三个解,试求此微分方程.六、 (10 分)设抛物线 过原点.当 时, ,又已知cbayln100y该抛物线与 轴及直线 所围图形的面积为 .试确定 ,使此图形绕 轴x1x31cbax旋转一周而成的旋转体的体积最小.七、 (15 分)已知 满足 , 且 , 求)(un )2()(1nexu
3、nn neu)1(函数项级数 之和.1)(nxu八、 (10 分)求 时, 与 等价的无穷大量.02nx2010 年 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、 (25 分,每小题 5 分)(1)设 其中 求22(1)(1),nnxaa |1,lim.nx(2)求 。2limxxe(3)设 ,求 。0s0(1,2)sxnIed(4)设函数 有二阶连续导数, ,求 。()ft 21,()rxygfr2gxy(5)求直线 与直线 的距离。10:xylz213:4zl二、 (15 分)设函数 在 上具有二阶导数,并且()f,)且存在一点 ,使得 。()0,lim0li(0,xxf f0x0()fx三、 (
4、15 分)设函数 由参数方程 所确定,其中 具)yf2(1)xtyt有二阶导数,曲线 与 在 出相切,求函数 。(t213tuedt ()t四、 (15 分)设 证明:10,nnkaSa(1)当 时,级数 收敛;1n(2)当 且 时,级数 发散。()ns1naS五、 (15 分)设 是过原点、方向为 , (其中 的直线,均l(,)221)匀椭球,其中( 密度为 1)绕 旋转。221xyzabc0,cbal(1)求其转动惯量;(2)求其转动惯量关于方向 的最大值和最小值。(,)六、(15 分)设函数 具有连续的导数,在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线()x上,曲线积分 的值为常数。C42cydA(
5、1)设 为正向闭曲线 证明L2()1,xy42()0;cxydA(2)求函数 ;()(3)设 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线,求 。C42()cxyd2011 年 第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷一 计算下列各题(本题共 3 小题,每小题各 5 分,共 15 分)(1).求 ;1cos0inlmxx(2).求 ;li.12nn(3)已知 ,求 。arctttxey2dyx二 (本题 10 分)求方程 的通解。410dy三 (本题 15 分)设函数 f(x)在 x=0 的某邻域内具有二阶连续导数,且均不为 0,证明:存在唯一一组实数 ,使得“0,ff 123,k。1230lim0hkhkff四
6、(本题 17 分)设 ,其中 ,221:1xyzabcabc, 为 与 的交线,求椭球面 在 上各点的切平面22:zxy121到原点距离的最大值和最小值。五 (本题 16 分)已知 S 是空间曲线 绕 y 轴旋转形成的椭球面230xz的上半部分( )取上侧, 是 S 在 点处的切平面,0z,P是原点到切平面 的距离, 表示 S 的正法向的方向余弦。,xy计算:(1) ;(2),Szd3Szxyzd六 (本题 12 分)设 f(x)是在 内的可微函数,且,,其中 ,任取实数 ,定义fxmf、 010a证明: 绝对收敛。1ln,2,.a11n七 (本题 15 分)是否存在区间 上的连续可微函数 f
7、(x),满足,0ff?请说明理由。201,1xxd、2012 第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、 (本大题共 5 小题,每小题 6 分共 30 分)解答下列个体(要求写出要求写出重要步骤)(1) 求极限 21)!(limn(2) 求通过直线 的两个互相垂直的平面 和 ,使其中03452:zyxl 12一个平面过点 。)1,(3) 已知函数 ,且 。确定常数 和 ,使函数byaxeuz2uab满足方程),(yxz 02zz(4) 设函数 连续可微, ,且 在右半)(xu1)2(uudyxdyx)()2(3平面与路径无关,求 。,y(5) 求极限 dttxxcosinlim13二、 (本题 10
8、 分)计算 xexi20三、求方程 的近似解,精确到 0.001.51si2四、 (本题 12 分)设函数 二阶可导,且 , ,)(fy0)(xf)(f,求 ,其中 是曲线 上点 处的0)(f ux30sinlimy),xP切线在 轴上的截距。x五、 (本题 12 分)求最小实数 ,使得满足 的连续函数 都 C1)(10dxf )(f有 df)(10六、 (本题 12 分)设 为连续函数, 。区域 是由抛物面xt2yxz和球面 所围起来的部分。定义三重积分22tzyx)0(dvzyftF)(2求 的导数 )(t七、 (本题 14 分)设 与 为正项级数,证明:na1nb1(1)若 ,则级数 收
9、敛;0limnn na1(2)若 ,且级数 发散,则级数 发散。11banbna12013 第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、 解答下列各题(每小题 6 分共 24 分,要求写出重要步骤)1.求极限 .2lim1sin4nn2.证明广义积分 不是绝对收敛的0xd3.设函数 由 确定,求 的极值。y323yyx4.过曲线 上的点 A 作切线,使该切线与曲线及 轴所围成的平3x面图形的面积为 ,求点 A 的坐标。4二、 (满分 12)计算定积分 2sinarct1oxxeId三、 (满分 12 分)设 在 处存在二阶导数 ,且 。证f00f0limxf明 :级数 收敛。1nf四、 (满分 12
10、分)设 ,证明,0fxfaxb2sinbafxdm五、 (满分 14 分)设 是一个光滑封闭曲面,方向朝外。给定第二型的曲面积分 。试确定曲面 ,使积分 I3332Ixdyzydzzdy 的值最小,并求该最小值。六、 (满分 14 分)设 ,其中 为常数,曲线 C 为椭圆2aaCxIryA,取正向。求极限22xyrlimarI七(满分 14 分)判断级数 的敛散性,若收敛,求其和。12nn2014 年全国大学生数学竞赛预赛试题非数学类一、 填空题(共有 5 小题,每题 6 分,共 30 分)1. 已知 和 是齐次二阶常系数线性微分方程的解,则该方程是xey1x1_ _2. 设有曲面 和平面 。
11、则与 平行的 的切平2:yzS02:zyxLLS面方程是_3. 设函数 由方程 所确定。求)(xyxydt124sin_0xd4. 设 。则 _nk1)!(nxlim5. 已知 。则 _310liexfx20)(lixf二、 (本题 12 分)设 为正整数,计算 。n121lncosnedxxI三、 (本题 14 分)设函数 在 上有二阶导数,且有正常数 使得)(xf,0 BA,。证明:对任意 ,有 。Bxf|)(“| 12|)(|xf四、 (本题 14 分) (1)设一球缺高为 ,所在球半径为 。证明该球缺体积hR为 。球冠面积为 ;(2)设球体2)3(hRR被平面 所截得小球缺为 ,1)(
12、22zyx 6:zyxP记球冠为 ,方向指向球外。求第二型曲面积分dxdyzI五、 (本题 15 分)设 在 上非负连续,严格单增,且存在 ,f,ba ,baxn使得 。求nndxxf)(1)( nlim六、 (本题 15 分)设 。求222An nnA4lim2015 第七届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题(每小题 6 分,共 5 小题,满分 30 分)(1)极限 .222sinisinlm1n(2)设函数 由方程 所决定,其中 具有连,zxy,0zFxy ,Fuv续偏导数,且 。则 .0uvF(3)曲面 在点 的切平面与曲面所围区域的体积是 .21zxy,13M(4)函数 在 的傅立叶
13、级数在 收敛的值是 .3,50.f, 0x(3)设区间 上的函数 定义域为的 ,则 的初等0,ux20xtuedux函数表达式是 .二、 (12 分)设 是以三个正半轴为母线的半圆锥面,求其方程。M三、 (12 分)设 在 内二次可导,且存在常数 ,使得对于fx,ab,,有 ,则 在 内无穷次可导。,xabfxffxf,ab四、 (14 分)求幂级数 的收敛域,及其和函数。3021!nn五、 (16 分)设函数 在 上连续,且 。试证:fx,1100,fxdfxd(1) 使0,1x04f(2) 使 1x五、 (16 分)设 在 上有连续的二阶偏导数,且,fy2。若22xyfM证明: 。0,0,0,xyfff21,4xy Mfdxy
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