数值计算答案-石瑞民.doc

1、1习题一1、取 3.14,3.15， ， 作为 的近似值，求各自的绝对误差，相72135对误差和有效数字的位数。解： 4.31x3120所以， 有三位有效数字1绝对误差： ，相对误差：4.e 14.3re绝对误差限： ，相对误差限：210 213062r21122 05.0847.015.3 x所以， 有两位有效数字2绝对误差： ，相对误差：15.3e .3re绝对误差限： ，相对误差限：0 106r31222 05.1.01645.02.7 x所以， 有三位有效数字3x绝对误差： ，相对误差：7e 7re绝对误差限： ，相对误差限：210 2106r135x 716605.1.032.0.0

2、 所以， 有七位有效数字4x绝对误差： ，相对误差：135e 3re2绝对误差限： ，相对误差限：6102 610r3、下列各数都是对准确数四舍五入后得到的近似数，试分别指出它们的绝对误差限和相对误差限，有效数字的位数。 50,.31,05.,031. 421 xxx解： m=-1035.1x314*2所以，n=3， 有三位有效数字1x绝对误差限： 40，相对误差： 21062nram=03015.2x4042*12所以，n=4， 有四位有效数字x绝对误差限： ，相对误差： 4 31062nram=250.31x422*10所以，n=4， 有四位有效数字x绝对误差限： ，相对误差： 2 310

3、62nram=4504x404*12所以，n=4， 有四位有效数字x绝对误差限： ，5.0相对误差： 2311022nra4、计算 的近似值，使其相对误差不超过 。10 %.解：设取 位有效数字，由定理 1.1 知，n 1nra由 ，所以，362.31a由题意，应使 ，即%.01n 306n所以，n=4，即 的近似值取 4 位有效数字10近似值 62.3x36、在机器数系下 中取三个数 ，),810(ULF41023758.0x， ，试按 和 两237849.0y 21367.z zy)()(zyx种算法计算 的值，并将结果与精确结果比较。yx解： 32222241064.01064. 378

4、3785. 103678.0)9(.01.) 3 334 22106472.0581068.3 )10678.9.(21.)(zyx32 224106472.058 103678.0167849.3 zyx所以， 比 精确，且 与 相同；)(zyxzyx)( )(zyxzyx因此，在做三个以上的数相加时，需要考虑相加的两个同号数的阶数尽量接近。8、对于有效数 ， ， ，估计下列算式的相105.3x01.2x0.3x对误差限。 ， ，21y1y2y解： ，m=1;.1x413* 0所以 312)(x同理 32033102)(x或31)(xe 5.)(11er 3102)(xr4或3210)(xe

5、 01.2)(31xer 021)(xr或33)( .)(333er 33)(r所以，32121321) xeexxer 3321 04975.()( yr )()()() 321212 xe rrrrrr所以， 506.2er )()()( 3233 xxyrrr 所以， .er综合得： ， ，31104975)(y 5016.)(2yr50.)(3yr9、试改变下列表达式，使其结果比较精确（其中 表示 x 充分1x接近 0， 表示 充分大） 。xx（1） ，21ln21（2） ，（3） ，xx（4） ，cos110且（5） ，xt且答案：（1） ；（3） ，21lnxx332（4）法一：用

6、 得出结果为：cos1法二： xxxsincosin)0(1c或 2tan)cos(2insio2xx512、试给出一种计算积分 近似值的稳定性递推算法dxeInn10解：显然， In0,n=1,2,当 n=1 时，得， xI10当 n2 时，由分部积分可得：，n=2,3,110nxnIdeI另外，还有： 1100ndxex由递推关系 In=1-nIn-1，可得计算积分序列 的两种算法：nI n=2,31nII ，,.321下面比较两种算法的稳定性若已知 的一个近似值 ，则实际算得的 的近似值为1nI1nInI1n所以， )(1nnII1nI由此可以看出 的误差放大 n 倍传到了 ，误差传播速

7、度逐nI nI步放大由 计算 nI1n 1,1 NIIn若已知 的一个近似值是 ，则实际计算的 的近似值为nInII1所以， )(1nnII由此可以看出 的误差将缩小 n 倍传到了 ，误差传播速度nI nI逐步衰减。综上可看出，计算积分 的一种稳定性算法为dxeIn10.1,2,1 NIn6习题二1、利用二分法求方程 3，4内的根，精确到 ，07423sx 310即误差不超过 。102解：令 )(3xxf， ，说明在3，4内有根，094(f利用二分法计算步骤得出 ，621.10 6321859.1满足精度要求30 08. xab所以， ，共用二分法迭代 11 次。31*2、证明 在0,1内有一

8、个根，使用二分法求误差不大于sin的根。410证明：令 xxfsi1)(，0n;0f所以， )(由零点定理知， 在0,1内有一根xf根据计算得出： ，此时共迭代 15 次。9823.015*4、将一元非线性方程 写成收敛的迭代公式，并求其在cos2xe附近的根，精确到 。5.0x0解：令 xefcs)(令 =0，得到两种迭代格式x)cos2ln(ar1xex ，不满足收敛定理。21)xe7 xxtancos2i)(，满足收敛定理10872.)5.02 由方程写出收敛的迭代公式为 )cos2ln(1kkxx取初值为 ，得出近似根为：5.0x 6930741.*5、为方程 在 附近的一个根，设方程

9、改写为下列等1235.0x价形式，并建立相应的迭代公式：（1） ，迭代公式 ；2x21kkx（2） ，迭代公式13 3/11)(k（3） ，迭代公式2x2/1)(kkx解：（1）利用局部收敛定理判断收敛性，判断初值 附近的局5.10x部收敛（2）局部收敛（3）不满足局部收敛条件但由于 ，所以 比 收敛的慢)(.)(21x )(1x)(2取第二种迭代格式 3/2kk取初值 ，迭代 9 次得5.0x 46.9*x7、用牛顿法求解 在初始值 临近的一个正根，要求0130。31kx解：令 )(xf由牛顿迭代法知： )1(3)21 kkkxfx迭代结果为：8k0 1 2 3kx2 1.88889 1.8

10、7945 1.87939满足了精度要求， 8793.13*x8、用牛顿法解方程 ，导出计算 C 的倒数而不用除法的一种0C简单迭代公式，用此公式求 0.324 的倒数，设初始值 ，要求计30x算结果有 5 位有效数字。解： 32.01)(xf，由牛顿迭代公式2f )(1kkxfx迭代结果为： k0 1 2 3kx3 3.084 3.086418 3.086420满足精度要求 0864.3*x所以，0.324 的倒数为 3.086411、用快速弦截法求方程 在 附近的实根， （取013x2x=1.9，要求精度到 ） 。1x310解： ，)(3xf迭代结果： k0 1 2 3 4kx2 1.9 1

11、.881094 1.87941160 1.87939满足精度要求 1.8734*x912、分别用下列方式求方程 在 附近的根，要求有三xecos440位有效数字（1）用牛顿法，取 40x（2）用弦截法，取 021（3）用快速弦截法，取 40x1解：求出的解分别为： 95.10.295.3x习题三1、用高斯消元法解下列方程组（1） （2）72454131x03321x解：（1）等价的三角形方程组为，回代求解为421875.043231x61932x（2）等价的三角形方程组为，回代求解为5723193570231x193206413x2、将矩阵 作 分解。102ALU10解： ,1502L56012U3、用 紧凑格式分解法解方程组L 1567581094321xx解： ，15/30125/76L 10/027/4/2U, .10/32/Y3X4、用列主元的三角分解法求解 方程组L023274131321xx解： 023741A, , ,5/7/12L 43/1/U23/147Y2/1X5、用追赶法解三角方程组 ，其中 ,bAx21010.01b