1、矩 阵 乘 积 的 运 算 法 则 的 证 明矩 阵 乘 积 的 运 算 法 则乘 法 结 合 律 ： 若 , , ， 则 .1nmCApnBqpCCAB)(乘 法 左 分 配 律 ： 若 和 是 两 个 矩阵，且 是一个 矩阵，则2 n.BCA)(乘 法 右 分 配 律 ： 若 是 一 个 矩阵，并且 和 是两个 矩阵，则3AnmBCp.)(若 是一个标量，并且 和 是 两 个 矩阵，则 .4BBA)(证明 1先设 阶矩阵为 , , , ,n)(ijaA)(ijb)(ijcC)(ijdA)(ijeC, ,有矩阵的乘法得：)(ijfABCijgnjbadnijijiij 2,1.21cceji
2、jijiij df njijijiij ,.21eaeagjijijiij 21故对任意 有：,njijijiij cdcdf21jiii baba11)( jniii c221 njiini )( 1211 jnjji cbcba)(2212 njjji cbcba jjnjni jijiji eae21= ijg故 )()(BCA再看 , , , , , mnikanpkjb)(pqjtc)(mpijdAB)(nqkteC)(,qitg)(有矩阵的乘法得： njibabadnijijiij 2,1.21 qtkccepttktkt ,midf tititiit ,.21 teaeagnti
3、titiit 2,1故对任意的 有：,m ,21pjnk qt,tititiit cdcdf21tniii baba11)( tiii c221 ptnipipi )( 1211 ttti cbcba)(22pttti 1tntntin cc6 tititi eaea21= ijg故 )()(BCA证明 2设 表 示 矩 阵 的 第 行 ， 第 列 上 的 元 素 ， 则 有ij ijkjkiiij CBABA)()(jkiji= ijij)()(故 证 出 矩 阵 乘 法 左 分 配 律 .证明 3同 理 矩 阵 乘 法 左 分 配 律 可 得ijijBCA)()(kjikjiCBAjiki)(= ij故 证 出 矩 阵 乘 法 左 分 配 律 .证明 4设 ， ，mnmnnij aaA 212112)( mnmnnij bbB 212112)(可得 ，B mnmmnbaba 21 22112)(A )()()( )()()(21 22 11mnmm nbababa ， ，Amnmnaa 2122112Bmnmnbb 212211，B )()()( )()()(21 22 1121 mnmm nbababa 所以 = .)AB
